Метод конечных элементов. Основы

3.10.Gallagher R. H. Geometrically Nonlinear Finite Element Analysis.—In: Finite Element Method in Civil Engineering, J. McCutcheon, M. S. Mirza, and A. Murfi (eds.).—Montreal, Quebec: McGill Univ., June 1972, p. 3—34.

3.11.Kamel H., Liu D., McCabe M., Phillipopoulos V. Some Developments in the

3.12.Walton W, C., Steeves E. C. A New Matrix Theorem and its Application for Establishing Independent Coordinates for Complex Dynamical Systems with Constraints.—NASA TR R-326, Oct. 1969.

Задачи

3.1. Постройте матрицу жесткости для четырехсегментной балки, изображенной на рис. Р3.1, используя прямой метод жесткости; £ /= 20*104 кдюйм2.

4 х ЮО = 400 дюймов-

Рис. РЗ.

3.4.Введите связь до3=до4 в уравнениях жесткости задачи 3.3 и постройте редуци­ рованную матрицу жесткости. Сравните решения для до4 при ограничениях и без них, положив Р4=4800 фунтов (остальные силы равны нулю).

3.5.Вычислите напряжения в элементах и узловые смещения для конструкции, изображенной на рис. Р3.5 (размеры даны в дюймах), используя прямой метод жесткости. Проведите вычисления в той последовательности, которая указана

Рис. Р3.5. (Линейные размеры ны в дюймах.)

в разд. 3.2. Матрица жесткости для треугольного элемента, находящегося в пло­

3.9. Исследуйте изображенную на рис. Р3.9 (размеры даны в дюймах) конструк­ цию согласно методике, оговоренной в задаче 3.5. Трапециевидную пластину раз­ бейте на прямоугольные и треугольные пластины. Соответствующие матрицы жест­ кости приведены на рис. 5.4 и 9.13; £=20«10® фунт/дюйм2, р.=0.2.

Рис. Р3.9. (Линейные размеры да­ ны в дюймах.)

3.10.Постройте необъединенную глобальную матрицу жесткости f k* J и гло­ бальную кинематическую матрицу [Л] для конструкции из задачи 3.5. Вычислите на компьютере глобальную матрицу жесткости с помощью [Л]т | k __|[Л].

3.11.Постройте необъединенную глобальную матрицу f ке J и глобальную кине­ матическую матрицу [Л] для конструкции из задачи 3.6. Вычислите вручную иля

на компьютере глобальную матрицу жесткости с помощью преобразования

[лптк Л Л ].

3.12.Постройте необъединенную глобальную матрицу жесткости Г ке J и кинема­ тическую матрицу системы [Л] для конструкции из задачи 3.7. Вычислите гло­ бальную матрицу жесткости [к].

3.13.Обобщите утверждение (3.5), включив начальные смещения {Alnit} в вектор перемещений и соответствующие силы {P,nit} в вектор сил. Начальные смещения

Л= const £=* const

Рис. Р3.14. ^Линейные размеры даны в футах.)

суть заданные величины, а соответствующие им силы неизвестны. Обобщите про­ цедуру решения, определенную в (3.5), чтобы учесть указанные условия.

3.14.Исследуйте кинематическую устойчивость изображенной на рис. Р3.14 (размеры даны в фунтах) фермы с помощью процедуры исключения Гаусса — Жордана, примененной к трем уравнениям равновесия конструкции, т. е. исклю­ чите узлы 5—9.

3.15.Получите уравнения равновесия в матричной форме для изображенной на рис. Р3.15 (размеры даны в дюймах) фермы и примените процедуру исключения

Гаусса — Жордана для выявления дополнительных сил (все площади равны).

Рис. Р3.15. (Линейные размеры даны в дюймах.)

3.16. Рассматривая элементы 2—3 и 3—4 как подконструкции для конструкции из задачи 3.1, исключите до3 и 0 3 как внутренние степени свободы и постройте матрицу жесткости конструкции относительно w 2, 02, до4> 04.

3.17. Изображенные на рис. Р3.17 элементы 1—2 и 2—3 имеют только крутиль­ ную жесткость k = G J / L . Вычислите углы закрутки 0* и Qyi обусловленные при­ ложенными скручивающими моментами М хх и М уу.

Рис. Р3.17.

3.18. Предполагается, что уравнения связи в задаче с п степенями свободы имеют вид lG ]{A }= {s), где IG] есть (гХл)-матрица. Разделите степени свободы на две группы {Дг}ГХ1 и {ДС}(//_ Г)Х1. Постройте матрицу преобразований в виде (3.31)

(учитывая однако вектор {s}). Выпишите уравнения жесткости в редуцированной форме (т, е. уравнения жесткости в терминах {Ас}).

