Метод конечных элементов. Основы

Уг

Рис. Р6.5.

6.6. Нагрузки, введенные в задаче 6.5, приложены к грани элемента, перемеще­ ние которого задается следующей квадратичной функцией:

6.7. Определите вектор термоупругих сил, действующих в направлении х, для

треугольного элемента, изображенного на рис. 5.3, если в элементе распределение

з

температуры имеет вид Г=5]ДО/Г/» где ДО/— функция формы для элемента, а

L=1

Г/ — значения температуры в узлах.

6.8.Найдите энергетически эквивалентные узловые силы и моменты для ба­ лочного элемента длиной а, находящегося под действием поперечной нагрузки q, распределение которой показано в задаче 6.5.

6.9.Найдите энергетически эквивалентный вектор сил для равномерно нагружен­

ного треугольного элемента с шестью узлами, изображенного на рис. Р6.9, поле

6.10. Укажите член, связывающий F Si и wb в согласованной матрице массы для элемента, описанного в задаче 6.9. Толщина элемента /, масса, приходящаяся на единицу объема, равна р.

6.11. Потенциальная энергия скручиваемого элемента задается следующим вы­ ражением:

П' “ Т J [£г ( 3 ) ’+ " ( 3 ) ’]

где У и Г — соответственно константы кручения и депланации; G — модуль сдви­

га, <р — угол закрутки М — скручивающий момент, приходящийся на единицу длины элемента. Выпишите уравнение Эйлера для функционала и соответствующие граничные условия.

6.12. Для системы, характеризуемой двумя параметрами (A*, Aj) и к которой приложена сила Р, потенциальная энергия равна П/;= (6 —3Р)Д?—5(1—Р ) ^ ^ 2+

+(4—Р)Д2. Вычислите значение Р, соответствующее нейтральному равновесию.

6.13.Постройте (ЗХЗ)-матрицу жесткости для стержневого элемента (рис. Р6.13)

с тремя узлами, в котором поле перемещений имеет вид

и = 7^- [(2*— L) (x— L) ых + 4 (L— *) хи2-\~х ( 2 L) и3].

L 2

Сведите эту матрицу к обычной (2Х2)-матрице жесткости стержневого элемента.

*— L/2

Рис. Р6.13.

6.14.Приближенно найдите матрицу жесткости для стержневого элемента, изоб­

раженного на рис. Р6.14, используя линейное поле перемещений

а= (1 —x lL)u x+ ( x lL ) u 2

ипринцип минимума потенциальной энергии. Конструктивный элемент имеет постоянную ширину, равную Ь,

6.15.Выпишите матрицу жесткости прямоугольного элемента для плоского на­ пряженного состояния, введенного в задаче 5.2, используя приведенное там же поле перемещений и принцип минимума потенциальной энергии. Сравните полу­ ченные результаты с результатами, приведенными на рис. 9.13.

6.16.Постройте матрицу податливости треугольного элемента для плоского на­ пряженного состояния (см. рис. 5.3), используя гибридный метод перемещений.

Наложите условия закрепления а1= и 1= и 2==0. Сравните полученную матрицу с матрицей из задачи 2.3.

6.17. Сформулируйте точную матрицу податливости для суживающегося балоч­ ного элемента, изображенного на рис. Р6.17, используя принцип минимума до-

полнительной работы. Обратите матрицу податливости и получите соответствую­ щую матрицу жесткости.

L ' Рис. Р6.17.

6.18. Постройте матрицу податливости трехузлового треугольного элемента для плоского напряженного состояния, используя принцип минимума дополнитель­ ной работы. Используйте условия закрепления u 2= v 2= v 3= 0 (см. рис. 5.3). Срав­ ните результат с матрицей податливости из задачи 2.4.

6.19. Пользуясь принципом минимума дополнительной работы, постройте мат­ рицу податливости для изгибаемого криволинейного элемента, изображенного на рис. Р6.19. Сравните с матрицей, приведенной в задаче 2.6. (Крепление в точ­ ке 2.)

Рис. Р6.19.

6.20. При помощи гибридного метода напряжений постройте матрицу жесткости треугольного элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (рис. 5.3), используя для этого постоянное поле напряжений и линейное распре­ деление перемещений на границах. Сравните результат с рис. 5.4.

6.21. Выпишите функционал Рейсснера в дискретном виде, используя значения функции напряжений Эри как параметры напряжений, а также компоненты пере­ мещений и и V. Обсудите выбор вида функций формы для этих полей в случае четырехугольного элемента с узлами в вершинах четырехугольника.

