Метод конечных элементов. Основы

терполяции могут быть без труда определены согласно рис. 8 .8(b). Это может быть выполнено и для представлений более высокого порядка при помощи соответствующих произведений.

Из рассмотрения треугольника Паскаля становится очевидным, что двумерная лагранжева интерполяция содержит полную систему членов порядка п в полиномиальном разложении и отдельные члены до порядка 2п. Линейная (первого порядка) интерполяция является полной относительно членов первого порядка (а2х , а3у) и неполной по отношению к членам второго порядка (так как члены с х2 и у2

б

5

4Рис. 8.9. Неравномерная интерполяция вдоль направ­ лений X и у.

опущены, а имеется лишь член с произведением ху). Поскольку ско­ рость сходимости определяется наивысшим порядком полного по­ линома [8 .8], полное разложение в двумерном случае для прямо­ угольника применять неэффективно. Это одна из причин исключе­ ния определенных степеней свободы. Наличие внутренних узлов, как, например, в биквадратном или других представлениях более высокого порядка, вообще говоря, создает неудобства при опериро­ вании с данными, поэтому требуются функции, выраженные в тер­ минах узлов, принадлежащих лишь сторонам и вершинам элемен­ тов.

Простой способ достижения указанной цели иллюстрируется на рис. 8.9 и 8 .8 (d). Изображенный на рис. 8.9 прямоугольный эле­ мент содержит шесть узловых точек, расположенных так, чтобы в направлении х имелась возможность для линейной интерполяции, а в направлении у — для квадратичной. На рис. 8 .8(d) изображены соответствующие члены полиномиального разложения. Очевидно, что в этом случае можно использовать лагранжеву интерполяцию и выразить поле перемещений непосредственно через функции фор­ мы. Используя схему из (8.18), получим линейные интерполяционные функции для L N, J и квадратичные интерполяционные функции для L N 4 J и>кроме того, матрицу

|А а2 V

Л Д5 V

Схема эрмитовой интерполяции распространяется на двумерный случай аналогично тому, как это делалось для лагранжевой интер-

жение входит 16 членов. Данная функция формы изучается еще раз более подробно в разд. 12.2 .

В зависимости от задачи необходимо определить различное число узлов на каждой из четырех сторон или же иметь одинаковое число узлов на каждой стороне, но исключить внутренние узлы. Если можно в каждом из случаев выделить соответствующие члены полиномиального разложения, то легко построить преобразова­ ние от обобщенных параметров полинома {а} к узловым перемеще­ ниям {А}, а затем с целью получения выражений в терминах послед­ них разрешить эти соотношения (см. (5.3а) — (5.5а)). Внутренние узлы можно исключить, задавая полную интерполяционную функ­ цию, выписывая энергию деформации для элемента и «конденсируя» нежелательные степени свободы с помощью процедуры, описанной в разд. 2.8. Альтернативным подходом служит непосредственное построение функций формы с помощью методики, обсуждаемой в разд. 8.7.

8.5.Треугольные элементы

Вслучае треугольных элементов процедуры интерполяции тесно связаны с понятием треугольных координат. Эти координаты по­ могают не только построить функции формы, которые непосредст­ венно относятся к узловым, а не к обобщенным степеням свободы, но также с их помощью регулярным способом обозначить узловые точки элемента. Другие преимущества использования треугольных

координат становятся очевидными только после детальных рассмо­ трений.

3

Регулярный способ обозначения узлов в треугольных координа­ тах может быть задан, как указано на рис. 8.12. В этом случае грани элемента определяются противолежащей вершиной. Например, гра­ ни 1 противолежит вершина 1 . Исследуем сначала способы иденти­ фикации узла внутри треугольника. Если, как указано на рис. 8.12,

провести из данного узла внутри треугольника отрезки к его вер­ шинам, то исходный треугольник разделится на три треугольника с площадями А и А 2 и Л 3, где нижние индексы соответствуют приле­ жащим граням. Треугольные координаты Li(i= 1, 2 , 3) суть по оп­ ределению отношение площадей A t ко всей площади А, т. е.

Кроме того, сумма указанных площадей A t равна А: Л1+ Л 3+ Л 3= —А. Разделив обе части соотношения на А, получим

Очевидно, что, согласно п. 8.3.1, эти координаты являются естественными координатами треугольной области. Теперь тре­ угольные координаты можно использовать для определения пря­ моугольных координат х н у изображенной на рис. 8.12 точки. Имеем

Справедливость этого утверждения можно легко проверить. Дейст­ вительно, предположим, что точку перемещают внутри треуголь­ ника до тех пор, пока она не совпадет с точкой 1. Тогда А г= А, А г—А з=0 и L j= l, L2= L 3=0. Следовательно, если х соответствует точке 1, то х= хх. Очевидно, что треугольные координаты полностью совпадают с функциями формы для простого треугольного элемента

Если сторона, соединяющая точки 1 и 2, расположена вдоль оси х и точка 1 помещена в начале координат (х1= у1= у 2= 0)1 то получим

Эти члены совпадают с функциями формы Ni, N 2, N 3t заданными посредством (5.21а) для идентично расположенного треугольного элемента постоянной деформации.

Для того чтобы построить функции формы для элементов высоко­ го порядка в треугольных координатах L it необходимо вначале определить способ задания и обозначения узлов указанных эле­ ментов. Эти рассуждения проиллюстрированы на рис. 8.13. Стороны

Рис. 8.13. Нумерация узлов сетки для треугольных координат, (а) Сетка в направ­ лении 1; (Ь) сетка в направлении 2; (с) сетка в направлении 3; (d) обозначение ти­ пичного узла pqr.

обозначаются по противолежащей вершине, например сторона 1 ле­ жит против вершины 1. Нормаль к стороне определяет соответству­ ющее направление. Штриховые линии на рис. 8.13(a) делят рассто­ яние между стороной 1 и узлом 1 на т равных сегментов в направ­ лении 1. Каждая линия пронумерована цифрами от 0 до /и, причем линия с номером 0 совпадает со стороной 1. [Эти узлы не нумеру­

ются целыми числами от 1 до т + 1, см. рис. 8.3(a), так как преды­ дущая нумерация более удобна. Аналогичный сдвиг при нумера­ ции был проведен в одномерном случае на рис. 8.3(b).] На рисунке типичная линия разбиения обозначена символом р. Указанное раз­ биение приводит к появлению (т + 1) узлов на сторонах 2 и 3 и, очевидно, создает предпосылки для построения поля перемеще-

порядка ( т = 4); (d) полный полином пятого порядка ( т = 5). 1, 2, 3 — вершины, соответствующие треугольным координатам Llf L 2, L 3.

ний, основанного на полиномиальном представлении m-го порядка. Аналогичные построения можно провести для направлений 2 и 3, как показано на рис. 8.13(b) и (с), где типичные линии обозначены соответственно через q и г.

На рис. 8.13(d) показан способ идентификации некоторого узла. Узел задается тремя цифрами р, q и г в соответствии с обозначени­ ем типичных линий в трех направлениях. Заметим, что сумма трех чисел (p+q+r) равна т. Указанный способ идентификации точек иллюстрируется на рис. 8.14 для четырех видов разбиения тре­ угольного элемента. Следует заметить, что узлы в вершинах также помечены цифрами 1 , 2 и 3, соответствующими треугольным коор­ динатам.

При задании функции перемещений в треугольном элементе для узловых перемещений принимается та же нумерация, что и для соответствующих узлов, т. е. pqr. В соответствии с установившей­ ся традицией разыскиваем функции перемещений для элемента в