Метод конечных элементов. Основы
.pdfэлементных подходах все неприятности можно свести только к од ной: к отсутствию выполнения условий равновесия, в то время как все условия непрерывности для перемещений окажутся выполненны ми. Для этих подходов можно доказать, что получаемые численные решения обладают таким свойством, как монотонная сходимость, и характеризуются тем, что некоторые параметры решения, напри мер энергия деформации или коэффициенты влияния, находятся по одну сторону от точных значений. Знание этих предельных зна чений может оказать неоценимую услугу при оценке точности ре шения.
Литература
4.1.Timoshenko S., Goodier J. Theory of Elasticity. 2nd ed.—New York, N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1951. [Имеется перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости.— М.: Наука, 1979, 560 с.]
4.2.Wang С. Т. Applied Elasticity.—New York, N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1953.
4.3.Oden J. T. Mechanics of Elastic Structures.—New York, N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1967.
4.4. Volterra E., Gaines J. Advanced Strength of Materials.— Englewood Cliffs,
N. J.: Prentice-Hall, Inc., 1971.
4.5.Sokolnikoff I. S. Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed.—New York,
N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1956.
4.6.Green A., Zerna W. Theoretical Elasticity, 2nd ed.—New York, N. Y.: Oxford University Press, 1968.
4.7.Новожилов В. В. Теория упругости.— Л.: Судпромгиз, 1958.
4.8.Anonymous. Structural Design Guide for Advanced Composite Applications. 2nd ed., U. S. Air Force Materials Laboratory, Wright Patterson AFB, Ohio, 1969.
Задачи
4.1. Удовлетворяют ли следующие распределения напряжений условиям равно весия (объемные силы равны нулю)? Схематически укажите напряженное состоя
Рис. Р4.1.
ние на границе, согласующееся с этими функциями, для элемента, изображенного
на рис. Р4.1.
Ох= di -f-CL^X,
oy = a3 + a4y t
%ху = аь— а2у — а1х %
4.2. Ниже в полярных координатах приводятся уравнения равновесия и соотно шения, связывающие деформации и перемещения при плоском напряженном со стоянии. Уравнения состояния идентичны соотношениям, записанным в прямо-
У
угольной системе координат. Выпишите определяющие дифференциальные урав нения равновесия с учетом тепловой деформации.
__ди |
’ |
Е0 |
__и |
, |
1 |
до |
|
__У» |
I |
______ |
||
&г |
дг |
г |
' |
г |
dQ' |
|
г |
dft'dr |
г * |
|||
д о г |
, 1 дтГ0 |
, о г — |
о0 |
|
Л |
1 |
до о . |
дтго , |
2тг Н _ 0 |
|||
дг |
“Т" г |
дО |
|
г |
|
— и’ |
г |
дв |
дг |
^ |
г — и* |
|
4.3.Сформулируйте линейные дифференциальные уравнения равновесия для трехмерной задачи теории упругости, учитывая сначала зависимость напряжения от трех координат, а затем исключив члены более высокого порядка малости.
4.4.Используйте приведенную ниже функцию перемещений для построения мат рицы жесткости, соответствующей изображенному на рис. Р4.4 элементу в форме
параллелограмма. Проверьте, удовлетворяет ли эта функция: (а) условиям рав новесия внутри элемента, (Ь) условиям равновесия на границе элемента, (с) усло виям непрерывности между элементами.
и = а 1х + а 2у + а 3 ^ х у —
и = авх + аву + а , ^ x y —
^уг^ + а 4,
-^ - y 2J + a g.
4.5. Постройте матрицу связи напряжений с деформациями [Е] для плоской дефор мации ортотропного материала. В итоге она должна связывать ст= [_ °х °у %ху J т
с e = |
L eA- Еу Уху J т * в этом случае тд:г= т уг= а г= |
0 . Упругие модули суть Е х, Е у, |
||||
Gxy. |
Коэффициент Пуассона, |
отвечающий |
деформации, направленной |
вдоль |
||
оси у, вызванной напряжением в направлении оси х, равен р ух и т. д. |
|
|||||
4.6. |
Проверьте, выполняются |
ли для элемента, |
изображенного на |
рис. |
P 4J, |
|
и для приводимого ниже поля |
перемещений |
уравнения равновесия. |
Что значит |
|||
с физической точки зрения, что эта функция не удовлетворяет условиям равно весия?