7

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ГЛОБАЛЬНОГО АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ

Применение вариационных принципов при форму­ лировке соотношений для элемента позволяет, как показано в гл. 6, построить соотношения податливости, жесткости и смешан­ ные соотношения. С помощью процедур из гл. 3 полученные таким образом соотношения жесткости можно непосредственно исполь­ зовать для построения уравнений, описывающих поведение всей конструкции. Таким образом, может показаться, что вариационные принципы не потребуются в дальнейшем, кроме как для построения соотношений, описывающих отдельный элемент. В действитель­ ности же вариационные принципы чрезвычайно полезны и в не­ которых вопросах глобального анализа конструкций.

Прежде всего, вариационные принципы позволяют предложить различные подходы к построению глобальных уравнений. При глобальном анализе конструкций роль вариационных принципов во многом заключается в том, что они позволяют с другой точки зрения взглянуть на алгебраические операции, обусловленные различными подходами. Специальным операциям глобального ана­ лиза можно также дать вариационную трактовку; вариационный подход особенно важен при учете ограничений по методу множи­ телей Лагранжа. Кроме того, на вариационных принципах осно­ ваны методы доказательства сходимости, а некоторые из этих принципов позволяют даже установить характер сходимости.

Далее подробно исследуется метод, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, и рассматривается метод, ба­ зирующийся на принципе минимума дополнительной работы. Сме­ шанные методы не рассматриваются, так как для них процедуры построения глобальных уравнений аналогичны процедурам, ос­ нованным на обычных вариационных принципах. Для этих методов не установлены свойства сходимости, которые позволили бы оп­ ределить верхнюю или нижнюю границы для точного решения.

7.1. Принцип минимума потенциальной энергии

Чтобы объяснить, как применяют метод, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, для глобального анализа кон­ струкции, опять напомним, что энергия деформации — скалярная величина. Поэтому энергия деформации V для всей конструкции, состоящей из р элементов, равна сумме р слагаемых, представ­ ляющих энергию деформации отдельных элементов, т. е.

и матрица жесткости t-ro элемента. Чтобы использовать это об­ стоятельство при построении глобальных алгебраических урав­ нений, введем следующие массивы:

|_k*J — несвязанная глобальная матрица жесткости. Эта матрица блочно-диагональная, каждый блок которой — матрица жесткости элемента. Все матрицы жесткости элементов включены в этот массив. Матрица |_ k* J была введена в разд. 3.3 согласно формуле (3.13).

С учетом этих обобщений выражение (7.1) можно записать в виде

Теперь необходимо учесть, что элементы соединены. С этой целью обратимся опять к содержанию разд. 3.3 и уравнения (3.14), т. е. {Д*}=[Л]{Д}. Здесь {А} включает все глобальные перемещения в узлах, а матрица [Л], как отмечено ранее,— глобальная матрица связности. Применяя ее к U в виде классического преобразования, получим

Матрица [К] полностью совпадает с глобальной матрицей жест­ кости, построенной в разд. 3.3. Там же приводится и численный пример, иллюстрирующий изложенную выше процедуру.

В разд. 3.3 утверждалось, что матрицы жесткости элементов, включающие Г keJ , не должны содержать степени свободы, от­ вечающие движению тела как твердого целого. Это можно объяс­ нить теперь с энергетической точки зрения следующим образом. Матрица [к'] для каждого элемента строится в соответствии с определением энергии деформации. Поэтому, как указывалось в разд. 2.4, энергия деформации элемента полностью определяется

матрицей жесткости, записанной в терминах степеней свободы, из числа которых исключены степени свободы, отвечающие непод­ вижному статически определимому закреплению элемента. Более того, видно, что преобразование, задаваемое правой частью соот­ ношения (7.5), «освобождает» отдельный элемент от соответствую­ щего закрепления.

Вернемся к рассмотрению общей теории представления потен­ циальной энергии всей конструкции. Построение потенциальной энергии завершается заданием потенциала сил V. Простейшая ситуация возникает тогда, когда на каждую степень свободы при­ ходится сосредоточенная нагрузка {Р}. В этом случае

ставленное правой частью выражения (7.6), получается после ин­ тегрирования произведения векторов распределенной нагрузки и соответствующих перемещений. Последние задаются путем вы­ числения поля перемещений связанных элементов на рассматри­ ваемом участке границы. Как показано в гл. 6, эти интегралы оп­ ределяются отдельно для каждого из элементов и результирующие произведения векторов суммируются, что и приводит к глобаль­ ному произведению векторных величин в виде (7.6).

В разд. 6.4 показано, что потенциальная энергия Пр выража­

Применяя к этому выражению необходимое условие минимума, т. е.

