Метод конечных элементов. Основы
.pdfдополнительной работы имеет вид
Пст = 1 J <i[E]-1orf(vol)— J Т • u dS. |
(6.68с) |
Чтобы представить Итс в дискретном виде, запишем сначала предполагаемое поле напряжений в терминах обобщенных пара метров <Р/>:
a=[Z]{P/}. (6.77)
Еще раз заметим, что напряжения описываются параметрами, которые исключают члены, отвечающие движению тела как твер дого целого. Указанное обстоятельство обусловлено тем, что а — уравновешенное поле напряжений. Это можно показать и другим способом. Действительно, заметим, что в том случае, когда напря жения вначале определяются с помощью поля функции напряже ния (см. (4.4) и (6.76)), то это поле содержит параметры {&}, ко торые, однако, пропадают после дифференцирования по формулам (4.4).
Усилия на границе элемента Т можно легко выразить в тер минах {Р/}, вычисляя вдоль границы величины, входящие в (6.77). Эта процедура входит и во второй гибридный энергетический метод и поэтому из (6.61) имеем T=[L|{P/}. Окончательно заметим еще
раз, что независимо задаваемые граничные перемещения и связаны с узловыми перемещениями G помощью соотношений (6.17): й = =[К|{А}.
Используя выражения (6.77), (6.61) и (6.17) для о, Т и й, за пишем (6.68с) в дискретном виде:
П? = т LP/J [Л] {P/KLP/J [/]{*>, |
(6.68d) |
где |
(6.78) |
и аналогично (6.62)
[ / M j [ l] T[ y ] d S \
Варьируя (6.68(1) по {РД находим
Подставляя полученное выражение в (6.68d), окончательно имеем
|
п ? |
------± ^ [к ]{ Д } , |
|
где |
И |
= [ /№ ] - * [ /] • |
(6.79) |
6.7.2.Пример
Иллюстрируя этот подход на примере балочного элемента, заметим, что роль «поля напряжений» здесь играет распределение изгибаю щего момента 3)1, а
V ' = m ^ № Y d x , [ t f ] = [ ^ [ z n z ] d * .
Так как изгибающий момент в нашем случае меняется линейно, имеем
Го - и
Всоответствии с представленным на рис. 6.14 распределением
находим |
j, —M 8= p 1+ p 2L, FI = $ 2, F2= —$2. Следовательно, |
||||
|
|
|
0 |
Г |
Ih}*1 1’ |
|
Т = [_ Fj Afj F ,M 2J |
T |
1 |
0 |
|
|
|
||||
|
0 |
— 1 |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
-1 |
—L |
|
где u= [_ Щ 0Xw20a J ([ V\ — единичная матрица).
Следует отметить, что ранг матрицы жесткости [к] будет неполным, если число параметров {А} превышает число членов <р/} более, чем на число степе
ней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого. Формула (6.79) предполагает, что на соотношение размерностей векторов не накладываются ог раничения.
7 № 2 5 4 7
Подставляя выписанные соотношения в соответствующее вы ражение для Щ1, получим
6L |
3L2' |
[/] = [L]T. |
|
^ — 6E l 3L2 |
2L3 ’ |
||
|
Легко проверить, что обычное выражение для матрицы жесткости элемента можно получить, используя приведенные в (6.79) мат рицы [Н] и [/].
6.8. Энергетический метод Рейсснера и альтернативные функционалы
6.8.1. Основные положения
Вгибридных методах, основанных на концепции мультиполей в принципах минимума модифицированной потенциальной и допол нительной энергии, внутри элемента используется одно поле, а на границах элемента — другое независимое поле или два незави симых поля. Можно, однако, использовать вариационный принцип, которому внутренне присуще понятие мультиполей. При этом подходе соответствующие поля перемещений и напряжений одно временно задаются для всего элемента.