и = |
N^U\ + |
Л/2и2-\- N з«з-|- N 4ц4, |
|
v = |
A/JVJ + |
N 2V2+ N з^з + ^ 4у4, |
|
/V1==(\ — х / х 2) (\ — ч!Уъ), |
N 2 = (X/X2) ( 1 — у /уз), |
||
где |
|
|
|
Л^з= ( х / х 2) (У/Уз)> |
/V4= (1 — х/х2) (у/у3). |
||
4.7. Смещения на границе элемента, изображенного ниже, описываются с по мощью функций
и = N & 1+ |
N 2и2+ |
N 3ц3, v = N !«!+ N 2v2+ |
N 3v3t |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
N _ _ (2s — |
a )(s — |
a) |
л/ _ 4s (а—«) |
1 |
Л/з |
s (2s— а) |
1 |
Л2 |
|
*------Н* |
о 5 |
||
Определите нормальные и |
тангенциальные усилия |
Т п и |
T s, соответствующие |
|||
этим перемещениям. |
|
|
|
|
|
|
4.8. Пусть Oj, Ф2 и Ф3 — трехмерные функции напряжений, определяемые сле дующим образом:
_ д2Ф г |
|
__д2Ф2 |
|
__д2Ф3 |
||
°х дудх |
’ |
° у |
д г д х ' |
°г |
дх ду * |
|
_____ 1_ 1 /д Ф 4 |
дФ2 |
дФ3 \ |
||||
|
2 |
дг \ |
дх |
ду |
|
дг ) ’ |
_ |
Ц |
/ |
ЗФх , |
ао, , |
аФ8\ |
|
уг~~ |
2 йД |
^ |
|
“г |
дг ; ’ |
|
_____ 1 _ ! |
/д Ф 4 |
дФ2 . |
с?Ф3\ |
|||
Х*х |
2 |
д у \ дх |
ду |
' |
дг ) |
|
Докажите, что они удовлетворяют дифференциальным уравнениям равно весия и выведите соответствующие им уравнения совместности.
5
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
Начиная сданной главы, приступим к выводу соот ношений между силами и перемещениями для элементов. При этом рассмотрим два подхода: прямой метод и метод взвешенных невязок.
В прямом методе построение соотношений'для элемента осуще ствляется непосредственно с помощью учета приведенных в пре дыдущей главе трех систем уравнений теории упругости: уравнений равновесия, соотношений между перемещениями и деформациями, а также уравнений состояния. Этот метод особенно полезен при выяснении фундаментальных соотношений между конечно-элемент ной аппроксимацией и реальной конструкцией. Так, этим методом будет проведено теоретическое обоснование построений, проведен ных в разд. 2.2 и 2.3. Прямому методу присущи черты, свойственные и другим подходам к построению конечно-элементной модели. Осо бенно это затрагивает вопросы задания сил, если известны напря жения, и деформаций, если известны перемещения. Этот подход включает основные положения, использованные на ранней стадии развития метода конечных элементов [см. 5.1, 5.2]. Однако область применения прямого метода ограничена: его трудно или даже не возможно применять при выводе соотношений для усложненных элементов и в некоторых специальных задачах.
В свою очередь область применения метода взвешенных невязок [5.3] практически неограниченна, и, как оказалось, он обладает достоинствами, отсутствующими у альтернативных подходов. Один из вариантов этого подхода приводит к формулировке, идентичной той, к которой приходим при применении описанных в гл. 6 вариа ционных принципов. Для некоторых классов нелинейных задач ме тодом взвешенных невязокможно вывести соотношения, которые нельзя получить с помощью классических вариационных принципов [см. 5.4, 5.5]. Кроме того, этот подход помогает уяснить физические основы таких вариационных принципов, как экстремальные прин ципы для потенциальной и дополнительной энергий.
