Метод конечных элементов. Основы

начинается с определения напряженно-деформированного состоя­ ния, показанного на рис. 2.3(b). Затем выполняются алгебраиче­ ские преобразования, приводящие к математической модели, пока­ занной на рис. 2.3(c). Основная идеализация должна осуществлять­ ся таким образом, чтобы модель аппроксимировала реальную кон­ струкцию при уменьшении размеров элементов.

<ь>

Рис. 2.4. Сравнение особенностей расчета фермовых конструкций Матричными ме­ тодами строительной механики и методом конечных элементов, (а) Ферма; (Ь) ти­ пичный фермовый элемент; (с) тонкая пластина; (d) конечно-элементное представ­ ление; (е) типичный конечный элемент.

Для пояснения причин, обусловливающих применение идеали­ зации, показанной на рис. 2.3(c), можно воспользоваться задачей проектирования, представленной на рис. 2.4. Если требуется пере­ крыть пролет между точками А и В фермовой конструкции, изобра­ женной на рис. 2.4(a), то для расчета удобно применить матричные методы механики конструкций, которые, как уже отмечалось, пред­ полагаются известными читателю. Из фермы выделяются отдельные элементы, и для типичного осевого элемента, изображенного на рис. 2.4(b), выписываются соотношения, связывающие силы и пере­ мещения в узлах. Реальную ферму можно заменить теперь матема­ тической моделью, рассматривая равновесие сил в каждом узле.

Предположим теперь, что пролет необходимо перекрыть тонкой пластинчатой конструкцией, изображенной на рис. 2.4(c). Описан­ ная выше процедура применима и для данной задачи, если, согласно рис. 2.4(d), конструкция моделируется в виде совокупности тре­ угольных элементов, изображенных на рис. 2.4(e), для которых определены соотношения, связывающие силы и перемещения в узлах

элемента. Затем аналогично численному исследованию фермовых конструкций следует математическое моделирование пластинчатой конструкции. Гл. 3 посвящена описанию этой процедуры.

Существуют важные различия между представлениями фермой и пластиной. Суммируя покоординатно силы в каждом узле элемента фермы и приравнивая результирующие к соответствующим прикла­ дываемым нагрузкам, мы полностью удовлетворим условиям равно­ весия внутри фермы. Соединение элементов фермы полностью обес­ печивает перемещение фермы как конструктивного целого без ка­ ких-либо разрывов, смещений. Решение задачи для фермы является точным в рамках предположений о том, что соединения осуществ­ лены при помощи шарниров и отсутствуют деформации изгиба. Если каждый из элементов фермы разбить на более мелкие элементы и рас­ считать конструкцию с учетом этого более точного представления, то решение не изменится.

Однако решения методом конечных элементов для сплошных конструкций, таких, как тонкая пластина, изображенная на рис. 2.4(e), пространственное деформируемое тело, изгибаемая пластина и оболочка, не являются точными. Для иллюстрации этого утверждения предположим, что треугольные элементы, изображен­ ные на рис. 2.4(d), построены в предположении, что для поля пере­ мещений вдоль сторон элемента имеет место квадратичный закон распределения. На рис. 2.5(a) изображено деформированное со­ стояние двух выбранных элементов. Если соединить элементы, как указано выше, то, вообще говоря, будет нарушена непрерывность перемещений вдоль линии, соединяющей два элемента (см. рис. 2.5(b)). Соединения в вершинах элементов обеспечивают не­ прерывность только в этих точках. Квадратичная функция одно­ значно определяется по трем точкам, а так как только две концевые точки соприкасающихся сторон участвуют в определении формы смещений вдоль ребра, перемещения краев элементов будут разли­ чаться, за исключением некоторых частных случаев. Если исполь­ зовать большее количество элементов, как указано на рис. 2.5(c), то различие в смещениях на сторонах соседних элементов станет меньше и вызванная указанным обстоятельством погрешность ре­ шения также уменьшится. Эта ошибка конечна для любого конеч­ ного числа элементов, поэтому решение является приближенным.

