Метод конечных элементов. Основы

Применим теперь эти соображения непосредственно для преобра­ зования уравнения (ЗЛО). Основываясь на введенной в разд. 2.7 методике преобразования, выпишем глобальные уравнения жестко­ сти в обычном виде, т. е. в виде соотношений (3.5), где

Может оказаться, что метод конгруэнтных преобразований менее эффективен, чем прямой метод жесткости. В методе конгруэнт­ ных преобразований требуется построить матрицы f k * J и [А], каждая из которых имеет большую размерность, чем матрица 1К1, а также перемножить матрицы согласно (3.19). С другой стороны, усилия, затрачиваемые на построение несвязанной матрицы жест­ кости, минимальны. Составляющие матрицы элементов не должны содержать моды движения тела как жесткого целого; в этом случае можно исключить степени свободы, соответствующие статически определимым неподвижным условиям закрепления. Блок матрицы жесткости, который необходимо оставить, чтобы включить Bfk* J , обозначается в (2.11) через [к/у]. Более строгое описание этой про­ цедуры приводится в разд. 7.1, однако для настоящих рассуждений достаточно заметить, что процедура преобразования, описываемая выражением (3.19), сводится к освобождению каждого элемента от соответствующего закрепления.

Операции, задаваемые соотношением (3.19), также очень просты ввиду свойств матрицы [А]. Изучим структуру этой матрицы. Вообще говоря, если элементы Л, В, С и D связаны в узле со степенями Дь то требование совместности перемещений приводит к уравне­

элементов в глобальной системе координат приводит к тому, что ненулевые элементы матрицы [А] равны единице. Построенная та­ ким образом матрица называется булевой матрицей, и очевидно, что структура матрицы обусловливает высокую эффективность вы­ числительных алгоритмов перемножения матриц согласно (3.19). Если матрица жесткости элемента записана только в координатах, связанных с элементом, то соотношения (3.14) трансформируются, причем используется преобразование от локальной системы коор­ динат к глобальной. В этом случае элементы матрицы [А] не обя­ зательно строго равны единице и матрица [А\ не имеет вид булевой матрицы. В худшем случае, однако, [А\ — разреженная матрица с коэффициентами, равными единице, с направляющими косинусами и линейными размерами. Более того, как показано в разд. 7.1,

соотношения (3.19) не обязательно включают формальный алгоритм

матрицах, которые соответствуют матрицам жесткости элементов, отсутствуют члены, отвечающие движению элемента как жесткого целого. Согласно предположениям, положенным в основу прово­ димых вычислений, соответствующих рис. 3.4, векторы, определен­ ные в узлах элементов, записываются в глобальных направлениях,

и поэтому матрица [А] содержит только единичные ненулевые эле­ менты.

Развиваемый здесь на базе естественных рассуждений метод конгруэнтных преобразований можно также построить, используя энергетический принцип. Этот альтернативный подход излагается в разд. 7.2. Будет показано, что указанный альтернативный подход позволяет выявить особенности расчета всей конструкции без по­ строения на практике глобальных матриц. Этот подход известен как процесс прямой минимизации энергии [3.6].

Прежде чем подвести итог данного раздела, рассмотрим некоторые важные свойства статической матрицы системы [В] (и, конечно, транспонированной матрицы — кинематической матрицы системы [А]). Это позволит выявить любую возможную форму кинематиче­ ской неустойчивости конечно-элементной модели конструкции и определить дополнительные силы. Конструкция кинематически не­ устойчива, если при приложении сил возникают формы движения как абсолютно твердого тела. Дополнительные силы — это силы, переопределяющие статически определимую систему:

Чтобы описать действия, которые необходимо проделать над уравнениями статики для определения указанных выше величин, рассмотрим конечно-элементную модель плоской фермы, содержа­ щую п степеней свободы (так как каждому узлу соответствует две степени свободы, то число узлов равно п/2), р элементов и t опорных реакций. Обобщение на более сложные случаи не представляет труда.