В данной главе соотношения, определяющие поведение кон струкции, используются в основном для построения матрицы жест кости элементов с использованием полей перемещений. Однако опи сываемые ниже методы применимы для построения соотношений не только данного типа, но справедливы при выводе любого типа соотношений для элемента, если заданы поля перемещений и (или) напряжений, и в действительности используются также в разнооб разных физических задачах, не связанных с расчетом конструкций. В этой главе приводится небольшое число простых примеров, ил люстрирующих последнее утверждение.
5.1. Прямой метод
Прямой метод построения уравнений жесткости состоит из следую щих шагов.
1.Поле перемещений элемента А выражается в терминах ко нечного числа параметров {а}. Желательно, чтобы ими были степени свободы в узлах {А}. Если выбраны параметры {а}, не имеющие физического смысла, то необходимо задать преобразования, свя зывающие указанные параметры с имеющими физический смысл степенями свободы {А}.
2.Поле деформаций е выражается в терминах степеней свободы
(А)посредством дифференцирования поля перемещений согласно соотношениям, связывающим деформации с перемещениями (4.7).
3.С учетом уравнений состояния (4.15) устанавливается связь между полем напряжений а и степенями свободы {А}.
4.С помощью определения усилий, статически эквивалентных напряжениям, действующим на границе элемента, выводятся вы ражения для сил в узлах элемента {F } в зависимости от вида поля напряжений а. Так как поле напряжений о выражено в терминах {А} (шаг 3), то на данном шаге можно связать {F } и {А}. Результи рующие соотношения являются, по определению, уравнениями жесткости элемента.
Чтобы проиллюстрировать изложенную выше процедуру, по строим матрицы жесткости для трех простых элементов: стержне вого, балочного, треугольного плоско-напряженного.
Рассмотрим сначала стержневой элемент (см. рис. 2.7). Выразим поле перемещений А= и через обобщенные перемещения {а}. Оче видно, что две степени свободы, отвечающие перемещениям в точ ках 1 и 2, определяют деформированное состояние этого элемента. Поэтому выберем в совокупности {а} два параметра, иными словами
{а}= L ai a* J т |
(5-1) |
Для описания одномерного распределения и между концевыми точками выберем полиномиальное представление. Это представление
совместимо с аналогичным представлением для большинства дву мерных и трехмерных элементов, так как входящие в полином обще го вида переменные х> у и z обеспечивают хорошую аппроксимацию для элементов любой формы. Дополнительные вопросы, касающиеся теоретического обоснования выбора вида полинома, рассматрива ются в гл. 8. В нашем же случае, имея два параметра, логично выб рать линейный полином по х , т. е.
и = а1 + а2х = |_1 |
(5.2) |
Для общего случая можем использовать следующую символическую запись:
Д= 1р1 {а}. |
(5.2а) |
Принятая в (5.2а) символическая запись нуждается в пояснении. В разд. 4.3 было указано, что перемещение узла, обозначенное через Д, может иметь до трех компонент, а именно и, v и w. Следовательно, можно независимо для каждой компоненты задать полиномиальное представление. В этом случае [р] — прямоугольная матрица, имею щая три строки. Если, например, перемещение в трехмерном случае
задано в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
u = a i + a 2x, |
v= a 3+a,y, |
|
w=as+ a tz, |
|||
то будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
X |
0 |
0 |
0 |
0 П |
|
. = |
0 |
0 |
1 |
У |
0 |
0 |
|
/ |
.0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Z _ |
Рассматривая вновь стержневой элемент, определим, согласно рекомендациям шага 1, преобразования, связывающие параметры представления с физическими степенями свободы и* и иг. Это можно осуществить, выписывая (5.2) в точках х= 0 и x —L. Имеем