Аналогичные доводы остаются в силе и для условий равновесия. Силы в узлах статически эквивалентны поверхностным силам или распределенным нагрузкам. В плоском случае, как показано на рис. 2.5(d), имеются две компоненты поверхностных усилий: Тп — нормальная компонента и Ts— касательная компонента. Представим себе (см. рис. 2.5(d)), что нормальные усилия Т* и Т% прилежащих элементов А и В постоянны вдоль соприкасающихся сторон и каж­

ний, не является единственным способом достижения сходимости. Можно также сохранить размеры элементов и последовательно улучшать представления для полей в элементе. Элементы, которые отвечают более сложным представлениям полей по сравнению с про­ стейшим для данного элемента полем, известны как элементы более высокого порядка.

При расчетах по методу конечных элементов источниками оши­ бок могут служить два условия: условие равновесия и условие непрерывности перемещений. В большинстве существующих моде­ лей конечных элементов стараются удовлетворить условиям непре­ рывности перемещений, поэтому можно считать, что погрешности при численном анализе возникают из-за неточного удовлетворения условий равновесия. Полная процедура численного исследования методом конечных элементов позволяет, однако, считать, что возни­ кающие погрешности обусловлены нарушением обоих условий. Как будет показано, теоретическое исследование метода конечных эле­ ментов тесно связано с выяснением, какое из условий выполняется,

акакое нарушено.

2.3.Свойства соотношений между силами и перемещениями для элемента

Определим вид соотношений, связывающих узловые силы и узловые перемещения конечного элемента, т. е. так называемые соотношения между силами и перемещениями. Соотношения между силами и пере­ мещениями для элемента записываются в одном из трех основных видов: (1) уравнения жесткости, (2) уравнения податливости,

(3) смешанные соотношения между силами и перемещениями.

Уравнения жесткости для элемента являются линейными ал­ гебраическими уравнениями, которые записываются в виде

Матрица Lк] — матрица жесткости элемента, а {F} и {А} — соот­ ветственно векторы сил и смещений для элемента. Заметим, что прямоугольная матрица обозначается символом [ ]. Отдельный элемент матрицы [к] назовем коэффициентом жесткости элемента. Если перемещение Д; полагается равным единице, а перемещения, отвечающие остальным степеням свободы, полагаются равными нулю (ДЛ=0, кф \)у значение силы Ft равно

На рис. 2.6 для треугольного элемента изображен случай, когда перемещение, отвечающее степени свободы 1, полагается равным единице (т. е. A ^ l) , а перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, полагаются равными нулю (Да= Д 3 = = . .^=ЛГ,=0). Следовательно, столбец узловых усилий равен столб­

цу коэффициентов матрицы жесткости, отвечающему Д1( откуда

Очевидно, что Fx=kn — сила, обеспечивающая единичное сме­ щение Дь a F2= ^ 2i и т. д.— реакции. Поэтому столбец коэффициен-

Рис. 2.6. Треугольный пластинчатый элемент.

тов матрицы жесткости {ка } представляет систему уравновешенных сил, действующих на элемент. Аналогичная интерпретация справед­ лива и для других столбцов матрицы жесткости элемента.

Рис. 2.7. Осевой стержневой элемент.

Рассматривая известные соотношения для стержневого элемента, изображенного на рис. 2.7, получим пример матрицы жесткости элемента

Соответствующее уравнение равновесия есть 2 F X=0, что приводит к равенству нулю суммы элементов в каждом столбце.

Другим примером может служить простейший изгибаемый эле­ мент, изображенный на рис. 2.8 (a), для которого матрица жесткости может быть записана в виде (детали построения указанной матрицы

где угловые перемещения Q ^ —dw/dx |ь Q2= —dw/dx |2. Как отме­ чалось в разд. 2.1, знак минус возникает потому, что вращениям в положительном направлении (по часовой стрелке) концевых точек элемента (0Ь 02) отвечает отрицательное смещение w.

Рис. 2.8. Балочный элемент, (а) Элемент общего вида; (Ь) свободное опирание;

(с) консольное закрепление.

