Метод конечных элементов. Основы
.pdfвала; указанные граничные значения обозначим через Дх и Д2. Функ ция Д, которая обеспечивает стационарное значение функционала П(Д), обозначается через Д0 и изображается сплошной линией на рис. 6.3. Чтобы определить Д0, необходимо выбрать функцию, кото-
Рис. 6.3. Стационарная (Д0) и пробная (Д0+еш) кривые.
рая отличается от Д0 на величину ею, где ш — произвольная ам плитудная функция, удовлетворяющая условиям для Д в точках х! и х 2у а е — величина амплитуды. Таким образом, аппроксима ционное выражение имеет вид
Д = Д(|+ его, |
(6.23а) |
а наклон изображенной кривой равен
(lA/dx = Д' = До+ eto'. |
(6.23Ь) |
Заметим далее, что ею задает малую вариацию функции Д, кото рую обозначим через 6Д. Итак,
6Д = ею, б Д ^ е ш ' |
(6.24а, Ь) |
Вариация 6Д приводит к малому изменению функционала, обозна чаемому через 6П, которая является первой вариацией функцио нала.
Символ б, или дельта-оператор, означает малые произвольные изменения зависимой переменной А при фиксированных значениях независимой переменной х. Как видно из рис. 6.3, в заданной точке Xt величина 6Д есть амплитуда В — А. Отличие дельта-оператора б от оператора дифференциального исчисления dy заключается в том, что последний связывает dxcdy. Иными словами, dy характеризует расстояние по вертикали между точками данной кривой, находя щимися на расстоянии dx. Важным свойством оператора дельта, используемого при построении вариационных соотношений, явля ется коммутативность по отношению к операциям дифференциро вания и интегрирования, т. е.
6 ( | д л )-5(6Д)л
Учитывая вышеизложенное, перейдем к выводу соотношений, определяющих стационарное значение функционала П. Сначала запишем функционал для аппроксимирующей функции Д0+еШ. В этом случае (6.19) имеет вид
П(е) = |
Д0 + еш, До + e'm')dx. |
(6.25) |
Далее в этом выражении разложим / в окрестности точек Д0 и А'0 (при фиксированном*). Получим
f(x, Д0 + еш, A '+ ew ') — f(x, Д0, До) = [ - щ (6Д)+ -~r- (6A')J +•
-(-члены более высокого порядка малости. (6.26)
Левая часть этого соотношения представляет собой изменение /, обусловленное вариацией 6Д=еШ, т. е. это 6f. Поэтому, пренебре гая членами более высокого порядка малости, можно записать пер вую вариацию функционала в виде
s n = f 6' ‘to4 ’(® 7 M + l ; 64' ) ‘fa- 0’ |
<6'27) |
причем приравнивание выражения к нулю сделано в соответствии с условиями стационарности.
Чтобы получить полезное выражение для 6П, необходимо про интегрировать это выражение по частям. Как показано в гл. 5, эта операция нужна частично и для того, чтобы получить граничные условия. В нашем случае интегрирование по частям поможет вы нести 6Д в виде сомножителя, при этом необходимо проинтегриро вать по частям только второй член. Имеем
Так как вариация 6Д должна обращаться в нуль на концах хх и х 2у первый член в правой части соотношения равен нулю. Поэтому (6.27) примет вид
&-£(&)■ dx = 0. |
(6.27а) |
Очевидно, в силу произвольности 6Д интеграл обращается в нуль при условии
т в г - с ( & ) “ °- |
<6-29> |
Это уравнение известно как уравнение Эйлера (или уравнение Эй- лера — Лагранжа) для функционала П. Функция Д, доставляющая экстремальное значение функционалу П, удовлетворяет соответст вующему уравнению Эйлера. На практике величины, входящие в уравнение Эйлера, позволяют выписать определяющее дифферен циальное уравнение физического процесса, описываемого исходным функционалом.
6.2.2. Пример
Чтобы проиллюстрировать, как «работает» выписанная выше про цедура, рассмотрим функционал, отвечающий стержневому эле менту. Вспомним, что виртуальная работа обусловливает равенство 6 ( U + V ) = 0 . Это соответствует выполнению первого необходимого условия для функционала U + V . В случае стержневого элемента (см. разд. 5.5) имеем
L L L
U + К = у ^ е2£Л dx— J q u d x = ^ Г-^- ( ^ у ЕА —q u \d x .
о0 0
Следовательно, сравнивая с (6.19), заключаем, что
f = [ \ { ъ ) ' Е А - ч - и \
Учитывая теперь дифференциальное уравнение Эйлера (6.29), по лучим ( так как здесь Д0=и)
df _ |
я Р |
d u |
|
ди> ~ |
A E |
d x ' |
|
df_ d ( df \ |
, С А |
Л |
|
ди —Тх ( ш7) = —1ч— А |
Е |
= 0 |
|
или АЕ (d2u/dx2)+q=0, которое является определяющим диффе ренциальным уравнением (уравнением равновесия) в этой задаче.
