Метод конечных элементов. Основы

дополнительной энергии. Эти принципы представляют собой спе­ циальную форму более общих принципов виртуальных перемеще­ ний и виртуальных сил соответственно. В заключение кратко рас­ сматриваются смешанные вариационные принципы, а также гиб-

ридные и обобщенные вариационные методы построения элемен­ тов, основанные на экстремальных принципах потенциальной или дополнительной энергии.

В данной главе рассматривается только отдельно взятый конеч­ ный элемент. Все выражения записываются так, как если бы вся конструкция являлась конечным элементом, поэтому нет необхо­ димости вводить верхние и нижние индексы, чтобы различать гло­ бальные и локальные величины.

6.1.Принцип виртуальной работы

6.1.1.Формулировка и доказательство принципа

Принцип виртуальной работы лежит в основе следующих вариа­ ционных принципов, описываемых ниже: классических принципов стационарности потенциальной и дополнительной энергии, а также менее известных смешанных принципов. Принцип виртуальной ра­ боты, по сути дела, служит независимым подходом к построению со­ отношений метода конечных элементов. Используются две формы общего принципа: принцип виртуальных перемещений и принцип виртуальных сил соответственно. Они приводят к общеизвестным принципам стационарности потенциальной и дополнительной энер­ гии.

В формулировке принципа виртуальной работы, использующей виртуальные перемещения, предполагается, что на тело, находяще­ еся в состоянии равновесия, действуют объемные и поверхностные силы, при этом задается виртуальное (воображаемое) поле переме-

щений. характеризующееся в каждой точке компонентами бн, би, 6w. Виртуальные перемещения должны быть кинематически допус: тимыми, т. е. непрерывными функциями пространственных коор­ динат, и удовлетворять кинематическим граничным условиям на участках поверхности, где эти условия заданы.

На рис. 6.1 (а), к примеру, пунктирными линиями изображены кинематически допустимые перемещения балки. Каждое из доиус-

Следовательно, после подстановки имеем

А

Используем теперь теорему Гаусса (интегрирование по частям в плоском случае) для преобразования данного выражения, записан­ ного для внутренних точек тела, в выражение, содержащее члены, отвечающие не только внутренним точкам области, но и ее границе. С физической точки зрения теорема утверждает, что изменение ве­ личин в области характеризуется разностью потоков, входящих и выходящих из области.

Согласно этой теореме,

J [й (а*бы+ ч б°)+ гУ(аЛ '+ ч б“) ] dA=

А

= £ [(®*ви + T xe6o) /, + (а;/бо + тХиби) ly]dS, (6.5)

где 1Х и 1У— направляющие косинусы нормали к поверхности. Итак, (6.3с) записывается в виде

Теперь из_(4.5) следует, что Т х= ах 1х+ хху 1У и Ту= ау 1у+тху 1Х,

где Т х и Ту — заданные усилия на границе. Кроме того, полезно различать участок границы, где заданы усилия (обозначим его через So), и участок границы, где заданы перемещения (обозначим его через S a). Виртуальные перемещения равны нулю на участке гра­ ницы, где заданы перемещения. Поэтому

W = l ( f x6u + Tvbv)dS = — 8V,

так как очевидно, что потенциал приложенных нагрузок, соответст­ вующий виртуальным перемещениям 6К, равен выписанному ин­ тегралу. (Величина 6К отрицательна потому, что она отвечает (ва­ риации) потенциальной энергии приложенных нагрузок, которая уменьшается при деформации упругой конструкции.) Итак, прин­ цип виртуальной работы доказан.

Очень часто акцентируется внимание на том обстоятельстве, что при проведении рассмотрений не использовались уравнения состояния и поэтому при применении принципа не требуется огра­ ничиваться линейным законом связи между напряжениями и де­ формациями. Однако при расчетах физически нелинейных задач методом конечных элементов обычно рассматривается последова­ тельность малых приращений нагрузок и производится линеари­ зация. Тем не менее общий характер принципа важен при построе­ нии инкрементальных моделей.

В книге не рассматривается принцип виртуальных сил, а отдает­ ся предпочтение вытекающему из него принципу стационарности дополнительной энергии, обсуждаемому в разд. 6.6. Заметим толь­ ко, что в принципе виртуальных сил виртуальные напряжения должны удовлетворять условиям равновесия.

