Метод конечных элементов. Основы

этот метод к системам со многими степенями свободы. В этой форме указанный метод является альтернативой к описанному в п. 3.5.2 методу преобразований.

Согласно концепции метода множителей Лагранжа, экстремум функционала при ограничениях (связях) может быть найден, если умножить каждое ограничение на константу (kt— множитель Лаг­ ранжа), прибавить полученные выражения к исходному функциона­ лу и выполнить варьирование по каждой степени свободы и каждому множителю. Как и ранее (см. (3.28)), для г связей и п степеней свободы система в общем виде записывается следующим образом*.

Теперь, согласно принятой выше методике, построим вспомога­

Варьируя по каждой А; и Kit получим следующую систему уравне­ ний:

Заметим, что в нижней части матричного соотношения записана система ограничений. Эти уравнения можно решить непосредствен­ но. Матрица, определяющая эту систему, положительно полуопре- делена. Поэтому, выбирая алгоритм решения, нужно быть осто­ рожным. В предположении, что матрица (К1 неособая, из решения верхней части уравнений получаем

Следует отметить, что (7.19) отвечает формулировке смешанного типа. (Ср. с (2.3).) Это можно понять, вспоминая, что согласование размерностей в расширенном функционале приводит к тому, что множители Лагранжа имеют размерность силовых параметров. Ввиду положительной полуопределенности соотношений (7.19) не удается доказать в общем случае, что найденное таким образом решение, основанное на принципе минимума потенциальной энер­ гии, дает нижние границы для рассматриваемых характеристик.

Если поменять местами первый и третий столбцы выписанной вспо­ могательной матрицы жесткости, то придем к легко разрешимой системе уравнений, откуда получим

задаче множитель Лагранжа равен сумме сил, действующих в на­ правлении оси х. При этом ограничения накладываются на неза­ крепленную конструкцию, что приводит к вырожденное™ основ­ ной матрицы жесткости. Следовательно, процедуру, представлен­ ную соотношениями (7.20) и (7.21), здесь применить нельзя.

7.4.Метод обобщенной потенциальной энергии

Вгл. б изучался ряд подходов, альтернативных к традиционным и основанных на принципах минимума потенциальной и дополнитель­ ной энергии. Причем альтернативные подходы характеризовались смягчением условий непрерывности полей между элементами. Изло­ женные процедуры позволяли сформулировать для элемента само­ согласованные соотношения, которые стыкуются с соотношениями соседних элементов, не требуя введения модификации в процедуру

глобального анализа. Ниже описывается другой класс процедур, в которых условия на межэлементную непрерывность полей смяг­ чены, но для реализации которых требуется выполнить специальные операции с глобальными уравнениями (и, в частности, наложить некоторые ограничения на глобальные уравнения жесткости).

В излагаемом подходе предполагается, что пробные функции для элемента записываются в терминах степеней свободы в узлах соединений, т. е. А= |_ N J {А}. Считаем также, что степени свободы {А} связываются с соответствующими степенями свободы соседних элементов, а пробные функции не полностью совместимы на гра­ ницах, разделяющих элементы. Предположим, к примеру, что сме­ щения и вдоль стороны 1—2 изображенных на рис. 7.8 элементов А

где N?, . N%— квадратичные функции от у (вообще говоря, указанные функции зависят от х и у , однако здесь они вычисляются вдоль линии, на которой х не меняется). Ни для элемента А, ни для

2

элемента В перемещение не определяется однозначно заданием перемещений их и и2 в концевых точках. Величины и?-2 и и ^ 2 на границе 1—2 различны; следовательно, перемещения терпят разрыв и существует невязка и ^ 2—Ц?-2* Однако межэлементная непре­ рывность может быть восстановлена при помощи задания условия

Уг

После интегрирования получим линейное алгебраическое уравнение вида

G1Iu1+G12u3-hGIsU3+GuU4+Gisus-hGieue=0. (7.25)

Используя методы множителей Лагранжа, можно учесть урав­ нение (7.25) в процессе решения. В рассматриваемом примере для каждой компоненты смещения на каждой из границ элемента возни­ кает по одному такому соотношению.

В данном случае множители Лагранжа представляют среднее значение внутренних сил на линиях, вдоль которых устраняются разрывы полей перемещений. Более того, глобальные уравнения имеют вид уравнений (7.19), которые представляют собой соотно­ шения между силами и перемещениями в смешанной формулировке (см. уравнение (2.3)). Таким образом, смешанные формулировки

можно интерпретировать как результат применения традиционных энергетических методов со «смягченными» требованиями непрерыв­ ности.