Построим сначала вектор сил {F*} таким образом, чтобы он содержал внутренние силы в элементах (т. е. составляющие, от­ вечающие движению тела как жесткого целого, исключаются), а также силы реакции опоры для всей конструкции. Этих сил до­ статочно, чтобы описать условия равновесия для единственного набора внешних нагрузок {Р}. Тогда для описания этих условий опять применимо уравнение (3.15). Перепишем (3.15) в следующем виде:

(3.15а)

Матрицу 1 В \—11 назовем дополнительной матрицей. Так как она составлена с учетом двух уравнений равновесия в каждом из п/2 узлов, то в ней п строк. Для р усилий в элементах и t реакций опор вектор {F*} содержит (p+t) компонент, а для статически не­ определимой конструкции это число превосходит п. Разность г= = (p+t)—п соответствует числу дополнительных сил. Основной задачей при выявлении дополнительных сил и (или) кинематиче­ ской неустойчивости является выделение г компонент вектора {F*}. Эти компоненты {Fr} и есть дополнительные силы (силы, статиче­ ски переопределяющие систему). Далее выражаем оставшиеся ста­

тически определимые силы {F0} через дополнительные силы {Fr} и прикладываемые нагрузки {Р}. Это можно осуществить, применяя процедуру исключения Гаусса — Жордана.

Применение процедуры исключения Гаусса — Жордана для матрицы 1В\—I] заключается в следующем:

1.Все элементы первой строки дополнительной матрицы де­ лятся на коэффициент, стоящий в первом столбце. (Если в первом столбце стоит нулевой элемент, то необходимо предварительно соот­ ветствующим образом поменять местами столбцы.)

2.После деления каждый элемент первой строки умножается на коэффициент, стоящий в первом столбце второй строки, и по­ лученные значения вычитаются из соответствующих элементов вто­ рой строки. В результате получим модифицированную вторую стро­ ку, у которой в первом столбце стоит нулевой элемент. Аналогич­ ные операции проделываются со всеми остальными строками, что приводит к обнулению всех элементов, кроме первого, стоящих в первом столбце.

3.Операции, выполняемые на шагах 1и 2, повторяют для второго столбца, добиваясь обнуления всех элементов столбца, кроме эле­ мента, стоящего на главной диагонали матрицы, значение которого получается равным единице. Эту операцию повторяют для каждого из столбцов, образуя в итоге единичную [1| матрицу порядка пХп.

Всоответствии с изложенным выше уравнение (3.15а) преобра­ зуется к виду

Наконец, преобразуем это выражение таким образом, чтобы полу­ чить {Р} в левой части равенства ({ Р } = |_ F° Fr J т)

M - ^ j . [0 J=[=r!]

Относительно изложенной процедуры сначала заметим, что соответствующие {F0} столбцы матрицы не обязательно должны быть первыми п столбцами исходной матрицы [ В\ —I]. Поэтому выявление дополнительных сил можно осуществить при достаточно произвольном начальном выборе столбцов матрицы. Желательно до нормализации главного диагонального элемента отыскать стол­ бец с «наилучшим» значением коэффициента в соответствующей строке. Найденный столбец следует поменять местами с вектором, занимающим исходный столбец, а затем выполнить нормализацию

3.4. Обзор преимуществ метода конечных элементов

На рис. 3.8 отражена довольно общая ситуация, возникающая при расчете конструкций. Все аспекты этой гипотетической ситуации встречаются при проектировании реальных конструкций, описанных в гл. 1. Геометрию всей конструкции нельзя описать единым мате­ матическим выражением, а наличие вырезов и выделенных направ-

Рис. 3.8. Общая ситуация, возникающая при проектировании конструкций (штри­ ховыми линиями обозначены ребра жесткости); Т х— прикладываемые распреде­ ленные нагрузки; w — задаваемые перемещения.

лений для ребер жесткости исключает возможность использования регулярной сетки разбиения. Различные условия закрепления, как силовые, так и кинематические, а также условия нагружения трудно учесть при расчетах классическими методами даже для конструк­ ций с очень упрощенной конфигурацией. Указанные факторы, от­ носящиеся к заданию аналитической модели, геометрии конструк­ ции, а также граничных условий, для численного решения задач подобного типа вынуждают применить метод конечных элементов. К этим факторам, которые обсуждаются ниже, добавляется фактор представления свойств материала конструкции.