6,1.2. Конечно-элементная дискретизация виртуальной работы

Доказав справедливость принципа виртуальной работы, перейдем к описанию общей процедуры построения матрицы жесткости эле­ мента. Рассмотрим вначале процедуру выбора предполагаемого поля перемещений Д. Как отмечалось выше, величина Д записывается жирным шрифтом, что показывает возможность учета полного на­

Используя формулы, связывающие перемещения с деформациями, получим

деформаций бе берутся в том же самом виде, что и в (5.5а) ц (5.6с).

Имеем

Применим принцип виртуальных перемещений к довольно общему одучэд?, когда учитадищется о б ^ д а е ряда £ (предай'едл" обр?-. на’чаются через X, Y и Z) и начальные деформации e‘nl\ С учетом

последних уравнения состояния имеют вид

о=[Е]е—[E]einit. (4.15)

Теперь может быть выписано выражение для виртуальной рабо­ ты. Для этого рассматриваются только узловые силы Ft. Распре­ деленные нагрузки рассматриваются ниже. .Потенциал приклады­ ваемых узловых сил {F}, отвечающий виртуальным узловым пере­

Работа внутренних сил получается в результате действия внутрен­ них напряжений а на деформациях 8е, обусловленных виртуаль­ ными перемещениями. Обобщая (6.3) на случай интегрирования по объему, получим

и после подстановки о согласно соотношениям между напряжениями и деформациями (4.15) будем иметь

Далее, чтобы получить дискретный аналог выражений для вирту­

*) Указанные произведения скалярных и векторных величин соответствуют определению работы как произведения силы на перемещение в направлении дей­ ствия силы (см. разд. 2.4). При подсчете работы принимается, что сила равна пол­ ному своему значению, поэтому множитель 1/2 (фигурирующий в выражении дл^ работы, если значение силы растет от нуля до своего максимального значения)' отсутствует.

Более того, специально выделим объемные силы, обусловленные динамическим поведением конструкции, которые, согласно принци­ пу Даламбера, рассматриваются как некоторые эффективные силы (силы инерции)

где [р] — тензор масс на единицу объема, записанный в матричной форме. Из (5.5а), предполагая, что задание характера изменения {А} во времени полностью определяет движение, имеем

Приравнивая 6U к —6V, согласно принципу виртуальной ра­ боты (6.1), получаем

L6A J {—[m]{A}+{F}}=[_SAJ [[к] {А}—{Finit}l. (6.15)

Окончательно, замечая, что это соотношение справедливо для любых значений виртуальных узловых перемещений{6А}, запишем сле­ дующие уравнения жесткости элемента, учитывающие начальные деформации и силы инерции:

Эти уравнения представляют собой уравнения равновесия элемента. Коэффициенты этих уравнений записываются на основе соотноше­ ний (6.12а) — (6.12е).

Если на поверхность тела действуют распределенные нагрузки, выражение для потенциала приложенных нагрузок 6V (см. (6.9)) необходимо дополнить интегралом, представляющим работу этих нагрузок на перемещениях поверхности тела. Чтобы различать поле перемещений точек внутри тела и поле поверхностных перемещений, обозначим последнее через и. Величина и определяется заданием смещений А на поверхности тела и так как последние, согласно (5. 5а), выражаются в терминах узловых смещений, то и перемеще­

Обозначая распределенные внешние нагрузки (усилия) через Т, получим следующий вклад в потенциал прикладываемых нагрузок

6V: — \6u‘Td5, где через S a обозначен участок поверхности, на

котором заданы усилия Т, а би — виртуальные перемещения по­ верхности. Снова выбирая распределение виртуальных перемеще­ ний в том же виде, что и для действительных перемещений (6.17), получим

Дальнейшая подстановка в выражение для виртуальной работы внешних сил дает

Левую часть соотношения (6.18) следует добавить к левой части со­ отношения для виртуальной работы (6.15), откуда следует, что {F^} должно быть добавлено к левой части уравнения жесткости (6.16). По причинам, указанным выше, компоненты матрицы {F*} называются энергетическими эквивалентными нагрузками.

Следует отметить, что, как и в гл. 5, предполагаемое поле пере­ мещений можно выразить в терминах обобщенных перемещений,

и применяя процедуру из разд. 5.1, это выражение можно записать в терминах узловых смещений. Можно показать, что окончательная формула имеет вид

Глава 8 частично посвящена изучению альтернативных форм за­ писи поля через узловые перемещения либо через обобщенные степени свободы.