4

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

В этой главе получим основные дифференциальные соотношения линейной теории упругости. Подробный вывод этих соотношений проводится в прямоугольной системе координат для двумерного случая. Этот случай в основном рассматривается в гла­ вах, в которых излагаются основы метода конечных элементов. Без вывода приведем также соотношения, которые обобщают результа­ ты, полученные для двумерного случая, на трехмерные задачи. Обобщения на более частные случаи и с11стемы_координат отложим до глав, в которых рассматриваются соответствующие типы конеч­ ных элементов.

Следует также заметить, что вывод указанных соотношений осу­ ществляется простейшим способом G минимумом строгости. Данный подход соответствует уровню изложения, характерному для более ранних книг по теории упругости [4.1, 4.21 или сравнительно недав­ но вышедших курсов, которые можно назвать повышенными кур­ сами сопротивления материалов [4.3, 4.41. Более строгий уровень построения теории, включающий нелинейные аспекты и более об­ щие типы поведения материала, читатель может найти в книгах [4.5—4.7].

В теории упругости имеются три системы соотношений: (1) дифференциальные уравнения равновесия; (2) соотношения, свя­ зывающие деформации с перемещениями, и условия совместности;

(3) уравнения состояния материала. Для любого тела, имеющего конечные размеры, системы (1) и (2) дополняются граничными ус­ ловиями. В данной главе выводится каждое из этих соотношений, а затем в общих чертах показано, как из совокупности указанных соотношений получить определяющую систему уравнений. В за­ ключение приводятся некоторые замечания, касающиеся вопроса единственности решения задач упругости и его значимости для ме­ тода конечных элементов.

единице), имеем

2 ^ = 0 = ( a* + l f c dx) dy — cx dy + Xdxdy-\r

Аналогичные рассуждения для направления вдоль оси у дают

(4.2b)

w +dw + Y = 0 -

Естественно, что в плоском случае должны удовлетворяться три условия равновесия, причем третьим из них является равенство моментов относительно оси, нормальной к плоскости. Наложение

этого условия приводит к тому, что тху=х,/х. Таким образом, урав­ нения (4.2а) и (4.2Ь) представляют собой искомые уравнения рав­ новесия плоской задачи теории упругости. Не составляет труда обоб­ щить эти выражения на трехмерный случай (с объемными силами X, Y и Z). (См. рис. 4.2, где изображены компоненты напряжения и силы.)

Конечно-элементная формулировка задачи в определенных слу­ чаях опирается на выбор поля напряжений. Поэтому необходимо либо выбирать поля таким образом, чтобы они удовлетворяли диф­ ференциальным уравнениям равновесия, либо проверять, удовлет­ воряют ли этим условиям выбранные функции, которые априори задавались без учета указанных условий. Например, если выбрать плоское поле напряжений, компоненты которого тождественно рав­ ны константам а х= а ь оу= а 2, тху= а3, то очевидно, что условия (4.2а) и (4.2Ь) выполняются. Более сложное поле, имеющее вид

с7x= a i+ a 2y, оу= а3+ а4х , тху= аь,

где а*, . ., аь— константы, также удовлетворяет уравнениям (4.2а) и (4.2b). С другой стороны, поле

G x CLl~\~CL2^i G y -Я3+а4у, ^ x y -^5

не удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия до тех пор, пока не обратятся в нуль коэффициенты а2 и а4 (а2= а 4=0).

Удобно находить поля напряжений, удовлетворяющие диффе­ ренциальным уравнениям равновесия, с помощью введения функций напряжения. Функции напряжения представляют собой функции, которые будучи продифференцированы согласно соответствующим правилам, дают компоненты напряжения, автоматически удовлет­ воряющие дифференциальным уравнениям равновесия. Плоское напряженное состояние можно охарактеризовать одной такой функ­ цией Ф, называемой функцией напряжения Эри и определяемой соотношениями

Очевидно, что в отсутствие объемных сил (X = Y =0) указанные поля напряжений автоматически удовлетворяют уравнениям (4.2)

ет с вышеприведенным примером.

Функции напряжения можно построить также для трехмерной теории упругости, теории изгиба пластин и других отдельных слу­ чаев упругого деформирования. Так, при расчете изгиба пластин методом конечных элементов, особенно полезно знание функций, называемых функциями напряжения Саусвелла. Эти функции рассма­ триваются в гл. 12. Основные трудности, связанные с введением функций напряжения, заключаются в том, что последние не имеют четко выраженного физического смысла. Это усложняет задание граничных условий и исследование других ключевых аспектов в процессе решения любой практической задачи.