Если разрыв полей перемещений вдоль каждой из границ, разде­ ляющих соседние элементы, более высокого порядка, то на каждой такой границе требуется ввести дополнительное уравнение-ограни­ чение. Один из способов учета этих ограничений состоит в требо­ вании, чтобы невязки из-за разрывов вдоль границы равнялись ну­ лю. Для этого выпишем произведение функции, задающей ограни­ чения, на множитель Лагранжа Х (и ^ 2—ц?_2)=0, где X — в нашем случае непрерывная функция координаты, меняющейся вдоль гра­ ницы. Затем прибавим к выражению для потенциальной энергии

сколько имеется условий, необходимых для однозначного опреде­ ления перемещения вдоль стороны. Поэтому имеем

u?-2)dy = X0J {ut-i — и?_2) dy + ki ^(u? -i— u?-i)y d y + + К § (uf-2— uf.i) у2 dy +

так что ограничения принимают вид

(7.26)

Следует заметить, что альтернативный подход к определению ограничений, восстанавливающих непрерывность, заключается в обеспечении непрерывности в дискретных точках границы. В приве­ денном выше примере имеется невязка для одной степени свободы в полях перемещений на границах элементов. Обозначая точку, лежащую на стороне 1—2, цифрой 7 (см. рис. 7.8), можно записать ui —ttf=0. Вычисляя затем в точке 7 соответствующие значения полей перемещения для элементов А и В, получим уравнения, за­ дающие ограничения в виде, аналогичном соотношению (7.25). Если учесть указанное ограничение с помощью метода множителей Лагранжа, то в этом случае множитель Лагранжа представляет собой величину силы в рассматриваемой точке.

Преимущества обобщенного вариационного подхода отчетливо проявляются при построении конечно-элементных моделей изгибае­ мых пластин. Возможность проиллюстрировать этот факт предста­ вится в гл. 12.

7.5. Принцип минимума дополнительной энергии

Если при конечно-элементном анализе в соотношениях податли­ вости в качестве неизвестных выбрать узловые или граничные силы, то выписать соответствующие формулировки на базе выражения для дополнительной энергии намного труднее, нежели конечно-эле­ ментные представления жесткостной формулировки, опирающиеся на принцип минимума потенциальной энергии. Это происходит из-за того, что для статически неопределимой конечно-элементной идеа­ лизации конструкции нельзя непосредственно выполнить преобра­ зование от узловых сил элемента {F*} к прикладываемым нагрузкам {Р}. Если, с другой стороны, в качестве основных неизвестных вы­ браны функции напряжений, то формулировки сходны с исполь­ зуемыми при жесткостном представлении. Опишем эти два подхода ниже.

Рассмотрим вначале случай, когда в качестве неизвестных выби­ раются силЫу причем объемные силы и предварительные напряжения предполагаются отсутствующими. Для определения величины до­ полнительной энергии деформации U* в конечно-элементной модели, состоящей из Р элементов, воспользуемся соотношением (6.68Ь). Имеем

1=1 1=1

где {F1} и [f'} — соответственно вектор сил и матрица податливо­ сти i-ro элемента. Это можно записать в следующем виде:

диагональную структуру, где каждый блок есть матрица податли­ вости отдельного элемента. Все матрицы отдельных элементов lf‘], t=1, ., р, входят в этот массив. Кроме того, в нем фигу­ рируют нулевые строки и столбцы, соответствующие силам реакции опоры в точках закрепления.

Может показаться, что следующий логически оправданный шаг состоит в переходе от внутренних сил и сил реакции {F*} к узловым силам {Р}; однако, как было указано выше, это нельзя осуществить непосредственно в случае статически неопределимой конструкции. Следовательно, {F*} выражается в виде суммы двух силовых систем {F0} и {Fr}. Здесь {F0} — любая система внутренних сил, уравно­ вешивающих {р>. и пока выбор этой системы не соответствует

окончательному решению задачи, эта система будет связана с не­ согласованным деформированным состоянием. Силы {Fr} представ­ ляют собой амплитуды самоуравновешенных сил. Число этих сил равно числу статически неопределимых степеней свободы в рас­ сматриваемой задаче.

Как показано в разд. 3.3, выбор дополнительных сил, а также построение соотношений, связывающих внутренние силы с прило­ женными нагрузками и дополнительными силами, можно осущест­

Далее необходимо выписать выражение для работы К*, совер­ шаемой на заданных полях перемещений. Для простоты исключим случай ненулевых перемещений. Считаем, что число степеней свобо­ ды в узлах, соответствующих точкам опоры, равно нулю. Поэтому вклад этих слагаемых в К* равен нулю. В соответствии с традици­ онными положениями анализа, учитывающего дополнительные си­ лы:, рассмотрим только сосредоточенные, прикладываемые к узлам силы Pt. Однако при рассмотрении указанных сил временно допу­ стим, что соответствующие степени свободы Д* заданы и далее в процессе решения Pt трактуются как варьируемые параметры. Следовательно,

Подставляя полученное' выражение в (7.28) и проводя выкладки с учетом, что UC=U* + V* (см. (6.68)), получим

Чтобы найти стационарное значение величины Пс, выполним варьирование правой части (7.30) по всем параметрам, как {Р}, так и {Fr}- Тогда

Решение нижней части уравнения дает

и после подстановки в верхнюю часть уравнения приходим к вы­ ражению

где объединенная глобальная матрица податливости имеет вид

Поле внутренних сил (и силы реакции опоры, если они входят в {F*}) можно найти, подставляя (7.32) в (3.15с1). Имеем

{F*}=[[IW—[0 J UD2]T Г f* J[Х)2]]”1[^2]тГ f' JШ ] {P}. (7.34)

Прикладываемые узловые силы рассматриваются теперь как извест­ ные величины.