Применение метода Галеркина из разд. 5.5 к вспомогательным уравнениям упругости, а не к комбинации дифференциальных уравнений (равновесия или совместности) приводит к выраже ниям с одновременным участием двух полей. Ниже эта же форму лировка рассматривается с других позиций, а именно: строится функционал, в который входят два поля, и доказывается, что уравнения Эйлера для этого функционала представляют собой соответствующие вспомогательные уравнения теории упругости. Так как вспомогательные уравнения можно записать различными путями, существует несколько функционалов, в которые входят два поля. Здесь рассматривается функционал Рейсснера (Пк) [6.16], которому в методе конечных элементов уделяется особое внимание.
Этот функционал можно выписать, исходя из выражения для потенциальной энергии. Исключая снова из рассмотрения началь ные деформации и объемные силы, заметим, что по определению
|
U* + U = ^a-ed (vol) |
(6.80) |
|
vol |
|
или |
U = J o ed (v o l)— U*, |
(6.80a) |
|
vol |
|
где дополнительная энергия деформации U* задается первым интегралом, входящим в правую часть выражения (6.68а). Под
ставляя полученную формулу в выражение (6.40) для Пр, получим
функционал Рейсснера Пк:
Пк = J oDAd(vol)— W + V, |
(6.81) |
vol
где через DA обозначены производные от перемещений в формулах (4.7) для деформаций. Видно, что если независимо выбраны как поле перемещений, так и соответствующее поле напряжений, то в поверхностный интеграл V входят как заданные граничные усилия, так и заданные граничные перемещения, т. е.
У = — $ |
T -udS — J T (u— ii)dS, |
(6.82) |
SG |
SU |
|
где S a — участок границы, на котором заданы перемещения и. Варьируя выражение (6.81) и интегрируя его по частям, можно показать, что уравнения Эйлера для функционала IIR представ ляют собой уравнения равновесия (4.3) и дифференциальные соот ношения, связывающие напряжения с перемещениями, т. е. урав нения, получаемые подстановкой соотношений между деформа циями и перемещениями (4.7) в уравнения состояния (4.15). Обрат ное утверждение было доказано в разд. 5.5 методом взвешенных
невязок.
Дискретизируя выписанные соотношения, чтобы использовать их при анализе методом конечных элементов, рассмотрим ниже только те поля, которые выражаются в терминах физических сте пеней свободы. Так, записывая в дискретной форме выражения для а, е, Т и и и учитывая (6.71), (5.6с), (6.56) и (6.17), находим, что
n R= L F, J [0 „] { А } - Ц ^ [On] { F ,} - L A J {F} + L F, J {А/},
|
|
|
|
|
(6.81a) |
[Ог.] = |
' j |
[Z]T [D] d (vol)l — ГJ |
[L]T[K ]dS‘ , |
(6.83a) |
|
|
vol |
J |
I S |
и |
|
[Ои] = |
' J |
[Z]T[E]-l [^]d (v o l)j, |
(6.83b) |
||
|
-VOl |
|
J |
|
|
{F} = !I S |
[K J'T dS l |
|
|
(6.83c) |
|
|
J j |
[K]'u<iSj, |
|
|
(6.83d) |
а 1Z], ID], IL] и [К) — соответственно матрицы связи между на пряжениями и узловыми силами, деформациями и узловыми пере-
мещениями, граничными усилиями и узловыми силами, гранич ными перемещениями и узловыми перемещениями.
Варьируя выражение для Пн в виде-(6.81а) как по {F/}, так и по {А}, получим следующую смешанную матрицу связи между силами и перемещениями:
Г -о.1 Q» l / F/ l _ | A/ \ |
J \ |
А |
|
|
L |
1 I FО/ |
(6.84) |
||
Матрица этого же вида была ранее выписана в разд. 2.3, и анало гичное представление встречалось уже в (5.47).
6.8.2. Пример
Для примера рассмотрим еще раз простой изгибаемый элемент, который изображен на рис. 6.15. Применяя указанный подход к
элементу, полностью |
окруженному элементами того же типа, |
*w\ |
*2• wi |
предполагаем, что выбранное поле перемещений позволяет удов летворить соответствующим условиям непрерывности на границе
элемента. Поэтому в (6.82) разность и — и равна нулю в подын тегральном выражении для интеграла по поверхности S ut откуда
следует, что поверхностные интегралы в [012] и {А}/ равны нулю для дискретной формы записи функционала (см. (6.83а) и (6.83d)).
