Метод конечных элементов. Основы

треугольника и четырехугольник — лежат в плоскости х — у . Для удобства на рис. 3.1 показаны степени свободы для всех узло­ вых соединений, но только одна сила, представляющая внешнюю нагрузку P it которая действует в направлении х в точке q.

Согласно условиям равновесия в узле соединения, приложенная нагрузка P t равна сумме внутренних сил, действующих в соответст­ вующих элементах, прилежащих к узлу *}. Чтобы пояснить это, покажем на рис. 3.2 элементы, прилежащие к рассматриваемому узлу. Из условия равновесия в направлении х имеем

где Ff — сила (внутренняя), действующая в направлении х в эле­ менте А. Соотношения между напряжениями и смещениями для

а так как для А, В, С и D в силу условия совместности смещения Д* одни и те же для каждой степени свободы (A ^=A f=A £=A f= = Д г), то

форма записи искомых уравнений. Обозначенные прописными бук­ вами Кш Ки, /Ci2* i K m величины суть глобальные коэффици­ енты жесткости, а уравнение (3.4) есть глобальное уравнение жест­ кости.

Важно отметить, что каждому из четырех элементов, которые со­ прикасаются в указанном узле соединения, отвечают коэффициенты жесткости с одинаковыми нижними индексами (например, kjiy kflt ka, kft). Если нижние индексы для двух или нескольких различ­ ных элементов совпадают, то элементы имеют общую степень сво­ боды, которая обозначается вторым нижним индексом. Тогда

ф) Для этого соединения следует обратить внимание на важную деталь обоз­ начений. Внутренние силы в узле (или силы в элементе) обозначаются символом F,

указанные коэффициенты складываются и получается один коэффи­ циент в уравнении жесткости, которое отвечает силе, представлен­ ной первым нижним индексом.

3.2. Прямой метод жесткости. Общая методика

Для дальнейших построений предлагается следующий алгоритм получения уравнений, связывающих прикладываемые нагрузки

иперемещения для всей конструкции.

1.Перед вычислением каждому коэффициенту жесткости для элемента приписывается два нижних индекса (кц). Первый индекс I определяет силу, для которой записывается уравнение, а второй

индекс / — соответствующую степень свободы.

2. Вводится массив (квадратная матрица), размерность которого равна числу степеней свободы всей системы с учетом того обстоя­ тельства, что каждая сила связана соотношением с каждым переме­ щением системы. Каждый элемент массива обозначается двумя ниж­ ними индексами. Первый нижний индекс (строка) отвечает соответ­ ствующему уравнению для силы, второй индекс (столбец) — рас­ сматриваемой степени свободы. В качестве иллюстрации на рис. 3.3 представлен массив, отвечающий двумерной конструкции с общим числом степеней свободы, равным п. Если встречается элемент, в обозначении которого имеется индекс 1, то он располагается в пер­ вой строке, в столбце с номером, равным второму нижнему индексу.

раз, когда коэффициент засылается в позицию с отличным от нуля значением, его значение прибавляется к последнему. После завер­ шения операции на указанном шаге все элементы в первой строке достигают своего окончательного значения. Следовательно, для t-й степени свободы К и = 2 кц, где суммирование распространяется на все элементы, имеющие степень свободы i.

4. Операции, проведенные на шагах 2 и 3, повторяются для всех остальных степеней свободы. В результате получают полный набор коэффициентов уравнений жесткости всей конструкции (глобальных уравнений жесткости), однако без учета условий закрепления.

5. Граничные условия учитываются, во-первых, выделением перемещений, равных нулю, с последующим устранением из урав­ нений коэффициентов жесткости, которые стоят сомножителями при

только для незакрепленных степеней свободы. Тогда операции на шаге 2—4 при­ водят непосредственно к редуцированной матрице жесткости и шаг 5 исключается.

уравнений, чем неизвестных. Дополнительные уравнения отвечают внешним нагрузкам в точках закрепления, т. е. реакциям опоры. Эти уравнения выделяются и хранятся для последующих преобра­ зований.

Ц — ►

(а)рп6

Рис. 3.3. Основные аспекты задания глобальной матрицы жесткости, (а) Способ построения коэффициента в глобальной матрице жесткости и расположение коэффициента /г12; (Ь) типичный окончательный вид строки матрицы жесткости.

