Метод конечных элементов. Основы
.pdfВ рассматриваемом случае усилия на границе суть узловые си-
лы, т. е. Т = \_FiM1F2M i _|т. Однако, как отмечалось выше, ве личины Flt Ми Р2, М 2 связаны условиями статического равнове сия. В частности, Р2=—Fj и М 2= —Ft L—M t. Поэтому
|
|
‘ 1 |
О" |
\Рг |
|
Т = |
М, |
О |
1 |
||
F, |
— 1 |
0 |
\M j |
||
|
|||||
|
М2 |
_—L |
— l j |
||
Для балочного элемента энергия деформации равна (EI/2)^(w")dx,
L
следовательно, из (6.59) имеем
[H] = [£ /S [C /]T[C/] ^ ] .
L
После подстановки величин [Су], [Y/] и |_L J в выписанное выра жение для IHJ и соотношение (6.58) получим
12L2
[Н] = EIL
6L
С учетом (6.59) приходим к формуле
, Г212 3L
m = [J]T[ H r [ J ] = w [ 3L 6
дающей корректное представление матрицы податливости балочного элемента.
6.5.3.Второй гибридный метод перемещений
Второй гибридный метод перемещений [6.6] основан на концеп ции прямого построения матрицы жесткости элемента. Выберем
систему граничных перемещений и, характеризующихся межэле ментной согласованностью, выраженных в терминах узловых пере мещений {Д}- Эта система выбрана независимо от выбора поля А, описывающего перемещения внутри элемента в терминах парамет ров {а} (рис. 6.10). В общем случае имеется рассогласование меж ду рассматриваемыми перемещениями на границах элемента, опре
деляемое величиной (и — и), где, как и прежде, и — граничные пе ремещения, отвечающие {а}.
Вспомним, что, согласно строгой формулировке принципа мини мума потенциальной энергии разд. 6.2, граничные условия для пе ремещений удовлетворяются точно и составляют главные граничные
условия. Так как в нашем случае эти условия строго не выполня ются, то последние рассматриваются как естественные граничные условия. Вспомним, что естественные граничные условия представ-
[ YJ M |
| А,(<типичноек) |
Рис. 6.10. Предполагаемые поля напряжений и перемещений, используемые во втором гибридном методе перемещений, (а) Описание перемещений (внутренние и соответствующие поверхностные смещения (и) выражены через обобщенные пара метры {а^}, задаваемые поверхностные смещения (й) — через узловые смещения {А}); (Ь) описание напряжений (поверхностные силы выражены через обобщенные параметры №/}>•
ляются непосредственно в функционале энергии при помощи чле на, выражающего работу. Выпишем интеграл работы граничных
сил Т на невязке перемещений (и — и), т. е.
$ Т (и— и)dS, Sn
и модифицируем соответствующим образом выражение для потен циальной энергии *\ Имеем
Прг= и — J T-udS— J Т(й— и)dS. |
(6.60) |
В проводимых рассмотрениях граница S a состоит из частей границ элементов, аппроксимирующих границу конструкции. Так как здесь рассматриваются лишь вопросы построения внутренних эле ментов, то в дальнейшем опустим интеграл по 5 СТ. Таким образом,
*> Член J T (u -~ -u)dS можно получить иначе, если предположить, что П™*—
Sn
функционал, построенный с целью исключения невязки в перемещениях (и—и).
Поэтому требуется ввести ограничения вида (и—и)= 0. С этой целью используем, во-первых, метод множителей Лагранжа из разд. 6.3, согласно которому необхо
димо ввести дополнительное слагаемое J Х(и—u ) d S в выражение для потенииаль-
ч |
^ |
s" |
ной энергии. |
Однако, |
как было замечено ранее, множитель Лагранжа имеет в |
нашем случае размерность параметра нагружения и является граничным усилием Т, соответствующим невязке (и—и). Поэтому к основному выражению для потен
циальной энергии необходимо добавить член J T(u—u)dS .