Для балочного элемента поле напряжений а есть момент 9JZ,
поле перемещений А — поперечные перемещения wt а поле дефор
маций — кривизна w". |
В нашем случае интеграл по поверхности |
S 0 представляет собой |
сумму дискретных величин F1w1+ F 2w2+ |
+ M 1Q1+ M 202. Поэтому функционал Рейсснера можно записать как |
|
n R= J gjtar d |
x - ^ ^ d x - i F w + / > , + м 1е1+М А). |
L |
L |
Выражение для кривизны было определено ранее. Из (5.16) имеем w"= LN" J (А), где
L N "J = А L 3 (2 E - 1 );- 3 (2 S — 1)! — L(36—2 ) |- L ( 3 6 - 1 ) J , (Д} = L ws 0J 0а J т и 6 = X/L.
Поле моментов описывается линейной функцией:
Подставляя указанное выражение в Пк, получим
+ L ^ A I J |
| | (1g ^ j |_N" J dx |
— М2В3. |
Проводя указанное интегрирование и варьируя |
Пк по Ми М а, |
|
wu w2, 0i и |
02, имеем |
|
где
Выписанная система уравнений может быть непосредственно ис пользована при построении глобальной системы уравнений, вклю чающих в качестве неизвестных как обе силовые характеристики (Ми М2), так и перемещения (wlf w2, 0ь 02). В этом частном случае можно с помощью уравнения для элемента получить известную матрицу жесткости для этого элемента. С этой целью решаем вна чале уравнения, записанные в верхней части полной системы:
и подставляем полученные выражения в уравнения, записанные в нижней части
Можно проверить, что [к] = —[Q12] [Q uJ^IQ u]— матрица жесткости для балочного элемента.
В работах [6.4, 6.8, 6.17—6.19] и др. описаны более общие вариационные принципы, из которых вытекают принципы стацио нарности потенциальной и дополнительной энергии и функцио нала Рейсснера. Так, к одной из альтернативных формулировок можно прийти, если выразить из (6.80) величину U*, подставить ее в (6.68) при одновременном учете граничных условий в виде (6.82). Альтернативные формулировки элементов, вкладываемые в указанные более общие виды функционалов, в той или иной степени использовались в разд. 6.5 и 6.7.
6.9.Некоторые заключительные замечания
Вэтой главе показано, что существует целый ряд независимых подходов к построению уравнений податливости, жесткости, а также смешанных уравнений для элемента. Эти альтернативные подходы вытекают в основном из принципов стационарности по тенциальной и дополнительной энергии и смешанных энергети ческих принципов. Внутри каждого подхода также существуют различные формулировки, обусловленные предположениями о характере полей в совокупности со смягчением (релаксацией) определенных условий для основных типов энергетических прин ципов.
Хотя метод, основанный на принципе стационарности потенци альной энергии (метод виртуальных перемещений), является пре обладающим подходом при формулировке соотношений между силами и перемещениями для элемента, он все же не самый удобный. Во многих случаях на практике трудно выбрать поле внутри эле мента, которое бы отвечало всем условиям согласованности при переходе через границу, которые вытекают из характера соеди нения соседних элементов. Примером этому служат изгибаемые элементы, для которых на границе элементов должны быть непре рывны не только поля, но и производные от функций, задающих эти поля (угловые смещения). Не существует полей перемещений простого вида, которые отвечали бы этим требованиям.
По этой причине нередко построение соотношений для элемента пластины при изгибе осуществляется выбором поля перемещений, которое непрерывно внутри элемента, а не при переходе через границу соседних элементов. Принцип минимума потенциальной энергии справедлив при формулировке соотношений для отдель ного элемента, однако решение в случае глобального представления не соответствует строгому применению принципа минимума потен циальной энергии из-за разрывности перемещений вдоль границ смежных элементов.