Будет показано, что в сравнении с жесткостным анализом при­ веденный выше анализ податливости требует большего числа следую­ щих друг за другом матричных преобразований. Еще более значи­ тельны оказываются затраты на построение соотношений (3.15d), исходя из значения матрицы 1В]. Согласно методике, описанной в разд. 3.3, матрица [В] формируется из уравнений равновесия для каждой степени свободы. Поэтому в [В] то же число строк, что и число уравнений в прямом методе жесткости. Заметим, что метод исключения Гаусса — Жордана есть по существу метод обращения матриц, поэтому затраты на выполнение этих операций соответст­ вуют затратам на построение обратной к матрице [К], т. е. объеди­ ненной глобальной матрицы жесткости.

Способ, позволяющий избежать перечисленные трудности, дол­ жен использовать, как предложено в разд. 6.6, функций напряжений в качестве параметров поля напряжений. Согласно этой схеме, до­ полнительная энергия деформации i-ro элемента имеет вид

где для плоского напряженного состояния величина {Ф*} содер­ жит в качестве параметров значения функции напряжений Эри и соответствующие производные в узлах элемента (см. (6.75)). Для других типов напряженного состояния используются другие функ­ ции напряжений. В нашем случае податливость элемента [fz1 опре­ деляется согласно (6.72а).

Непрерывность поля напряжений при переходе через границы элементов — если поля напряжений элементов допускают непрерыв­ ное задание — достигается приравниванием значений параметров функций напряжений в узлах соединений элементов. (Поля напряже­ ний в элементах могут быть записаны через узловые параметры функции напряжений, но в такой форме, что будет нарушаться не­ прерывность усилий при переходе через границу между элементами. Такие элементы можно также объединить, приравнивая параметры функции напряжений в узлах, однако с их помощью нельзя получить правильное конечно-элементное представление величины дополни­ тельной энергии.) Эту процедуру можно осуществить аналогично

той, которая указана вразд. 3.2 для метода жесткости. Таким обра­ зом, строится процедура прямого метода податливости. Представим полученную глобальную (для р элементов) дополнительную энергию деформации U * в виде

параметров функции напряжений. Кроме того, U * можно выписать, используя приведенную в разд. 3.3 схему конгруэнтных преобразо­ ваний.

Важно учесть тот факт, что дополнительная энергия деформации элемента U 1'* строится по полю напряжений а, задаваемому с по­ мощью производных соответствующего порядка от поля функции напряжений Ф (см. (6.74) и (4.4)). Например, порядок производных для случая плоского напряженного состояния равен двум. Следова­ тельно, U* определяется с точностью до членов, которые исчезают в результате дифференцирования. Ситуация совпадает с той, ко­ торая возникает для конечно-элементного представления с исполь­ зованием перемещений, когда нельзя выделить движение тела как твердого целого из-за выполняемых для определения поля дефор­ мации е операций дифференцирования перемещений А.

Чтобы удовлетворить указанному выше требованию, можно за­ фиксировать достаточное число узловых силовых параметров, чтобы получить статически определимые неподвижные условия закрепле­ ния. К примеру, было замечено, что функция напряжений Эри для плоского напряженного состояния двойственна поперечным сме­ щениям в теории изгиба тонких пластин, в которой для реализации требуемых условий закрепления следует фиксировать три соответст­ вующим образом выбранные степени свободы. Отсюда следует, что аналогичным образом в случае плоского напряженного состояния достаточно зафиксировать три силовых параметра.

Совершенно необязательно, чтобы зафиксированные степени свободы, скажем , включались непосредственно в дополнительную энергию деформации подстановкой Ф7= 0 в U * Можно ввести эти ограничения с помощью обсуждавшейся в разд. 7.3 процедуры мно­ жителей Лагранжа. В этом разделе было также показано, что если ограничения делают систему статически определимой и эти огра­ ничения учитываются с помощью метода Лагранжа, то в этом случае в основной матрице [Z7] необязательно подавлять степени свободы, отвечающие движению тела как твердого целого. Учет приложенных сил приводит к системе ограничений, и если прикладываемые на­ грузки самоуравновешены, то для рассматриваемых целей этих соот­ ношений достаточно.