Наиболее очевидное преимущество конечно-элементного ана­ лиза, как отмечалось выше, заключается в представлении большого количества конструктивных элементов заданной аналитической моделью — пластин, трехмерных тел, ребер жесткости, частей оболочек и т. д. Таким образом, имеется широкая область аналитиче­ ского представления. На практике, вообще говоря, существуют об­ стоятельства, ограничивающие указанные возможности. О неко­ торых из них речь пойдет в следующих главах. Так, например, для конечно-элементной модели пластины с ребром жесткости контакт пластины с ребром имеет место лишь в узловых точках. Поэтому для

обеспечения непрерывности механических характеристик конструк­ ции (перемещений и напряжений) на линии, соединяющей указан­ ные узловые точки, на конечно-элементные представления требуется наложить соответствующие ограничения. Вообще говоря, всем требованиям, обеспечивающим непрерывность характеристик при переходе от элемента к элементу, в полном объеме удовлетворить нельзя, поэтому большая доля теоретических исследований в методе конечных элементов посвящена рассмотрению указанных вопросов и выявлению требований, которые возникают при построении ко­ нечных элементов.

Другим сдерживающим фактором при построении конечно­ элементной модели является выбор упрощенных функций для пост­ роения часто встречающихся элементов. В окрестности углов у вырезов в конструкциях возникает, например, концентрация на­ пряжений. Поэтому в тех случаях, когда при проектировании су­ щественно знание характера изменения поля напряжений, для описания этого поля необходимо значительное измельчение сетки разбиения. В противоположность аналитическим методам, тре­ бующим использования регулярных сеток, измельчение сетки здесь можно провести относительно просто, но, чтобы это усовершенст­ вование было экономически оправданным, нужно, чтобы оно было соразмерно требуемой точности решения.

В описанных выше случаях можно ввести специальные конеч­ ные элементы, которые построены с использованием более слож­ ных функций, описывающих резкое изменение напряжений. По­ добное поведение имеет место вблизи границ конструкций, в об­ ластях приложения сосредоточенных нагрузок. Здесь также су­ ществует альтернатива выбора: измельчение сетки с простыми эле­ ментами или задание специальных элементов на грубой сетке.

Одним из особых преимуществ метода конечных элементов, давно выделенным специалистами, является возможность геометриче­ ского представления конструкции, т. е. задание используемой при расчете сетки разбиения существенно нерегулярным способом. Мы уже столкнулись с идеей введения в плоских задачах треугольных элементов, а в гл. 5 и далее будут выведены соотношения между пере­ мещениями и силами для этих элементов. Универсальность зада­ ния сетки разбиения с помощью треугольных элементов совершенно очевидна. Весьма существенны, хотя и менее явно выражены, пре­ имущества от представления сетки разбиения криволинейными эле­ ментами. В разд. 8.8 рассматривается частный случай, когда гра­ ничные кривые определяются полиномиальными выражениями. Этот случай задания сетки называется изопараметрическим.

Граничные условия как для сил (прикладываемых усилий), так и для перемещений учитываются весьма легко с помощью рассмо­ трений, изложенных в предыдущих разделах. Ранее подразумева­ лось, что прикладываемые силы имели сосредоточенный характер.

Очевидно, что в действительности в большом числе случаев нагрузки распределены по поверхности конструкции. Подобные силовые воз­ действия учитываются с помощью введения статически эквивалент­ ных узловых нагрузок, и, хотя интуитивно очевидный процесс пропорционального распределения или сосредоточения обычно при­ водит к приемлемым численным результатам, в гл. 6 будет показано, что метод конечных элементов естественно приводит к более прием­ лемому, но не очевидному с интуитивной точки зрения определению узловых усилий, эквивалентных распределенным нагрузкам.

