Метод конечных элементов. Основы

Ясно из физического смысла, что энергия деформации должна быть положительна. Учитывая, что энергия деформации равна £/ = 1/21 A J [к] {А}, а [А] — произвольный вектор, заключаем, что [к] — положительно определенная матрица. Следовательно, величи­ на 62П , неотрицательна и потенциальная энергия минимальна.

Факт достижения потенциальной энергией минимума на реше­ нии может быть использован проектировщиком для оценки некото­ рых параметров и установления границ для точного решения. Это свойство используется в дальнейшем в гл. 7 при построении реше­ ния для всей конструкции. Заметим также, что положительная оп­ ределенность матрицы [к] позволяет установить минимальные свой­ ства. Для некоторых смешанных вариационных принципов, о кото­ рых речь пойдет ниже, основная матрица коэффициентов в конеч­ но-элементном представлении не обладает этим свойством и поэто­ му нельзя задать границы изменения параметров решения.

Следует подчеркнуть, что принцип минимума потенциальной энергии можно применить при построении матрицы жесткости эле­ мента как присущее конструкции свойство без учета условий, кото­ рые должны выполняться при переходе через границы элемента, если элемент включен в глобальное представление конструкции. Если при построении глобального конечно-элементного представ­ ления эти условия нарушаются, то аналитическая модель характе­ ризуется межэлементной несогласованностью, при этом нет уве­ ренности в том, что при решении будет достигнут нижний предел. На практике несогласованные элементы применяют из-за того, что они проще согласованных элементов. Можно проверить, позволяет ли использование указанных элементов найти в пределе при из­ мельчении сетки правильное решение [6.5]. Примеры таких элемен­ тов даны в последующих главах.

Как было показано, формулы для матриц элементов в линейных задачах теории упругости совпадают, если их получать на основе принципов соответственно виртуальной работы и минимума по­ тенциальной энергии. Принцип виртуальной работы является более фундаментальным и его обобщения позволяют построить конечно­ элементные представления не только для задач расчета конструк­ ций. Поэтому многие предпочитают использовать именно этот принцип. С другой стороны, выражения для энергии деформации либо хорошо известны, либо легко выписываются во многих зада­ чах расчета конструкций. Кроме того, энергетический подход де­ лает наглядными экстремальные свойства решения и позволяет построить, как мы увидим в гл. 7, альтернативные алгоритмы, ос­ нованные на этих свойствах.

6.4.3. Примеры

Интересно применить описанный выше подход для построения мат­ рицы жесткости и других матриц для элементов, изученных в гл. 5. Для простоты при выборе подходящих полей перемещений в эле-

JT, и

г

Рис. 6.6.

менте используем выражения, которые записываются непосредст­ венно в терминах узловых смещений элементов, а не обобщенных параметров. Так, для рассмотренного в разд. 5.1 и 5.5 (см. рис. 6.6) стержневого элемента, согласно (5.3), имеем u = ( l — x/L) их+ + (x/L) и2, поэтому

L N ' J - K r j -

Подставляя указанные выражения в (6.12а) и (6.12е), получим матрицу жесткости [к] и матрицу массы [ml элемента

а если начальные деформации обусловлены термоупругим расшире­ нием (е1п11=аГ), из (6.12Ь) имеем

£аГ Adx = AEaY

Кроме того, для распределенной вдоль стержня нагрузки q (1 фунт/ дюйм) постоянной интенсивности имеем \= q /A . Из (6.12с) сле­ дует, что

Полученная матрица [к] совпадает с матрицей, построенной с помощью прямого метода. Так как поле перемещений в элементе имеет простой вид, то пропорциональное задание узловых сил с помощью транспонирования матрицы, связывающей перемещения и деформации, и непосредственное задание сил в узлах приводят к идентичным результатам. Что касается термоупругих сил, то, как и следовало ожидать, компоненты вектора {FInlt} представляют си­ лы, требуемые для компенсации перемещений элемента, вызванных приращением температуры Г. Кроме того, реализация распре­ деленных нагрузок совпадает с той, которая получена в результате выполнения процедуры пропорционального распределения нагру­ зок по узлам.