|
(5.3) |
|
что в общем виде символически запишется в виде |
|
|
{Д }=[В] {а}. |
(5.3а) |
|
Обращая матрицу [В], получим |
|
|
/ М |
(5.4) |
|
W |
||
|
||
или в общем виде |
(5.4а) |
|
{а)=[В]_1{Д}. |
Подставляя это соотношение в (5.2), находим |
|
|
(*•*) |
или в символической записи |
|
Д= [р] [B]“1{A}=[N] {А}, |
(5.5а) |
где [1—(x/L)] = N i и X / L = N 2 называются функциями |
формы поля |
перемещений. |
|
Выполняя операции на шаге 2 (введение соотношений меж |
|
деформациями и перемещениями), имеем е = е х—и \ |
где штрихом |
обозначена производная величины и по х. Операции на этом шаге; можно выполнить двумя способами. В первом случае можно про дифференцировать соотношения (5.2) и использовать выражения
(5.4) для вывода искомых |
соотношений. Таким |
образом, |
“ '= |
L o i J {“;} |
« а д |
в общем виде символически запишется в виде |
|
|
|
е=[С] {а}, |
(5.6а) |
и подставляя в полученное выражение формулы (5.4), приходим к соотношению
Можно непосредственно продифференцировать соотношения (5.5). Имеем
(5.6Ь)
или
e=[D] {А}. |
(5.6с) |
Можно заметить, что из уравнения (5.6) параметр ах по существу исключен, и это уравнение можно записать в виде и '= а г. Сокра щенная форма записи обусловлена тем, что, как показано в разд. 4.3, дифференцирование перемещений с целью получения деформаций приводит к исключению членов, отвечающих движению тела как твердого целого. В данном случае такому движению соответствует член а*. В более общем случае параметры, отвечающие движению тела как твердого целого, обозначены через {а„}, а остальные пара метры — через {а/}. Тогда сокращенная форма соотношения, свя зывающего перемещения и деформации для общего случая, имеет вид
е=[С/] {ау}. |
(5.6d) |
Выполняя операции шага 3 (введение соотношений между на пряжениями и деформациями) для стержневого элемента, находим, что [Е ]= £ и о = о х, и с учетом (5.6Ь)) приходим к соотношению
|
°Х = Е [ — Г |
] {al} ’ |
(5.7) |
|
|
|
|
или |
символически |
|
|
|
о=[Е] [D] {А}= [S] {А}, |
(5.7а) |
|
-е |
[S]=[E] [D] — одно из представлений матрицы |
жесткости |
|
чента.
Напомним, что понятие матрицы напряжений элемента было ведено в (3.9) с помощью равенства {a}=[Sl [А}, которое позволяет оценивать напряжения в заданных точках. Например, для стержне вого элемента {a}= [_ a*, J т , если напряжения вычисляются в концевых точках. Таким образом, символ [S] используется для обоз начения преобразования вектора перемещения {А} в распределен ные напряжения а, и символ IS] — для обозначения преобразова ния {А} в вектор напряжений {а},определенный в заданных точках. Соотношение для элемента {a}=[S] {А} можно использовать вме сто (5.7а). В этом виде выражение для напряжения используется далее при построении изгибаемого элемента.
Выполняя операции завершающего шага, т. е. преобразуя на пряжения в узловые силы, заметим, что эти силы задаются в виде {F }= L ^2 J ти каждая компонента силы определяется умноже нием соответствующей компоненты напряжения на площадь попе речного сечения элемента А. Имеем (Fx действует в направлении, противоположном положительным ох)
или |
{£М-1Ь |
(5-8) |
|
{F}=[А] {о}; |
(5.8а) |
подставляя (5.7), |
получаем |
|
|
|
(5.9) |
Находим, что уравнения жесткости элемента записываются в виде
{F}=[k]{A}, где |
(5.10) |
[k]=[A] [El [D]. |
Итак, установлено, что матрица жесткости строится при помощи перемножения следующих трех матриц: [D] — матрицы преобра зования перемещений для соответствующих степеней свободы в де формации; [Е1— матрицы жесткости упругого материалах [А) — матрицы преобразований напряжений в узловые силы.
5 ** 254?