Sn
приходим к следующему модифицированному выражению для по тенциальной энергии:
n ”’= U — J Т(й— и) dS. |
(6.60а) |
Sn |
|
Для дискретизации выражения (6.60а) требуется выразить ве
личины в, u, и и Т через исходные поля. Представления для г и и уже имеются в виде (5.6d) и (6.55). Требуется теперь соответству
ющим образом представить и и Т.
Нео. ходимо выразить и в терминах узловых перемещений {А}. (Это соотношение было уже записано (см. (6.17)) символически в виде
и=[К|{А}, где верхней чертой отмечены заданные величины.) Кроме того, граничные усилия Т должны быть выражены через обобщенные параметры {Р/}. Здесь для обозначения параметров, не входящих в число параметров, отвечающих движению тела как твердого целого, также используется нижний индекс /, что согласу ется с предыдущими рассуждениями относительно определения гра ничных усилий (см. замечания, приведенные в тексте до выражения (6.56)). Итак, запишем указанные соотношения в виде
|
T=[L][p/]. |
|
(6.61) |
|
Дискретизацию |
Пр1 можно |
выполнить при помощи |
подстановки |
|
в (6.60а) выражений для е, |
Uy, и и Т соответственно |
из |
(5.6с1), ле |
|
вой части (6.55), (6.17) и (6.61). В итоге получим |
|
|
||
П?’= |
[Н] W — L h J HI <Л} + L а/ J [Q]<Р,Ь (6.60Ь) |
|||
где [НJ определяется согласно (6.57), а |
|
|
||
|
[ '] = [ $ |
|
(6.62) |
|
|
[Q)Jl [V /FtL jdS]. |
|
(6.63) |
|
Чтобы построить искомую матрицу жесткости, выпишем алге |
||||
браические уравнения, варьируя сначала Up’ по {а/}, |
а затем по |
|||
{Р/}- Имеем |
[Н] {аЛ]+ [Q] {Р,} = 0, |
|
(6.64а) |
|
|
|
|||
|
[/]< M -[Q ]T W = 0 . |
|
(6.64b) |
|
Выражая из этой системы (а^} и {Ру} через {Д} и вновь подставляя полученные выражения в (6.60Ь), получим
|
П р*=-Ц ^[к]{Д}, |
(6.65) |
||
где |
M = [ / ] T[[Q]T[ K r i [Q ]]-1[/]. |
( |
6 |
. ) |
|
|
66 |
||
6.5.4. Пример реализации второго гибридного метода
Рассмотрим снова балочный элемент, который изображен на рис. 6.11. Величины е и и определяются так же, как и в предыдущем при
мере, а матрица [Н] та же самая. Граничные смещения и равны уз ловым перемещениям:
11= 1_“>1 0 1 ^ 2 02 J T= L A J T>
поэтому очевидно, что [F]= [l] (единичная матрица). Так как в настоящем подходе требуется выразить вектор граничных усилий T = |_ F iM iF 2M 2 J т в терминах обобщенных параметров, то для
|
|
2i W2 |
каждой узловой |
силы выберем один обобщенный параметр, т. е. |
|
LPi Рг Рз Р4 _|т- |
Как и |
ранее, Т — система самоуравновешенных |
сил, поэтому из условия |
равновесия следует, что F 2= —Fj и М2= |
|
= —FxL—Mi. Откуда р3= —Pi и р4= —р —|}2. Следовательно, |
||
|
T = L ^ i Mi F 2 М2 J т ==[L] {р,}, |
|
где матрица [L] |
совпадает с матрицей Ш, построенной для иллю |
|
страции первого гибридного метода, а {Р/}= LPi РaJт- |
||
Из иллюстративного |
примера для П™' имеем матрицу [Y/1 для |
|
этого случая. Применяя эту матрицу совместно с приведенным вы
ше выражением для [L] и [К]=[11 в формулах (6.62), (6.63), на ходим
Подставляя указанные матрицы и полученную ранее матрицу [Н1
в(6.66), приходим к обычной матрице жесткости элемента.