Рассмотрим треугольный элемент, изображенный на рис. 5.3. Согласно (5.21а), имеем

L N J = L (х2у3— ху3— хгу + хау) (ху3— х3у) (х2у) J ,

А2*/3

аиз (5.22) следует, что

Матрица жесткости, полученная с использованием [D] в выражении (6.12а) для виртуальной работы, совпадает с изображенной на рис. 5.4 из-за простого характера линейного поля, задаваемого с помощью L N J . Построение матриц [ш] и {Finlt} оставляем читате­ лю в качестве упражнения (см. задачи 6.4 и 6.7).

Для плоского напряженного состояния распределенные нагруз­ ки обычно прикладываются к краям конструкции, а не в виде на­ грузок, распределенных по поверхности элемента. Следовательно, для подсчета {Fd} имеет смысл рассмотреть вопросы, связанные с распределением нагрузок по поверхности всей конструкции. Целе­ сообразно отложить обсуждение этих вопросов до гл. 9, где рас­ сматриваются глобальные аспекты расчета задач плоского напряжен­ ного состояния.

Как стержневой, так и треугольный элемент с линейным рас­ пределением перемещений дает неправильное представление об особенностях построения конечных элементов с использованием принципа минимума потенциальной энергии (или виртуальной ра­ боты). Это происходит из-за характера предполагаемых полей пере­ мещений, которые соответствуют полям напряжений, удовлетво­ ряющим дифференциальным уравнениям равновесия. Например, для треугольного элемента оказывается, что дифференциальное уравнение равновесия дох/дх+дтху/ду=0 тождественно удовлетво­ ряется, если в него подставить выражение (5.7а) для напряжений

lа l = [Е] [D] {А}. Однако выбор кинематически допустимого поля перемещений обычно осуществляется без учета условий равнове­ сия, и поэтому, вообще говоря, это поле не будет удовлетворять указанным условиям. Данное обстоятельство будет в дальнейшем

нечных элементов является возможность рассчитывать конструкции сложной геометрии. Следует, однако, отметить, что, как правило, реальную конфигурацию конструкции приходится при расчетах каким-либо образом аппроксимировать, а это служит дополнитель­ ным источником погрешностей. Хотя аппроксимации поведения (т. е. перемещений) уделяется больше внимания, вопросы, связан­ ные с аппроксимацией геометрии конструкций, имеют такое же, а подчас и более важное значение. В настоящее время известно, что вариационный подход дает возможность более точно аппроксимиро­ вать геометрию конструкции.

При обсуждении указанного круга вопросов полезно делать различие между трехмерными конструкциями, пластинами и приз­ матическими телами. В случае трехмерных конструкций, как пра­ вило, имеют дело с криволинейными поверхностями, а для пластин и призматических элементов основными параметрами являются ва­ риации толщин и площади. Некоторые основные рассмотрения ап­ проксимации последних приводятся в данной главе. Вопросы ап­ проксимации геометрии трехмерных тел обсуждаются в последую­ щих главах.

Стержневой элемент с переменным поперечным сечением, изоб­ раженный на рис. 6.7, иллюстрирует основные факторы аппрокси­

переменным поперечным сечением.

пластин переменной толщины. Обычно при расчетах профилирован­ ные элементы аппроксимируются ступенчатым образом с исполь­ зованием элементов постоянной толщины. Это — хорошая аппрок­ симация, если берется достаточно большое количество элементов, однако вычисления показывают, что возникающая при такой ап­

проксимации ошибка может превосходить ошибку от аппроксима­ ции полей перемещений.

Альтернативой ступенчатому представлению служит простая аппроксимация величины А (х) во всем конструктивном элементе либо на сегментах, разбивающих этот конструктивный элемент. Указанная аппроксимация необходима в силу следующего обстоя­ тельства. Если требуется найти явный вид матрицы жесткости эле­ мента, то, как легко видеть, никаким единым представлением А (х) нельзя задать точно все возможные формы конструкции.

Учитывая сказанное, запишем энергию деформации элемента в виде

п

Функция перемещения (5.5), использовавшаяся ранее для элемента постоянного сечения, в нашем случае не является точной, так как она приводит к условию постоянства деформаций, которое уже не выполняется вдоль оси элемента. Однако эта аппроксимация удоб­ на и будет здесь использована.