6.2.3. Граничные условия и ограничения
Требования, согласно которым искомая функция или ее производ ная принимает заданное значение в граничных точках, известны как главные граничные условия. Если функция не удовлетворяет этим условиям, то первый член в правой части соотношений (6.28) обращается в нуль, если
<3//дД;=0. (6.30)
Условие, выраженное соотношением (6.30), известно как ес тественное граничное условие. В качестве иллюстрации рассмотрим
стержневой элемент, для которого, согласно выписанным выше фор мулам, имеем df/dA'0=df/duf=АЕ (du/dx). Однако известно, что du/dx=ex, Е г= ох и F= AoXy поэтому F= 0 в этой точке. Следова тельно, можно удовлетворить естественным граничным условиям, означающим, что сила на свободном конце стержневого элемента равна нулю. Этому типу граничных условий в функционале энер гии отвечает член, представляющий работу прикладываемых на грузок.
В заключение важно указать способ учета ограничений, рас сматриваемых в вариационном исчислении. Одним из способов является метод множителей Лагранжа. Рассмотрим задачу миними зации функционала П(Д), и пусть ограничение имеет вид
»(Д) = 0. |
(6.31) |
Построим новый функционал Па, называемый расширенным функ ционалом, умножая $ на константу X и прибавляя полученное про изведение к исходному функционалу:
n e = n + A,S, |
(6.32) |
где X — множитель Лагранжа. Если теперь П достигает экстре мального значения на Д0 при ограничении 5$(Д)=0, то частные производные Ua по Д и X, приравненные к нулю, дадут условия для определения Д0 и X (необходимые условия)
d lia _дП . л д<§ |
= 0, |
(6.33а) |
Ж ““ ад+ |
|
|
ап* = » = 0. |
|
(б.ЗЗЬ) |
dX |
|
|
Заметим, что одно из полученных соотношений и есть исходное ог раничение $=0. Строгое обоснование метода излагается в книгах по вариационному исчислению (см., например, [6.11—[6.4]).
Множители Лагранжа могут иметь важный физический смысл в рассматриваемой задаче. В некоторых случаях этот смысл можно рыяснить, детально изучая их свойства. В других случаях физи ческий смысл множителей Лагранжа легко выяснить, рассматривая функционал П. Например, при расчете конструкций на основе энергетических методов П представляет собой энергию и имеет раз мерность силы, умноженной на перемещение. В некоторых задачах ограничения задают соотношения между перемещениями. Поэтому цз соображений размерности величина X должна иметь размерность силы и множители Лагранжа можно рассматривать как обобщенные силы.
6.3.Дискретная вариационная задача
6.3.1.Безусловная минимизация
Перейдем к изучению дискретных функционалов, в которых пере менная Д аппроксимируется суммой конечного числа членов. Так как рассматривается концепция метода конечных элементов, выбе рем аппроксимацию в виде (5.5а), т. е. Д= L N J {Д}. Для простоты рассмотрим случай одной переменной Д. Случай, когда рассматри вается поле переменных (например, Д = |_ u v w J ), изучается анало гичным образом. При изучении свойств дискретного функционала полезно представить его в виде поверхности в (п+1)-мерном про странстве, где п ортогональных координат отвечают п степеням свободы Ai, Д2......... Д„, а на (п+1)-й оси откладываются значения функционала П({Л}). Каждая точка на такой поверхности — зна чение величины П({Д}). Поверхность в задаче с двумя степенями
Рис. 6.4. Поверхность П, задающая функци онал для двустепенной системы.
свободы (Дь Д2) изображена на рис. 6.4. Нельзя изобразить ситуа цию, если число степеней свободы превосходит два, однако алгеб раические свойства изображенного случая переносятся и на общую «-мерную задачу. Так как рассматриваются свойства экстремаль ного значения П({А}), обобщим на наш случай формулу разложе ния в ряд Тейлора, выписанную в (6.20) для непрерывной задачи в окрестности стационарной точки {А0}. Имеем
П
пп
(6.34)
где dAt — разность между t-й компонентой {Д} и соответствующей компонентой (Д0) (и аналогично для dAj). Можно также записать
это разложение и в матричном виде:
П ({А}) = П0 + |
дП |
{d\ \ + ^ A [ * ] \ d A \ + |
(6.34а) |
д\ |
где {dA}={A}—{А0}, а отдельные элементы матрицы {х}, называе мой матрицей Гессе, имеют вид х 0-=<Э2П/дД* dAj. Как [_дП/дА J , так и [х], согласно (6.34), вычисляются на {А0}. Здесь выписаны лишь три члена разложения, так как функционалы, рассматриваемые
влинейных задачах механики конструкций, являются квадратич ными. Поэтому производные третьего и более высокого порядка, фигурирующие в последующих членах, не дают вклада в П({Д}).