При рассмотрении указанного алгебраического представления заслуживают внимания несколько аспектов. Во-первых, усилия, приложенные к элементу, суть непосредственно силы (Fu F2) и моменты (Ми М2), а перемещения отвечают поступательным (wu w2) и вращательным (0Ь 02) степеням свободы. Поэтому, если исполь­ зуются обобщенные понятия силы и перемещения, то эти понятия можно отнести не только непосредственно к силам и прямолиней­ ным перемещениям, но также к моментам и угловым перемещениям, высшим производным от перемещений (например, d^wlcx1) и связан­ ными с ними силовыми параметрами и даже к обобщенным переме­ щениям и силам, не имеющим физического смысла.

Во-вторых, следует отметить, что условия равновесия сил, отвечающих каждому столбцу матрицы жесткости, определяются не только приравниванием нуЛю суммы элементов в указанном столбце. Сумма коэффициентов жесткости, соответствующих силам F1, F2I действующим в направлении 2, согласно условиям равнове­ сия V F2= 0 действительно равна нулю. Однако для оставшихся ко­ эффициентов необходимо учесть уравнение равновесия для момен­ тов. Для столбца 1, например, рассмотрев моменты относительно точки 2, получим 2 M 2=(6L—3L—3L)=0.

В-третьих, порядок задания компонент векторов сил и переме­ щений приводит к тому, что за всеми величинами, относящимися

к узлу 1, следуют все величины, соответствующие узлу 2. Сущее!'* вует также возможность построить указанные векторы так, чтобы в столбце за всеми силами, действующими в направлении оси 2, следовали моменты, т. е. [_ Л М 2J , и соответственным образом построить вектор перемещений. Выгода от выбора той или иной формы записи зависит во многом от особенностей вычислительного процесса и простоты представления векторов. В книге используются обе формы записи.

Кроме того, если сравнить эту матрицу жесткости с матрицей растягиваемого стержневого элемента, то выясняется, что коэффи­ циенты последней матрицы суть константы, а среди компонент первой матрицы имеются как константы, так и величины, завися­ щие от длины, например 6, 3L, 2L2. Отношение этих величин может быть достаточно большим, что существенно влияет на точность чис­ ленного решения системы линейных алгебраических уравнений, образованной при помощи матрицы жесткости. Помимо аспектов, касающихся точности численного процесса, очевидно, что можно добиться больших удобств и значительной эффективности вычисли­ тельного процесса, если коэффициенты жесткости элемента не за­ висят от характерных размеров элемента, т. е. записаны в безраз­ мерном виде.

Матрице жесткости изгибаемого элемента можно легко придать безразмерную форму, если иначе определить величины узловых усилий и перемещений. Так, угловые смещения необходимо заме­ нить линейными смещениями 0iL и 02L, а моменты — силами M JL и M JL . Таким образом, величина L исключается из вторых и чет­ вертых столбцов и строк и происходит обезразмеривание коэффици­ ентов жесткости. Однако скалярный множитель, стоящий перед мат­ рицей, зависит от характерных размеров и механических свойств элемента. Большая часть матриц жесткости в данной книге имеет размерные коэффициенты, однако в принципе их можно записать в безразмерном виде, переходя к новым переменным для перемещений или используя процедуру факторизации. Последняя процедура бу­ дет описана на примере треугольного элемента в разд. 5.2.

Наконец, полная система уравнений жесткости для элемента связывает все узловые силы элемента с его степенями свободы. Когда это требуется, в число степеней свободы включается и движе­ ние тела как твердого целого. Так, для балочного элемента исклю­ ченные перемещения, отвечающие любому из изображенных на рис. 2.8(b) и (с) условию закрепления, суть совокупность переме­ щений, связанных с движением тела как твердого целого. Если выделить такого рода степени свободы и силы, то можно более крат­ ко описать жесткостные свойства элемента. Однако это потребует, как показано в гл. 7, применения специальным образом определен­ ной методики построения полной аналитической модели.

Уравнения податливости для закрепленного элемента выражают

узловые перемещения {Д/} через узловые силы {F/}, т. е.

(2.2)

где lf| — матрица податливости элемента. Отдельный коэффициент податливости f ti есть перемещение Дь вызванное единичной силой Fj. Нижние индексы / у векторов перемещений и сил означают, что у векторов перемещений и сил исключены компоненты, связанные с условиями закрепления. Для простоты нижний индекс// у матри­ цы [f] опущен.