получим

[К1{Д}={Р}. (7.10)

Следует отметить одно важное методологическое различие между изложенной выше методикой и прямым методом жесткости. Прямой метод жесткости позволяет получить каждое уравнение, непо­ средственно рассматривая равновесие узловых сил для каждой степени свободы. В подходе, основанном на принципе минимума потенциальной энергии, те же уравнения получаются в результате сложения энергий каждого элемента с учетом ключевой матрицы, позволяющей связать локальные и глобальные степени свободы,— матрицы [А]. Последняя методика особенно ценна в ситуациях, когда силовые параметры, соответствующие определенным типам степеней свободы, не имеют ясно выраженного физического смысла

(например, для степеней свободы в виде производных высших порядков от перемещений).

В начале гл. 6 отмечалось, что многие положения конечно-эле­ ментного анализа можно трактовать лишь на основе энергетиче­ ских концепций. Для метода, основанного на использовании по­ тенциальной энергии, это значит, что энергии деформации отдель­ ных элементов суммируются согласно (7.1), а потенциал приложен­ ных нагрузок выписывается непосредственно по заданным силам. Процедура построения глобальной матрицы жесткости в этом случае совпадает с процедурой построения матрицы в прямом ме­ тоде жесткости. Однако здесь нет необходимости вводить такие по­ нятия, как силы в узлах элемента, потенциал этих сил (— 1 F* J {А*}) и операции, связанные с построением соотношений жесткости путем непосредственного рассмотрения условий равновесия в узлах для каждой степени свободы. Аналогичным образом с помощью энер­ гетических методов можно построить глобальные конечно-элемент­ ные соотношения для всех описанных в гл. 6 классических, сме­ шанных и гибридных принципов.

Кроме того, на вычислительной стадии конечно-элементного анализа можно ввести процедуру [7.1], учитывающую, что по­ тенциальная энергия на решении достигает минимального значе­ ния. Из соотношения (7.8) видно, что Пр — квадратичная функция переменных Дь ., Дп, и условие, что решение отвечает равно­ весию системы, совпадает с условием минимума функционала Пр. Существует много надежных алгоритмов нахождения набора пара­ метров, доставляющих минимум квадратичной функции от этих параметров. Так как описание математических алгоритмов не входит в задачу этой книги, обзор указанных алгоритмов не при­ водится. Читателю рекомендуется обратиться к работам [7.1] и [7.2]. Отметим, однако, одну особенность данного подхода. В дей­ ствительности можно построить глобальные кинематические мат­ рицы, объединяющие кинематические матрицы элементов, на ос­ нове поэлементного учета матриц, т. е. в виде

(7.11)

где величина {А*} введена для обозначения вектора внешних сте­ пеней свободы для t-ro элемента. Тогда выражение (7.1) примет вид

Используя это представление, можно вычислить скалярную вели­ чину [/, не выписывая глобальных матриц [К] и [А]. Это делается для того, чтобы исключить операции с нулевыми матрицами, обус­ ловленные соотношением (7.5).

7.2. Решение, полученное на основе принципа минимума потенциальной энергии,— нижняя граница решения

Численное решение, удовлетворяющее всем условиям минимума потенциальной энергии, называется нижним граничным решением, так как найденные численно значения энергии деформации и коэф­ фициентов, стоящих на главной диагонали матрицы податливости, не превосходят значений для «точного» решения (т. е. получаемого при бесконечном числе элементов).

Высказанное утверждение можно легко проиллюстрировать, рассмотрев коэффициент податливости f iit стоящий на главной диа­

отрицательная величина, из сравнения (7.13) и (7.14) находим, что

откуда следует, что решение, полученное на основе принципа мини­ мума потенциальной энергии, дает нижнюю границу для коэффи­ циента податливости, стоящего на главной диагонали.

Чтобы проиллюстрировать высказанные выше утверждения, рас­ смотрим вначале конструкцию, составленную из двух стержней (см. рис. 7.1). В этом случае потенциальная энергия равна

ПP=*U(AE/L) и\—Р 2и2

На рис. 7.2 изображена величина Пр в зависимости от значений,

Правильное решение равно, конечно, 2I3(P2L/AE), для которого

n p= - V , (PIL/AE).

Если требуется описать поведение потенциальной энергии в бо­ лее общих случаях, например когда рассматривается большое число степеней свободы, то необходимо ввести по одной ортогональной

f

Л ь -

Р и с . 7 . 1 .

оси для каждой степени свободы и дополнительную ось для Пр. Невозможно изобразить указанную ситуацию для более чем двух степеней свободы, однако указанные геометрические свойства ис­ пользуются в подходе, кратко описанном в конце разд. 7.1.

Чтобы показать важность теоремы о нижней границе при выборе полей перемещений для отдельных элементов, рассмотрим сужаю­ щийся стержневой элемент, изображенный на рис. 7.3. «Точное» поле и в этом случае есть логарифмическая функция, однако в разд. 6.4