6.5.5.Обобщенная потенциальная энергия
Подход, основанный на обобщенной потенциальной энергии, можно пояснить, по-иному интерпретируя выражение (6.60а). Рассмотрим вычисление энергии деформации U и поверхностных интегралов как не связанные друг с другом операции. Взятая отдельно, энер гия деформации зависит от перемещений внутри элемента А. В этом частном виде метода обобщенной потенциальной энергии [6.6—
6.8], который рассматривается ниже, перемещения внутри элемента записываются в терминах узловых перемещений, т. е. А = [N] {Д}. Однако эти перемещения не удовлетворяют требованиям межэле ментной непрерывности. Так, матрица жесткости, которую назовем основной матрицей жесткости [k0l, подсчитывается в результате подстановки А в U. Поэтому элементы не будут согласованы.
Рассмотрим теперь поверхностный интеграл по S n в (6.60а). (Здесь опять обсуждаются лишь внутренние элементы, поэтому по верхностный интеграл по S a опускается.) Из предыдущих рассуж дений следует, что этот интеграл отвечает за реализацию условий непрерывности перемещений вдоль границ элемента. Как и ранее,
опишем граничные перемещения и независимо от внутренних пере мещений таким образом, чтобы они были согласованы при переходе границы элемента, но выражались через узловые перемещения {Д}. Что касается граничных усилий Т, то в нашем случае они сна чала записываются через производные от перемещений. При этом используются соотношения теории упругости (4.5), соотношения, связывающие напряжения с деформациями и деформации с переме щениями. __
Эти перемещения далее аппроксимируются с помощью и. В ре зультате получим интеграл, который квадратичен по узловым пере мещениям {Д} и который содержит в качестве матрицы Гессе кор ректировочную матрицу жесткости [кс]. Следовательно, полная матрица жесткости имеет вид
[k|= [k0]+[kc]. |
(6.67) |
Альтернативным к описанному выше подходу, основанному на
методе обобщенной |
потенциальной |
энергии, является подход |
|
[6.9, 6.10], в котором основные |
матрицы |
жесткости элементов |
|
[к01 определяются численно и суммируются, |
образуя глобальную |
||
матрицу жесткости |
без какой-либо корректировки соотношений, |
||
отражающих разрывность перемещений для отдельных элементов. Далее в виде ограничений выписываются соотношения, отражаю щие выполнение в среднем условий межэлементной непрерывно сти, и эти ограничения при помощи метода множителей Лагранжа добавляются к глобальным уравнениям. Так как этот подход пра вильнее отнести к процедуре анализа конструкции в целом, воз вратимся к нему снова в гл. 7.
Так как идеи построения элементов с помощью гибридных ме тодов и метода обобщенной потенциальной энергии иллюстрирова лись на простых примерах, то приведенные построения не обладают общностью. Это отчетливо видно из замечаний относительно по строения некоторых полей перемещений и граничных усилий (см. текст, следующий за (6.56)). Однако в главах, касающихся расчета плоского напряженного состояния и изгиба конструкций, мы вновь
вернемся к формулировкам этого типа, проводя при этом рассмот рения более общего вида. Исследования еще более общих вопросов представлены в работах [6.5—6.8, 6.11, 6.121.
6.6. Метод минимизации дополнительной энергии
6.6.1. Свойства дополнительной энергии
Принцип минимума дополнительной энергии дает возможность на базе вариационного подхода непосредственно построить соотноше ния податливости элемента, т. е. выражения для параметров пере мещения элемента в терминах силовых параметров. Дополнительная энергия Пс конструкции равна сумме дополнительной энергии де формации U * и потенциала граничных сил К*, соответствующего заданным смещениям, т. е.