Для данного примера предположим, что А (х) (см. рис. 6.7) изменяется между точками 1 и 2 линейно. Поэтому запишем

где Ai и А 2— площади поперечного сечения в точках 1 и 2. Для указанных аппроксимаций перемещений и геометрических характе­ ристик получим выражение для энергии деформации

«'-*-4c*Lj{-,l}[L(1-r) f]{ft L — п W 4 -

K J

После интегрирования получим

Путем сравнения можно построить следующую «точную» мат­ рицу жесткости стержневого элемента с линейным изменением тол­ щины

гь л ___ £ А 2 — А г L М Л а /Л О

Из сравнения представленных матриц жесткости видно, что для построения точной матрицы требуется вычислить значение логариф­ мической функции.

Процедура построения профилированных балочных, пластинча­ тых и оболочечных элементов на основе простой аппроксимации их геометрии аналогична описанной выше процедуре для профилиро­ ванного стержневого элемента. Можно аппроксимировать геометри­ ческие характеристики, основываясь на функциях, аппроксими­ рующих перемещения для элементов постоянной толщины. Этот подход называется изопараметрическим представлением, т. е. в этом случае одни и те же (изо-) параметры используются для ап­ проксимации перемещений и геометрии. Степень непрерывности полей перемещений при переходе от одного элемента к другому, заложенная в функциях формы, переносится и на геометрическое представление. Так, в рассматриваемом выше примере функция (площадь) непрерывна при переходе от одного элемента к другому. Общая теория изопараметрического представления будет изложена

вразд. 8.8.

Впрактике проектирования не прижились даже столь простые способы аппроксимации профилированных стержневых и пластин­ чатых элементов. Проектировщики предпочитают использовать сту­ пенчатую аппроксимацию элементами постоянной толщины. Вооб­ ще говоря, имеющиеся в настоящее время вычислительные возмож­ ности позволяют достаточно точно аппроксимировать очертания подобного рода конструкций, используя большое число элементов. Поэтому подходы, использующие изопараметрические представле­ ния, еще не получили широкого распространения при расчетах профилированных элементов. Однако это не так в случае трехмер­ ных тел, когда расчеты даже на относительно грубой сетке конеч­ ных элементов требуют очень больших вычислительных затрат.

Альтернативой использования профилированных элементов яв­ ляется непосредственное численное интегрирование и подсчет ин­ теграла энергии деформации. При этом во всех точках численного интегрирования должны быть затабулированы значения геометри­

ческих характеристик, входящих в подынтегральное выражение, и, естественно, этот подход применим также для интегралов, воз­ никающих в описанных выше процедурах (изопараметрическое представление). Действительно, получаемое, согласно изложен­ ному в разд. 8.8 подходу, использующему изопараметрическое пред­ ставление, подынтегральное выражение в интеграле энергии де­ формации обычно бывает слишком сложным и поэтому для его ин­ тегрирования требуется привлекать численные методы.

6.5. Гибридные методы перемещений и метод обобщенной потенциальной энергии

6.5.1. Первый гибридный метод перемещений

Предлагаемые гибридные методы перемещений и метод обобщенной потенциальной энергии являются альтернативами методов, ис­ пользующих единственное аппроксимирующее поле и характери­ зующихся межэлементной согласованностью. Как гибридные ме­ тоды, так и метод обобщенной потенциальной энергии базируются на применении нескольких полей, когда одно поле перемещений за­ дано внутри элемента, другое поле перемещений или напряжений определено независимым образом на границах элемента. В гибрид­ ном методе уравнения для элемента выводятся в результате исклю­ чения обобщенных параметров, а в методе обобщенной потенциаль­ ной энергии «подправляются» несоответствия в перемещениях вдоль границ элементов, образовавшиеся в результате использования

на рассмотрении функционала потенциальной энергии. В первом из них (гибрид I) поле перемещений внутри элемента выражается в терминах обобщенных перемещений, а поле напряжений на гра­ нице описывается независимо в терминах узловых сил. В резуль­ тате получается матрица податливости элемента. Второй метод (гибрид II) основывается на предложенной выше концепции в том смысле, что поле перемещений внутри элемента и граничные напря­ жения выражаются в терминах обобщенных параметров, а переме­ щения на границе независимо описываются с помощью узловых перемещений. Это приводит к матрице жесткости элемента.