Аналогичные трудности встречаются и при формулировке соотношений для элемента на основе принципа минимума допол
нительной энергии, особенно в том случае, когда поле напряжений внутри элемента описывается полями функций напряжений. В этом случае можно провести параллель с процессом построения соот ношений на базе принципа минимума потенциальной энергии, и все возникающие при этом трудности переносятся на соответст вующие формулировки для принципа минимума дополнительной энергии.
Альтернативой к формулировкам на базе принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии с непрерывными и раз рывными полями на границе соседних элементов служат подходы, вытекающие из принципов минимума обобщенной потенциальной и дополнительной энергии, применение гибридных подходов и функционала со многими полями. Метод, опирающийся на принцип минимума обобщенной потенциальной энергии, используемый при построении соотношений для отдельного элемента, дает корректи рующую матрицу жесткости элемента. В гл. 7 показано, что урав нения, соответствующие этой матрице, можно использовать и в глобальном конечно-элементном представлении, полученном на базе принципа минимума потенциальной энергии с разрывными вдоль границ элементов полями перемещений.
В гибридных методах используются не только обобщенные формулировки известных энергетических принципов, но и пред ставление характеристик элемента с помощью нескольких полей. Например, внутри элемента задается один вид поля перемещений и (или) напряжений, на границе элемента задается независимо в другой форме поле напряжений и (или) перемещений. Все поля, за исключением одного, задаются в терминах обобщенных пара метров. Последнее поле выражается в терминах физических сте пеней свободы. Соответствующее энергетическое выражение (мо дификация потенциальной и дополнительной энергии) записы вается вначале в терминах обоих классов параметров и требуется выполнение условий стационарности для набора обобщенных параметров. В результате приходим к системе уравнений для обобщенных параметров, выраженных в терминах физических степеней свободы. Эти соотношения используются для исключения обобщенных параметров из выражения для энергии. Получающееся в результате выражение для энергии содержит в этом случае ис комую матрицу жесткости или податливости в обычной форме.
Вариационные принципы с использованием мультиполей приво дят непосредственно к смешанному виду соотношений между си лами и перемещениями для элемента. Так как уравнения Эйлера для этих функционалов являются уравнениями, лежащими в ос нове теории упругости, включающими производные низких по рядков, требование к непрерывности задаваемых полей ниже, чем при подходах, использующих вариационные принципы.
Приведем, как и в разд. 5.4, сводку преобразований, примени-
емых в предшествующих формулировках элементов. Эти преобра зования, которые при описании величин граничных усилий или перемещений помечены черточкой сверху, при формулировке со отношений для элемента считаются известными в каждом конкрет ном случае. Кроме того, силы и перемещения помечаются нижними индексами / и s, при этом матрицы преобразования соответствую щим образом разбиваются на подматрицы, если необходимо раз личать степени свободы, отвечающие соответственно неподвижному закреплению элемента и незакрепленному элементу.
Преобразование обобщенных силовых параметров в поле на пряжений
<x=[Z]{p,}. (6.77)
Преобразование узловых напряжений в поле напряжений
o=[Z\{Ff }. |
(6.71) |
Преобразование обобщенных силовыхпараметров в граничные усилия
T=[L1{P/}. (6.61)
Преобразование узловых сил в граничные усилия
T=[L]{F/}. (6.56)
Преобразование обобщенных параметров смещения в граничные смещения
u=[Y]{a}. (6.55)
Преобразование смещений в граничные смещения
и=[Г1{Д}. (6.17)
Литература
6.1.Михлин С. Г Вариационные методы в математической физике. — М.: Гостехтеориздат, 1957.
6.2.Schecter R. The Variational Method in Engineering.— New York, N.Y.: McGraw-Hill Book Co., 1967
6.3.Langhaar H. L. Energy Methods in Applied Mechanics.—New York, N.Y John Wiley & Sons, Inc., 1962.
6.4.Washizu K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity.—Oxford: Pergamon Press, 1968.
6.5. Strang G., Fix G. An Analysis |
of the Finite Element Method.— Englewood |
Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, Inc., |
1973. [Имеется перевод: Стренг Г., Фикс Дж. |
Теория метода конечных элементов.— М.: Мир, 1977, 349 с.]