Пс=£/* + К*. |
(6.68) |
Принцип можно сформулировать следующим образом: среди всех полей напряжений у удовлетворяющих условиям равновесия внутри тела и равных заданным значениям напряжений на границе телау поле напряженийу которое удовлетворяет соотношениям между напряжениями и перемещениями и отвечает всем заданным гранич ным условиям для перемещений, доставляет стационарное значение дополнительной энергии. Таким образом,
6ПС=6£7 *+61/*=0. |
(6.69) |
В линейной теории упругости величина Г1с для состояния равнове сия минимальна:
62Пс= 6 2£/*+621/*>0. |
(6.70) |
Чтобы убедиться всправедливости высказанного утверждения, можно провести те же рассуждения, что и в разд. 6.4 при доказа тельстве принципа минимума потенциальной энергии. В нашем слу чае виртуальные перемещения следует заменить на виртуальное поле напряжений, накладываемое на действительное поле переме щений. Замечая, что граничные условия для напряжений должны удовлетворяться и при выбранном виртуальном поле напряжений, приходим к (6.69), т. е. к соотношению 6ПС=0, где дополнитель ная энергия равна
= |
J а [Е]"1 od (vol) — J T u dS. |
(6.68a) |
|
|
vol |
sn |
|
Здесь первый интеграл в правой части равенства равен U *, а вто |
|||
рой интеграл равен — V * |
Символом S u помечена |
поверхность, |
|
на которой заданы перемещения u, а Т — соответствующие гранич ные усилия.
6.6.2.Конечно-элементная дискретизация с использованием узловых сил
Запишем теперь Пс в дискретном виде, чтобы построить конечно элементное представление. Наиболее простой и известный способ дискретизации — выразить поле напряжений элемента через узло вые силы. Это описание можно представить в виде
a=[Zl{F/}, |
(6.71) |
где {F/} — набор узловых сил, за исключением сил реакции, обес печивающих статически определимое закрепление элемента. За дание граничных усилий основывается на применении соотношения (6.71) . Результат символически запишем в виде, аналогичном (6.56):
T=[£l{F/ }.
Заметим, как и в п. 6.5.1, что в общем случае трудно, а подчас и невозможно выписать выражение для Т как функции от узловых усилий {F/}. Однако для балочного и стержневого элементов оп
ределить |
указанное |
преобразование |
можно. |
|
||
Подставляя в (6.68а) выражения для а и Т, полученные из |
||||||
(6.71) |
и |
(6.56), найдем |
|
|
|
|
|
|
Пс = ~~Y ~ [П{F,} |
L F/J {^}, |
(6.68b) |
||
[!]= |
^ [Z \T [£ ]-1 l-Z]d(vol) (матрица |
податливости |
элемента), |
|||
|
L vol |
|
|
|
|
(6.72) |
|
|
|
|
|
|
|
|
\s« |
[L]Tu d S \ |
(заданный вектор |
перемещений элемента). |
||
|
I |
|
|
|
(6.73) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и в случае потенциальной энергии, используя приведенные формулы, можно доказать минимальность величины Пс.
6.6.3.Пример
Применение изложенных выше идей может быть продемонстри ровано на примере построения матрицы податливости консоль ного балочного элемента, изображенного на рис. 6.12. Основное выражение для дополнительной работы в этом случае имеет вид
M iJ |
{ Q1}- |
L |
' 1 ' |
Заметим, что в качестве напряжения здесь выступает изгибающий момент ift, а смещения в узлах ш, и 0! играют роль заданных пе ремещений; при этом [L] — единичная матрица. Из рисунка видно,
что момент изменяется линейно:
Ш = xF, + м , = LX 1J{^ }= [Z] {Ff\.
Поэтому
где
El J |
J d x ~ 6Е/ [3L б ] ' |
Полученные указанным образом матрицы податливости эле ментов можно либо преобразовать в матрицы жесткости элементов, используя процедуру из разд. 2.6, либо непосредственно исполь зовать при расчетах всей конструкции по методу сил. Когда урав нения податливости элементов выражены через силы, то расчет
Рис. 6.12.
всей конструкции может проводиться с применением матричного метода сил. В этом методе в качестве неизвестных выбираются системы самоуравновешенных сил, причем в эти системы не вклю чаются силы, обеспечивающие статически определимое закреп ление конструкции. Как показывается в гл. 7, этот метод расчета всей конструкции вызывает трудности как с точки зрения выбора указанных систем сил, так и выполнения требуемых матричных операций.