Если П (Д) имеет стационарную точку, то, по определению, на касательной плоскости в указанной точке выполняется условие, согласно которому любая бесконечно малая вариация координат ЙД/ не вызовет в первом приближении изменения функционала. Это требование является первым необходимым условием, выражен ным для непрерывного случая формулой (6.21) и записываемым здесь
ввиде
6П ({Д})=0. |
(6.35) |
Чтобы преобразовать это выражение к виду, удобному для построе ния алгебраических уравнений, решение которых приведет к на хождению стационарной точки, используем 6 как дифференциаль ный оператор. Итак,
6П ((41) _ “ |
6Д, + ^ |
S4, + |
+ Ц |
> „ |
= [ “ |
-j <«А}-0. (6.35а) |
|||
и в силу независимости вариаций 6Дг |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
{ап/ад}=о. |
|
(6.35Ь) |
||
Это условие применимо к i (i= l, |
|
п) степеням свободы At. В ре |
|||||||
зультате получим систему из п уравнений. |
|
|
|||||||
В некоторых случаях стационарная точка дискретизированного |
|||||||||
функционала |
|
обладает |
дополнительным |
свойством — это точка |
|||||
экстремума |
(максимума |
или минимума). Если это — точка мини |
|||||||
мума, |
то любое смещение из этой точки увеличит значение П. Так |
||||||||
как L ап /ад J |
{dA} |
равно нулю в этой точке, то из условия мини |
|||||||
мума |
следует, |
что |
|
1_6Д _|[х] (6 Д » 0 . |
|
||||
|
|
|
|
|
(6.36а) |
||||
Так как вариация {6Д} произвольна, выписанное условие приводит к положительной определенности гессиана [х]. По определению, матрица является положительно определенной, если для любого вектора {dA }=£0 произведение |_dAJ[x]{dA} положительно. Для
точки максимума, наоборот, справедливо |
|
L6 A J lx ] {6Д}<0, |
(6.36Ь) |
поэтому [х] — отрицательно определенная матрица. Вариационная формулировка позволяет изучить вопросы, свя
занные с понятием согласованности в случае конечно-элементной дискретизации физической задачи. Ранее уже отмечалось, что внут ри одной и той же области функция должна быть дифференцируема столько раз, каков порядок производных в соответствующем урав нении Эйлера (т. е. для стержневого элемента уравнение Эйлера имеет второй порядок, поэтому функция должна быть не менее чем квадратична). В методе конечных элементов функционал полной системы состоит из суммы функционалов ГР для р отдельных облас тей (элементов), т. е.
п = 2 П' (/= 1 |
(6.37) |
/=I |
|
Что же тогда может служить условием согласованности на грани цах элементов? Выяснить смысл этого условия поможет рассмотре ние вариаций полей для одномерной полоски элементов, изображен ной на рис. 6.5. Если для этого случая функционал представляет
Рис. 6.5. Кусочно-постоянная вариация величины d&/dx.
собой интеграл от первой производной (dA/dx) по области, занимае мой всей системой, то видно, что непрерывность А позволяет одно значно определить П. Эта ситуация обобщается следующим обра зом: однозначное определение функционала возможно, если обес
печивается непрерывность производных, на один порядок меньших, нежели наибольший порядок производных, встречающихся в функцио нале.
6.3.2. Метод множителей Лагранжа для учета ограничений
Метод множителей Лагранжа справедлив при наличии ограниче ний и в дискретизированной задаче. Если имеется г ограничений вида
»*(А,.........Д„) = 0 |
(6 = 1 , . . . . г), |
(6.38) |
со вводится расширенный функционал |
|
|
П‘ «Д, ^ ) = П«Д}) + 2 |
(6.39) |
|
|
О= I |
|
где второе слагаемое в правой части соотношения — сумма произ
ведений |
на соответствующие множители Лагранжа |
Приме |
тим первое |
необходимое условие для каждой степени |
свободы Д* |
и для каждого множителя Лагранжа Kk. Система получающихся ноотношений для степеней свободы имеет вид
а дифференцирование по Kh приводит к ограничениям (6.38). Заметим, что аналогично разд. 6.2 соображения анализа раз
мерностей позволяют определить размерности множителей Лагранжа и выявить физический смысл этих множителей. Если $ft= 0 пред ставляют собой ограничения на перемещения, то — соответству ющие силы. В гл. 7 представится возможность проиллюстрировать указанное утверждение на примере.