6.6.Tong Pin New Displacement Hybrid Finite Element Model for Solid Conti- nua.—Int. J. Num. Meth. Eng., 1970, 2, p. 73—83.
6.7McLay R. W. A Special Variational Principle for the Finite Element Me thod.— AIAA J., Mar. 1969, 7, No. 3, p. 533—534. [Имеется перевод: Ракет ная техн. и космон.— М.: Мир, 1969, № 3.]
6.8.Kikuchi F., Ando Y. New Variational Functional for the Finite Element Me
thod and Its Application to Plate and Shell Problems.—Nuc. Eng. Design, 1972, 21, p. 95— 113.
6.9. Greene R. E., Jones R. E., McLay R. W., Strome D. R. Generalized Variatio nal Principles in the Finite-Element Method.—AIAA J., July 1969, 7, No. 7. p. 1254— 1260. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон., 1969, № 7.J
6.10.Harvey J. W., Kelsey S. Triangular Plate Bending Element with Enforced Compatibility.—AIAA J., 9, No. 6, June, 1971, p. 1023— 1026. [Имеется пе ревод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1971, № 6.]
6.11.PianT. Н. Н., Tong Pin. Basis of Finite Element Methods for Solid Continua.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1969, 1, No. I, p. 3—29.
6.12.Pian T. H. H. Hybrid Models.—In: Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics, S. J. Fenves, et al. (ed.).—New York, N.Y.: Academic Press, 1973.
6.13.Gallagher R. H., Dhalla A. Direct Flexibility Finite Element Analysis.— Proc. of First Int. Conf. on Struct. Mech. in Nuclear Reactor Tecnology, Ber lin, 1971.
6.14.Pian T. H. H. Derivation of Element Stiffness Matrices by Assumed Strees Distributions.—AIAA J., 1964, 2, p. 1333— 1336. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1964.]
6.15.Pian Т. Н. Н. Element Stiffness Matrices for Boundary Compatibility and Pre scribed Boundary Stresses.—Proc. of Conf. on Matrix Methods in Struct. Me chanics, AFFDL TR 66-80, 1965, p. 457—477.
6.16. Reissner E. On a Variational Theorem in Elasticity.—J. Math. Phys., 1950,
2 9 , p . 9 0 .
6.17.Fraeijs de Veubeke B. Displacement and Equilibrium Models in the Finite Element Method, Chapter 9, Stress Analysis, О. C. Zienkiewicz and G. Holister (ed.).—London: John Wiley, Ltd., 1965.
6.18.Prager W. Variational Principles of Linear Elastostatics for Discontinuous Displacements, Strains, and Stresses.—In: Recent Progress in Applied Mecha
nics: The F. Odqvist Volume.—New York: John Wiley & Sons, Inc., 1967,
p. 463—474.
6.19.Sewell M. J. On Dual Approximation Principles and Optimization in Conti nuum Mechanics.—Phil. Trans., Royal Soc. of London, 13 Nov. 1969, 2 6 5 ,
No. 1162, p. 319—351.
Задачи
6.1. Проверьте справедливость принципа виртуальных сил 6 U * = — 6V , где U* — дополнительная энергия деформации. При этом виртуальное поле напряжений до долж но удовлетворять всем граничным условиям в напряж ениях.
6.2. Найдите энергетически эквивалентные нагрузки в узлах стержневого эле мента для распределения нагрузок, задаваемого формулой q = q 0(l— (x/L )2).
6.3. Постройте согласованную матрицу массы для простого изгибаемого балочного элемента.
6.4. Постройте согласованную матрицу массы [ш] для треугольного элемента из изотропного материала в случае плоского напряж енного состояния (см. рис. 5.3), где р — масса, приходящ аяся на единицу объема. При этом геометрические
характеристики треугольного элемента обозначаются символом lnm= \ xnymdA.
А
6.5. Н агрузки, распределение которых показано на рис. Р 6.5, приложены к грани элемента, перемещение которого задается следующей линейной функцией:
Вычислите энергетически эквивалентные силы в точках 1 и 2,