Если поле перемещений выражается в терминах обобщенных па­ раметров, то иногда удобно строить матрицы элемента, используя эти параметры. Рассмотрим, в частности, матрицу жесткости эле­ мента. В этом случае для получения деформаций дифференцируют перемещения: е=[С] {а} (см. (5.6а)), а деформации, обусловлен­ ные виртуальными перемещениями, равны 8е=[С] {6а}. Подста­ новкой в выражение (6.11) для bU получим (начальные деформации для простоты не рассматриваются)

Ы! = [_ 6а J[k e]{a}, [k » ]= ^ [C r[E ][C ]d (v o l)j, (6.2g)

где [И1 называется дадее опорной матрицей жесткости. Анало­ гичное опорное едоднно рдлунитн и ддя вецтора на­ чальных сил, матрицы масс и т. д.

Заметим, что выражения (6.12а) и (6.12е) для матриц жесткости и массы имеют вид конгруэнтных преобразований, обеспечивающих симметричность матрицы, полученной в результате умножения, если симметрична центральная матрица. Так как матрицы упругос­ ти [Е1 и матрица плотности [р] симметричны, то и получаемые в ре­ зультате матрицы будут симметричны. Изложенный подход отли­ чается от прямого метода из разд. 5.1 тем, что преобразование от узловых степеней свободы к деформациям служит основой преобра­ зования узловых сил в напряжения.

6.1.3. Принцип согласованности при построении выражения для виртуальной работы

Приведенные выше построения служат прообразом принципа сог­ ласованности при построении конечных элементов. Очевидно, что каждая из матриц (основная матрица жесткости, матрицы массы и распределенных нагрузок) построена с применением функций формы предполагаемого поля перемещения, причем для каждой использу­ ется один и тот же набор функций формы. Поэтому матрица массы

появляются на практике вполне естественно. Например, при рас­ четах динамических задач глобальные матрицы жесткости и массы часто рассматриваются независимо. Предполагается, что массовые характеристики инерционны, поэтому можно пропорционально рас­ пределить массы для каждой из степеней свободы. Построенные та­ ким образом матрицы массы называются матрицами сосредоточен­ ных масс.

Подход, основанный на физической точке зрения, может быть применен и в случае распределенных нагрузок. При этом математи­ ческая модель содержит фиктивные силовые параметры {F*}, от­ вечающие распределенным нагрузкам. Эти параметры определя­ ются в результате приравнивания интегралов от произведений рас­ пределенных нагрузок на соответствующие перемещения к работам узловых сил на соответствующих перемещениях. Следовательно, {F*} — вектор энергетически эквивалентных усилий.

Выписанные выше выражения выводятся еще раз в разд. 6.4 с помощью принципа стационарности потенциальной энергии. За­ тем гфиводй+ся двойственные формулировки для принципа стацйонарйос+И дополнительной энергий и рассматриваются ДругИе (сме­ шанный) йрйнципы стацибйарИостй. Однако сначала необходимо найоМнйть рйД основных положений в задаче опреДёлейия с!ационарных зйачений Для функций многйх йереМенИкХ.

6.2.Вариационное исчисление

6.2.1.Безусловная минимизация

Принцип виртуальной работы характеризуется вариацией энергии деформации и потенциала прикладываемых нагрузок. Цели рас­ смотреть варьируемые величины U и I/, то можно установить ряд полезных свойств, которыми они обладают. Это рассмотрение пока­ зывает, что задача анализа конструкций, основанная на подсчете вариации суммы U+V, относится к хорошо разработанной области математики, известной как вариационное исчисление [6.1—6.4]. Ряд важных результатов в этом разделе математики можно непосред­ ственно применить к задачам конечно-элементного анализа кон­ струкций.

В этом разделе изложим некоторые наиболее простые результаты вариационного исчисления. Здесь рассматриваются непрерывные (интегральные или дифференциальные) формулировки этих резуль­ татов, перенос на дискретный случай будет осуществлен в после­ дующих разделах. Рассмотрим сначала одномерную задачу, опи­ сываемую единственной независимой переменной А(х), где х — пространственная координата. Основной задачей вариационного исчисления является определение величины А(я), которая достав­ ляет стационарное значение интегралу

где A' —d.Aid. х. Через / обозначена функция, характеризующая в ме­ ханике конструкций, например, плотность потенциальной или до­ полнительной энергии, а П — функционал, т. е. функция от функ-

Рис. в.2. Типы стационарных точек: (а) минимум; (Ь) перегиб; (с) максимум.

ции (в данном случае функция от /). Стационарное значение может быть либо максимумом, либо минимумом, либо значением, отвечаю­ щим нейтральной точке. Эти случаи схематически изображены на рис. 6.2. Функция f должна быть, разумеется, дважды дифферен­ цируемой. Если функция имеет лишь первую производную, отлич­