6. Образовавшаяся после выполнения операций на шаге 5 система уравнений решается относительно неизвестных степеней свободы. Внутренние силы, действующие в узлах элемента, опреде­ ляются в результате подстановки найденных значений степеней свободы в соотношения, связывающие силы и перемещения в эле­ менте. Нахождение указанных величин может потребовать преоб­ разования глобальной системы координат в локальную систему координат с последующим вычислением напряжений.

Выполняемые в процессе реализации алгоритма алгебраические преобразования запишем в матричном виде. Предполагается, что операции на шаге 1—4 выполнены и глобальные уравнения жестко­ сти выписаны и имеют вид

{Р}=[К1{Л}. (3.5)

Далее предположим, что соответствующие закреплению степени свободы ( М можно сгруппировать, а уравнение (3.5) разбить на блоки так, чтобы выделить сгруппированные степени свободы (на практике эта операция не является необходимой и неудобна, но применяется здесь для большей ясности изложения). Итак,

Заметим, что нижние индексы вводятся в соответствии с разд. 2.6. Так как {Д3}=0, то

Общее решение уравнения (3.7а) получим в следующем симво­ лическом виде:

где матрица [Z7] — совокупность глобальных коэффициентов влияния для перемещений. Подчеркнем, что операция обращения матрицы является символической. На практике, если рассматривается от­ носительно небольшое число условий нагружения {Р/}, наиболее эффективный способ реализации этого процесса состоит в решении указанных уравнений с известной правой частью.

Реакции опоры {Ps} находятся в результате подстановки урав­ нения (3.8) в (3.7Ь):

{Ps}=[Ks/][/r]{Py}. (3.7с)

Чтобы определить распределение внутренних сил в i-м элементе, можно подставить вычисленные степени свободы данного элемента, обозначаемые ниже через {А'}, в матрицу жесткости элемента [к'], что приведет к вычислению усилий {F*} в узлах соединения этого элемента. Чтобы получить напряжения, а не усилия в узлах, зная перемещения, необходимо перед выполнением расчета вывести обычные соотношения, связывающие напряжения в элементе с соот­ ветствующими значениями степеней свободы в узловых точках, а именно

где {о1'} — величины напряжений, характеризующих напряженное состояние внутри i-го элемента, a [S'] — соответствующая матрица жесткости элемента. Вектор {а'} объединяет величины напряжений в заданной точке элемента. Таким образом, при этом подходе, если вектор перемещений для элемента вычислен, то для определения напряжений необходимо умножить его слева на соответствующую матрицу жесткости.

В предыдущих рассмотрениях не было уделено внимание не­ которым основным свойствам глобальных уравнений жесткости. Во-первых, свойство симметрии коэффициентов жесткости элемен­ тов обеспечивает симметричность коэффициентов глобальных урав­ нений жесткости, поэтому необходимо держать в памяти ЭВМ лишь диагональные элементы матрицы и элементы по одну сторону от диагонали. Во-вторых, как было указано, отвечающие данной степени свободы уравнения жесткости (уравнения равновесия) зависят от степеней свободы тех элементов, которые прилежат к узлу, где задана исходная степень свободы.

Изображенные на рис. 3.1 элементы могут представлять лишь небольшую часть реальной конечно-элемецрюй модели, Элементу* которые находятся вне области, занимаемой элементами Л, В, С и Ь, никак не влияют на вид уравнения (3.4). Другими словами* совокупность отличных от нуля элементов в строке матрицы жест­ кости состоит из коэффициента на главной диагонали и коэффи­ циентов, отвечающих степеням свободы в данном узле и узлам эле­ ментов, которые прилежат к данному узлу. Все остальные элементы в строке равны нулю. Если в полной конечно-элементной модели существует много степеней свободы, а матрица жесткости содержит относительно мало нулевых элементов, то такая матрица называется

разреженной или слабо заселенной матрицей.

Очевидно, что с вычислительной точки зрения удобно «при­ жать» все нулевые элементы как можно ближе к главной диагона­ ли матрицы (см. рис. 3.3(b)), выделяя тем самым нулевые элементы и облегчая их исключение из вычислительного процесса. Это можно сделать, нумеруя степени свободы таким образом, чтобы расстоя­ ние от главной диагонали до самого удаленного нулевого элемента в каждой строке было наименьшим, т. е. минимизируя ширину по­ лосы ленточной матрицы.