Соотношения податливости можно записать только для закреп­ ленных неподвижно элементов, иначе при приложении сил будут возникать неопределенные (бесконечные) перемещения тела как твердого целого. Поэтому из уравнения (2.2) исключены степени свободы для некоторых узлов элементов. Очевидно, что соотношения податливости можно вывести для элементов, закрепленных стати­ чески неопределимым способом, однако за некоторым исключением эти соотношения трудно согласовать с аналогичными соотношения­ ми для других элементов конечно-элементной модели сложной кон­ струкции.

Уравнения податливости для элемента можно определить столь­ ким количеством способов, сколько имеется статически определимых условий неподвижного закрепления. Для балочного элемента су­ ществуют следующие два возможных вида закрепления. Свободное

Коэффициенты матриц податливости различны. Тем не менее, как будет показано в следующем разделе, основная характеристика

Смешанные соотношения между силами и перемещениями опре­ деляют соотношения между векторами, имеющими в качестве ком­ понент как силы, так и перемещения. Если силы и соответствующие степени свободы разбиты на две группы, обозначенные нижними индексами s и /, то общее представление смешанных соотношений можно записать в виде

(2.3)

Одной из форм смешанных соотношений между силами и перемеще­ ниями является форма, использующая передаточную матрицу. Си­ лы и перемещения на одном конце элемента ([_ F/ Д/ J ) переносятся

случае коэффициенты матрицы [ft] можно определить, используя уравнения статического равновесия элемента и матрицу податли­ вости элемента [f]. В разд. 2.6 будет описана эта методика. Другие виды смешанных соотношений можно получить, опираясь непос­ редственно на основные понятия конечно-элементной модели. Это описано в гл. 6.

2.4. Работа и энергия

Работа W силы равна произведению величины силы на величину перемещения точки приложения в направлении действия силы. Так, для вектора сил {F } и соответствующего вектора перемещений {А} имеем

где множитель V2 отвечает процессу нагружения, при котором на­ грузка увеличивается постепенно от нуля до своего конечного значения (т. е. силы инерции, обусловленные динамическим пове-

F

I

F A

2

А Рис. 2.9.

дением, пренебрежимо малы). Из рис. 2.9 видно, что для представ­ ленной зависимости, связывающей отдельно взятую силу Ft и соот­ ветствующее ему перемещение А* (рис. 2.9), работа равна площади заштрихованной области.

Соотношение (2.4) можно преобразовать в выражения, содер­ жащие только силы или только перемещения, используя для этого

Как показано в следующих главах, указанные величины опре­ деляют энергию деформации U элемента и дополнительную энергию

деформации U*. Видно, что обе величины U и U* суть квадратичные функции параметров [_AJ и |_ F/ J соответственно.

Как указывалось в разд. 2.3, всем возможным формам матрицы податливости для данного элемента отвечает одна и та же дополни­ тельная энергия деформации. К примеру, рассмотрим вновь балоч­ ный элемент. Если балка свободно оперта (см. рис. 2.8(b)), то

Чтобы сравнить с консольной балкой, вначале необходимо выразить силу Fi через моменты Мх и М 2 Из условия равенства моментов относительно правой точки опоры (точки 2) получим Fx= —(Mj + + М 2)/Ь. Дополнительная энергия деформации для консольной бал­ ки имеет вид

После подстановки полученного выше выражения для Fx в формулу для (У* и проведения выкладок приходим к выражению для U* в зависимости от Мх и М2, полностью совпадающему с приведенным выше.

2.5. Свойства взаимности

Коэффициенты податливости и жесткости для линейно-упругого тела обладают свойством взаимности и kij=kjt). Этот факт имеет важное значение с точки зрения эффективности вычислитель­ ного процесса и может быть также полезен при проверке правиль­

ности коэффициентов, получаемых численно или аналитически. Чтобы доказать теорему взаимности и тем самым определить пре­ делы ее применимости и налагаемые при этом ограничения, рассмот­ рим выражения для работы, производимой над закрепленной кон­ струкцией, изображенной на рис. 2.10, последовательно приклады­ ваемыми нагрузками Fj и F2 Обозначим указанную работу через