6.6.4. Конечно-элементная дискретизация, использующая функцию напряжений
Трудностей, возникающих при применении метода сил, можно в значительной мере избежать, если брать в качестве параметров напряжения или функции напряжений. Так, например, для пло ского напряженного состояния выражение дополнительной энер гии имеет вид
(6.74)
Напомним, что, согласно разд. 4.1, напряжения ох, ау и хху можно выразить через производные от функции Эри Ф в следующем виде (см. (4.4)):
* д у г ' У У ’ ^ у д х * , х х ’ ^ х / д х д у *х у *
Следовательно,
|
ф 'УУ |
U * = Y '\ 1 ф >уу Ф * * -ф.*^ [Е Г 1 |
ф %хх tdA. (6.74а) |
А |
—ф |
Функцию напряжений представим в виде |
|
Ф= L N _|{Ф}, |
(6.75) |
где {Ф} — вектор параметров функции напряжений в узлах эле мента. Обозначим вектор вторых производных через
[_Ф.™ Ф.ХХ - Ф . х у J T=[N"1{®>. |
(6.76) |
Тогда величина (/* запишется в следующем дискретном виде:
(6-74Ь)
где теперь вместо (6.72) матрица податливости равна
ш = jfN "]1 [E]- l [N"] / dA |
(6.72а) |
Существенные преимущества этой формулировки матрицы по датливости элемента определяются следующими двумя обстоятель ствами. Во-первых, степени свободы узлов связаны со степенями свободы узлов соседних элементов так же, как и в методе жест кости, поэтому построение объединенной глобальной матрицы податливости можно осуществить аналогично тому, как описано в разд. 3.2 для прямого метода жесткости. Таким образом, пред ложен прямой метод податливости [6.13].
Второе обстоятельство относится к некоторым аспектам двой ственности характеристик функций напряжений и перемещений. Однородное дифференциальное уравнение для функции напряже ний Эри совпадает с уравнением изгиба пластин для функции прогиба w при нулевых распределенных нагрузках. Поэтому, если в (6.74а) функция напряжений заменяется на w, а [Е]"1 — на [Е], то интеграл оказывается равным энергии деформации изгибаемой тонкой пластины. Следовательно, определение функции напряже ний (поля Ф) идентично отысканию поля прогибов (поля w) при изгибе пластин, а соответственные матрицы податливости и жестко сти различаются лишь коэффициентами упругости заменой [Е]"1 на
[EJ. Двойственные функции напряжений могут быть определены и для других ситуаций (например, функции напряжений Саусвелла для изгибаемых пластин двойственны смещениям в плоскости для плоского напряженного состояния). Из этого следует, что многие аспекты построения матрицы жесткости элемента, сформулиро ванные сначала в терминах предполагаемых согласованных полей перемещений, переносятся и на метод сил (податливости). Мы еще вернемся к этому вопросу в последующих главах.
6.7. Гибридкый метод допустимых напряжений [6.14—6.15]
6.7.1. Основные положения
Гибридный метод напряжений является подходом к построению матриц жесткости элементов, основанный на обобщении принципа минимума дополнительной энергии. Как и при обсуждении гиб ридных методов перемещений, ограничимся изложением проце дуры построения элемента, окруженного полностью другими эле ментами. Кроме того, предполагается, что на поверхности элемента и вдоль его границ между узлами силы не действуют. Чтобы по лучить искомый модифицированный функционал Пс для нашего случая, необходимо лишь видоизменить интеграл по границе в выражении (6.68а) для П™.
т = Ш Ы
| Д, ( типичное) |
\ Ж |
|
Рис. 6.13. Предполагаемые поля напряжений и перемещений, используемые в гибридном методе напряжений, (а) Описание перемещений (поверхностные пере мещения выражены через узловые перемещения {А}); (Ь) описание напряжений (внутренние и поверхностные напряжения выражены через обобщенные пара метры {Р,}).
Основа гибридного метода напряжений состоит в задании урав новешенного поля напряжений о внутри элемента через обобщенные
параметры {Р/} с одновременным заданием поля перемещений и, характеризующегося межэлементной согласованностью, через уз ловые перемещения {А}. Система граничных усилий Т определя ется в соответствии с а. Таким образом, указанная система выра жается через {Ру} (рис. 6.13). Модифицированное выражение для