6.4. Минимум потенциальной энергии
6.4.1. Свойства потенциальной энергии
Принцип минимума потенциальной энергии представляет собой ос нову для непосредственной формулировки уравнений жесткости элемента. Потенциальная энергия конструкции Пр представляет собой сумму энергии деформации U и потенциала внешних сил V, т. е.
Up= U+V |
(6.40) |
Принцип формулируется следующим образом: среди всех допустимых перемещений те, которые удовлетворяют условиям равновесиЯу обеспечивают стационарное значение потенциальной энергии. По
этому
6ПР= 6(;+ 6У = 0 . |
(6.41) |
В состоянии равновесия потенциальная энергия Пр минимальна.
Следовательно,
62П/?= 6 2(У+62У>0. |
(6.42) |
При выводе приведенного выше принципа для простоты исклю чим из рассмотрения объемные силы. Обозначим через dU величину энергии деформации, приходящуюся на единицу объема, или плот ность энергии деформации (см. разд. 2.4, где дается исходное опре деление энергии деформации). Тогда изменение плотности энергии деформации вследствие изменения величины деформации 8е, вы званного виртуальным перемещением, равно
6(d(/)=a6e, |
(6.43) |
где о — равновесное напряженное состояние, существовавшее до вариаций перемещений. Ввиду малости здесь опущены слагаемые, обусловленные действием приращений напряжений на соответству ющих виртуальных деформациях. Подставляя соотношения между напряжениями и деформациями (4.15), получим следующие выра жения для приращения энергии деформации:
6(dU) = е[Е]6е—elnll[El бе. |
(6.44) |
Интегрируя в пределах от 0 до значения е, соответствующего а, получим (меняя местами члены в подынтегральном выражении второго интеграла)
dU = - ^ s \ Е ]е— J е[Е] e ,n,t d(vol), |
(6.45) |
vol |
|
откуда для всего конечного элемента после интегрирования dU по объему имеем (обозначая третий член в правой части соотноше
ния через |
C(elnil)): |
|
|
U |
^ e[E]ed(vol)— ^ e[E ]elnltd(vol) + C (elnlt). |
(6.46) |
|
|
vol |
vol |
|
Замечая также, что применение б аналогично применению диффе ренциала, запишем первую вариацию U в виде
Ш = ^ |
e[E]6ed(vol)— |
[ e,n,t [Е] Sea (vol). |
(6.47) |
vol |
vol |
|
|
Потенциал приложенных нагрузок равен |
|
||
|
1/ = - 2 |
jT -udS , |
(6.48) |
1= 1 |
с |
где все входящее в выражение символы определены ранее. Снова заметим, что интеграл по участку поверхности 5 И, где заданы пере мещения, не входит в выписанное выражение благодаря выполне нию условий кинематической допустимости для выбранных полей перемещений. Иными словами, указанные геометрические главные (или вынужденные) граничные условия строго выполняются.
Первая вариация V дается выражением
6V = —2 Ffib, — 5 Т • 6u dS. |
(6.49) |
«о |
|
Обращаясь вновь к принципу виртуальной работы (6.1), видим, что, согласно (6.41), 6£/+61/=6Пр=0, откуда первая вариация должным образом записанной потенциальной энергии Пр равна нулю, т. е. Пр стационарна в точке, соответствующей решению.
6.4.2. Конечно-элементная дискретизация
Приведем рассуждения, опираясь на знание полей перемещений, выраженных в терминах степеней свободы. Согласно (5.6с), имеем e=[D] {А}. Поэтому, подставляя указанное выражение для е в (6.46), получим
U = Ц ^ [ к ] ( Д ) - [_ Д J |
+ С (в«»«), |
(6.50) |
где [к] и {Finit} определяются согласно выражениям (6.12а) и (6.12Ь), полученным с учетом принципа виртуальной работы.
Кроме того, запишем в дискретном виде величину V (учитывая, что, согласно (6.17а), 6и=[К|{Д}):
У—— LД J }— LД J (Fd}. |
(6.51) |
где {Fd} определяется из (6.12 f).
Теперь с учетом (6.50) и (6.51) запишем выражение для потен циальной энергии полностью в дискретном виде
Пя =14=±[к](А }— |_A J {{F| + |F '" 'H ( F ^ } , (6.39а)
которое является квадратичной формой общего вида. Используя далее условие стационарности [т. е. {дП/дД}=0, см. (6.35Ь)1, по лучим
[k] {A >={F)+{Fillll}+{Frf}. |
(6.52) |
Чтобы выяснить, максимальна или минимальна в этой точке энергия, рассмотрим вторую вариацию. Для консервативных на