Матрицу [D1 можно разбить на элементарные составляющие. В случае когда поле перемещений записывается в терминах обоб щенных степеней свободы, из (5.4а) й (5.6а) имеем
[D)=[C] [В]-1. |
(5.11) |
Два обстоятельства следует отметить в предшествующих рассмо трениях. Во-первых, до сих пор не рассматривался какой-либо конкретный вид условий равновесия внутри элемента. Известно, разумеется, что напряжения в этом элементе постоянны, и после проверки, согласно (5.7), убеждаемся, что выбранное поле переме щений отвечает этому условию. В общем случае напряженное состоя ние, соответствующее предполагаемому полю перемещений, не удовлетворяет условиям равновесия. Это обстоятельство тем не менее не влияет на возможности построения матрицы жесткости указанным выше способом. Во-вторых, ввиду непрерывности выби раемых функций перемещения непрерывны внутри элемента и при переходе через границу от одного элемента к соседнему с ним эле менту. Это обусловлено тем, что взаимодействие двух одномерных элементов происходит только в узловых точках. Однако в общем случае для двух- и трехмерных элементов взаимодействие между элементами происходит не только в узлах, поэтому поля перемеще ний для элемента должны выбираться с учетом обеспечения свойств непрерывности полей перемещений на границах соседних элемен тов. Это обстоятельство обсуждалось в разд. 2.2 и вновь рассматрива ется в разд. 5.2. Так как настоящее представление отвечает всем условиям равновесия и непрерывности перемещений, то оно задает «точное» представление матрицы жесткости элемента.
Внутренние моменты
L ■V
Рис. 5.1. Балочный элемент.
Во Многих случаях при расчетах прикладываемые нагрузки ра спределены в виде непрерывной функции от х. В излагаемом под ходе предполагается, Что распределённые нагрузки заменены ста-
тически эквивалентными им узловыми силами. Более элегантный способ учета этой ситуации приведен в гл. 6.
Рассмотрим далее балочный элемент, изображенный на рис. 5.1. Основные моменты исследования схожи при этом со случаем стержне вого элемента, однако следует отметить одну важную отличительную особенность, а именно вид задаваемых степеней свободы в узле сое динения. Кроме того, поле деформаций неоднородно внутри эле мента. Согласно теории изгиба балок, не учитывающей поперечные сдвиговые деформации, в концевых точках необходимо определять не только поперечные смещения (Wi и w2), но и угловые смещения (0, и 02). Последние равны отрицательному значению тангенса угла наклона нейтральной оси, так как вращение в положительном направлении (по часовой стрелке) вызывает отрицательные попереч ные смещения. Имеем
0 ,— die |х=о |
еа= |
d x |
X = L ' |
Таким образом, |
|
|
|
[Д]= L |
0а J т |
(5.12) |
|
Как и в случае стержневого элемента, для описания поля пере мещений А, определяемого в рассматриваемом случае величиной w, выберем полином. Имеются четыре степени свободы, и поэтому для аппроксимации прогиба, если не опускать низшие степени в поли номиальном представлении, нужно выбрать кубический полином, содержащий четыре члена!
ии=^х3+ агх3+ аях+ а4 |
(5.13) |
Определяя w и —dw/dx в точках 1 и 2, имеем
Wi |
|
■ 0 |
0 |
0 |
Г |
\кwt |
у __ |
0 |
0 |
- 1 |
0 |
L3 |
L* |
l |
1 |
||
l e j |
|
_-r-3L* |
- 2 L |
- 1 |
0. |
причем обратное соотношение имеет вид
ft |
|
‘ 2 |
— L |
—2 |
- L |
‘ |
(W t' |
|
f t ►= JL |
^ 3 £ |
2£? |
3L |
Ь |
|
M |
|
|
— L3 |
|
|
||||||
f t |
L 3 |
0 |
0 |
0 |
|
P |
2 |
|
.ft |
|
|
0 |
0 |
0 |
. |
||
|
|
k |
) |
|||||
После подстановки в (5-13) получим
_1Ш ,