Минимизация ширины полосы ленточной матрицы — это всего лишь один из способов увеличения эффективности вычислитель­ ного алгоритма решения уравнений. Какой бы подход ни приме­ нялся для экономичности вычислительного процесса, существен учет свойств симметричности и разреженности матриц жесткости. Обсуждение алгоритмов численного решения уравнений лежит за пределами данной книги, поэтому читателю, желающему получить всестороннее представление о данном вопросе, рекомендуется об­ ратиться к работам [3.5].

Для элемента В (элемент 2—3) справедливо i4/L=0.5/56.56, cos ф = —0.707, sin <p=0.707:

»■ 0.442

—0.442 0,442 (Симметрично)

> = 106

—0.442 0.442 0.442

Р ву,

0.442 •—0.442 —0.442 0.442 _

Для элемента С (элемент 1—3) Л/7,=0,75/50, cos ф =0.6, sin ф=0.8:

Для элемента D (элемент 1—2—3) (относительно алгебраической записи матрицы жесткости см. рис. 5.4):

Построение глобальной матрицы жесткости. Суммируя полученные уравне­ ния, имеем

Использование граничных условий для перемещений. Здесь ul= v l= v 2— 0. Выделите первый, четвертый и пятый столбцы и выпишите отдельно соответствую­ щие строки:

Обращение матрицы жесткости и подсчет перемещений. Обращая получен­ ную матрицу и подставляя Р*а=4000 фунтов, Р *,= 10 000 фунтов, Р^3=2000 фун-

(силы даны в ф унтах). Эти значения согласую тся со значениями для статического

не все степени свободы элемента, фигурирующие в уравнении (3.1), с необходимостью будут аналитически связаны с дополни­ тельными степенями свободы соседних элементов. Простым при­ мером этого может служить представленный на рис. 3.5 случай балочного элемента с внутренним шарниром в соединении i. Угло­ вые перемещения элементов А и В (Q? и 0f) независимы друг

от друга и не связаны. Это сведется к заполнению начальных эле­ ментов отдельных столбцов в глобальной матрице жесткости. В гл. 6 показано, что основные теоретические предпосылки, ис­ пользуемые при построении конечных элементов, обеспечивают вы­

1

Рис. 3.5.

степеней свободы, чем это требуется для выполнения условий допустимости. В некоторых случаях, тем не менее, желательно связать указанные степени свободы, но в других случаях (особенно для пластинчатых и оболочечных элементов) невозможно осущест­ вить это согласование. Эти вопросы вновь затрагиваются в гл. 12.

3.3.Метод конгруэнтных преобразований в жесткостном анализе

При построении глобальной матрицы жесткости не обязательно следовать методике, описанной в разд. 3.2. Одна из альтернатив заключается в образовании несвязанного массива, состоящего из всех матриц жесткости элементов, и последующего введения связей между элементами посредством построения и применения преобра­ зования координат, в котором степени свободы элементов и узлов включают преобразованные векторы. Назовем этот подход методом конгруэнтных преобразований. Рассмотрим сначала конструкцию, задаваемую с помощью р конечных элементов, для которых инди­ видуальные уравнения жесткости записываются в виде (3.1). Объе­ диним уравнения жесткости элементов:

а именно

Г [И

[ И J •

Массив Г к* J называется несвязанной глобальной матрицей жест- кости.

Теперь необходимо связать элементы. Для этого используем условия непрерывности перемещений в узлах конструкции, пред­ ставляемые алгебраическими уравнениями

где {А} объединяет глобальные перемещения в узлах, а [А\ называ­ ется глобальной кинематической матрицей или матрицей связности. (В дальнейшем проиллюстрируем вид матрицы [А] с помощью простого примера.) Рассматривая величину работы (см. разд. 2.4), можно построить соответствующие преобразования для сил. Для этого запишем сначала это преобразование символически

где [В] — глобальнаястатическая матрица, так какочевидно, что она соответствует уравнениям, обеспечивающим равновесие внеш­ них {р} и внутренних {F*} сил. Поэтому в (3.15) каждая строка имеет вид (3.2).

Используя введенное в разд. 2.4 понятие работы, выразим про­