Для того чтобы оперировать с независимыми полями, необходи­ мо модифицировать выражение для потенциальной энергии. Опи­ сывая модификацию, используемую в гибридном методе I, рассмот­ рим лишь внутренние элементы, т. е. элементы, стороны которых не лежат на границе конструкции, и исключим из рассмотрения объем­ ные силы и начальные напряжения. Под границей элемента по­ нимается совокупность всех сторон элемента (Sn) и считается, что

на границе действуют межэлементные усилия Т. Поэтому, согласно (6.40) и (6.49), имеем модифицированное выражение для потенциаль­ ной энергии

(6.54)

где и — граничные смещения, согласующиеся с выбранным полем перемещений внутри элемента А. Обобщение известного выражения

для потенциальной энергии заключается в том, что Т запишется в терминах узловых силовых параметров. Поэтому как параметры

перемещения и (и А), так и силовые параметры в узлах будут играть роль неизвестных в П™. В классической формулировке принципа минимума потенциальной энергии в выражения входят лишь пара­ метры перемещения. Для того чтобы выяснить, как описываются

Рис. 6.8. Предполагаемые поля напряжений и перемещений, используемые в пер­ вом гибридном методе перемещений, (а) Описание перемещений (внутренние и по­ верхностные перемещения выражены через одни и те же обобщенные параметры {а}); (Ь) описание перемещений (поверхностные силы выражены через силы, задан­

ные в узлах, которые могут свободно смещаться).

поля внутри элемента и на его границе, на рис. 6.8 приведен гипо­ тетический элемент и изображены предполагаемые поля перемеще­ ний и напряжений.

Согласно используемой в гл. 5 терминологии, обозначим обоб­ щенные параметры внутреннего поля перемещений через {а}. Для обычного полиномиального представления имеем

и используя соотношения между перемещениями и деформациями, приходим к соотношению

где через {а/} обозначены степени свободы, которые остались после того, как в результате выполнения операций дифференцирования в формулах, связывающих перемещения и деформации, были исклю­ чены степени свободы {as}, отвечающие движению тела как твердо­ го целого. Кроме того, требуется рассмотреть граничные значения и этого поля. Указанные величины получаются непосредственными вычислениями значений А вдоль границыэлемента. Имеем

где для удобства дальнейших рассуждений выделены степени сво­ боды {а,} и {as}.

Последней существенной частью гибридного метода перемеще­

ний является вопрос о записи граничных усилий Т через узловые силы {F/}. Нижним индексом / помечена система узловых сил, в

которую не входят силы, обеспечивающие статически определимое закрепление элемента. Это обусловлено тем, что при отсутствии

объемных сил вектор Т должен представлять систему самоуравновешенных сил. Запишем указанные соотношения в виде

Вектор Т представляет собой усилия, уравновешенные действием сил со стороны соседних элементов (с соответствующим учетом всех сил, действующих на границах, разделяющих элементы). Следует подчеркнуть, что, вообще говоря, трудно, а иногда и невозможно построить соотношения вида (6.56), которые удовлетворяли бы этим условиям. Более удобная процедура, подробно описанная в п. 6.6.4 и гл. 7, заключается в использовании вместо полей напря­ жений функции напряжений, а вместо {F/}— значения функции напряжений в узлах. Однако применение узловых сил (F/) объяс­ няется использованием балочных элементов для пояснения различ­ ных формулировок методов. При этом силы (F/} представляют собой узловые параметры балочного элемента.

Теперь можно выписать модифицированную потенциальную энергию (6.54) в дискретном виде. Во-первых, заметим, что при за­ писи работы граничных усилий (интеграл по S n) вклад указанных самоуравновешенных сил, действующих на перемещениях тела как твердого целого, равен нулю. Так как в (6.55) перемещения тела как твердого целого us равны [Ys] {аД при проведении выкладок с us оставим лишь произведение [Y/] (аД обозначив' его через щ. Принимая во внимание, что

§ ®[E]ed (vol), vol

подставим в (6.54) выражения для е, Uy и Т, используя соответст­ венно формулу (5.6d), левую часть (6.55) и (6.56). Тогда

(6.54a)

где

(6.57)

(6.58)

Варьируя (6.54a) по а/ J . получим

[Н] {а/}—[J] {F/}=0,

откуда

(a,}= [H ]-4Jl{F,> .