При проектировании реальных конструкций учет целого ряда физических факторов приводит к появлению в расчетных схемах величин, действие которых эквивалентно действию нагрузок. Распределение температуры в конструкции может вызывать стес­ ненное тепловое расширение. Чтобы решить эту задачу численно, необходимо преобразовать температурные деформации в фик­ тивные нагрузки или перемещения. В гл. 6 в определяющие соотно­ шения, связывающие силы и перемещения для элемента, вводятся члены, учитывающие влияние тепловых и других начальных де­ формаций.

Следует отметить, что метод конечных элементов вносит ряд дополнительных преимуществ в расчет температурных напряжений. Последовательная методология конечно-элементного анализа задач теплопроводности пригодна для расчета распределения температуры в конструкции. Основные идеи расчета стационарных задач тепло­ проводности методом конечных элементов излагаются в разд. 5.4. В работах [3.7, 3.8] описывается более подробно применение метода конечных элементов в этой области, не связанной непосредственно с расчетом конструкций, включая решение нестационарных задач теплопроводности. Имеется возможность применить одну и ту же программу общего назначения, реализующую метод конечных эле­ ментов, как для расчета температур, вызванных тепловым потоком, так и температурных напряжений, возникающих из-за наличия температурного поля. Кроме того, в тех случаях, когда свойства материала зависят от температуры, можно задать характеристики для каждого элемента в зависимости от значения температуры в элементе.

Граничные условия для перемещений в действительности не всегда задаются посредством стеснения степеней свободы (заданием нулевых перемещений). В некоторых случаях перемещение в точке есть заданная величина, что может быть учтено в операциях, из­ ложенных в предыдущих разделах. Упругое закрепление можно учесть, вводя либо упругие элементы (пружины) в соответствую­ щих узлах, либо специальный конечный элемент, который строится, чтобы представить упругое закрепление на границе, прилегающей к нему. Иногда перемещения некоторого числа узлов на границе конструкции связаны с помощью специальных условий связи. Эти

и другие особенности учета условий закрепления изучаются в разд. 3.5.

Более тонким аспектом метода конечных элементов является воз­ можность учета сложных физических свойств материала. Почти все имеющиеся классические решения относятся к конструкциям, созданным из однородных изотропных материалов. При расчете методом конечных элементов ограничения на однородность мате­ риала снять трудно, но вполне возможно, однако неоднородный случай в книге не рассматривается. Как показано в главах, где строятся конечные элементы, анизотропные свойства материала можно учесть, однако, без существенного усложнения вычислитель­ ного процесса. Действительно, что касается возможностей учета указанных аспектов, они далеко превзошли возможности получения таких экспериментальных данных о свойствах материала, которые бы точно отражали степень анизотропии среды.

Выше нашей целью было проведение линейного анализа. Сфера действия метода конечных элементов по сравнению с классическими методами будет даже шире в области решения нелинейных задач, таких, как расчет пластических деформаций, когда не представля­ ется возможным получить аналитическое решение даже для тел простой формы. В книге не рассмотрены вопросы численного иссле­ дования неупругих конструкций и других нелинейных задач; од­ нако, чтобы получить представление о прогрессе, достигнутом в указанном направлении, читателю рекомендуется ознакомиться

сработами [3.9, 3.10].

3.5.Специальные операции

3.5.1.Разбиение на подконструкции

Большинство реальных конструкций настолько велико и сложно, что минимально допустимая конечно-элементная модель всей кон­ струкции выдвигает чрезмерно высокие требования к возможностям вычислительной техники при решении полученных уравнений. В связи с этим приходится решать задачу поэтапно, при этом ос­ новные части конструкции, называемые подконструкциями, рассчи­ тываются отдельно, а затем полученные решения объединяются. Примеры даны в разд. 1.3. Кроме того, на практике процесс проек­ тирования часто начинается с независимых расчетов уже существу­ ющих подконструкций, и окончательные проектировочные расчеты оказывается эффективным проводить с использованием данных о подконструкциях. Более того, подход, при котором рассчитываются отдельные подконструкции, позволяет проектировщику опериро­ вать с промежуточными числовыми данными для компонент кон­ струкции, что важно при повторяющихся расчетах, встречающихся, например, в оптимальном проектировании и нелинейном анализе.