Метод конечных элементов. Основы

данных и построение для каждого конечного элемента алгебраиче­ ских соотношений с помощью соответствующих закодированных процедур. На этой же стадии в программе общего вида предусмот­ рены операции, необходимые для установления алгебраических соотношений, описывающих связи элемента с соседними элементами и всей системы в целом. Последние операции поэтому формируют общую систему алгебраических уравнений для конечно-элементной модели конструкции в целом.

На этапе программы общего назначения, названном решение, осуществляются операции с построенными на предыдущем этапе алгебраическими уравнениями. Для статических задач это означает не что иное, как решение системы линейных алгебраических урав­ нений с известной правой частью. При расчете динамических задач потребуется значительный объем вычислений, отслеживаю­ щий характер изменения прикладываемых нагрузок в зависимости от времени. В некоторых случаях требуется оперировать величи­ нами, которые относятся к подконструкциям целой конструкции, как указывалось в разд. 1.3 на примере самолета «Боинг-747», либо осуществлять специальные операции на построенных начальных уравнениях. Этот этап также включает промежуточные операции, необходимые для получения всех интересующих аспектов решения.

На этапе вывод исследователю выдается решение, знание которо­ го поможет ему определить пропорции конструкции и разрешить другие вопросы проектирования. Обычно это решение представляет собой выведенный на печать массив напряжений,, вычисленных в за­ данных точках или отнесенных к соответствующим конечным эле­ ментам. Это могут быть также выведенные на печать массивы пере­ мещений или другая информация. Как и на этапе вводу здесь имеются сильные тенденции к графическому выводу информации, например в виде графического изображения линий главных напряжений или мод потери устойчивости и колебаний.

В связи с этим следует отметить, что в книге излагаются вопро­ сы, касающиеся только расчета конструкции. Иными словами, предполагается, что данные относительно свойств материала, гео­ метрии и размеров элементов конструкции определены на этапе ввода. Современное состояние в области математического програм­ мирования и аналогичных дисциплин [1.23] позволяет осуществить с помощью компьютера выбор таких параметров проектирования, которые минимизируют вес или стоимость конструкции. Эти вопро­ сы не будут рассматриваться в книге.

Перечисленные выше части программ общего назначения имеют одну общую черту — блочность, или модульность основных опера­ ций. Хорошо составленная программа должна позволить пользо­ вателю вставлять новые блоки операций по мере надобности или в том случае, когда определены более эффективные способы реали­ зации указанных операций. К этим операциям относятся, напри­

Finite Element Method.—Proc. of Conf. on Finite Element Method in Civil Eng., McGill Univ., Montreal, Canada 1972, p. 1105— 1140.

1.20. Ngo E)., Scordelis A. C. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Be­ ams.—J. Amer. Concrete Inst., Mar 1967, 64, No. 3, p. 152— 163.

1.21Gallagher R. H. Large-Scale Computer Programs for Structural Analysis.— In: On General Purpose Finite Element Computer Programs, P. V Marcal (ed.), ASME Special Publication, 1970, p. 3—34.

1.22.Marcal P V. Survey of General Purpose Programs for Finite Element Analysjs._in: Advances in Computational Methods in Structural Mechanics and De­ sign, J. T. Oden, et al. (ed.), Univ. of Alabama Press, University, Ala., 1972.

1.23.Gallagher R. H., Zienkiewicz О. C. Optimum Structural Design.—New York, N. Y.*: John Wiley & Sons, Inc., 1973.

2

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ЭЛЕМЕНТАМИ

Наряду с гл. 3 и 4 настоящая глава является во всех отношениях вводной при изложении основ метода конечных элементов. Здесь и в гл. 3 встречаются определения, обозначения и операции, которые более детально обсуждаются в курсе матричного анализа фермовых конструкций. Предполагается, что читатель знаком с этим предметом. (Имеется в виду, что читатель знаком с обозначениями и основными операциями матричной алгебры.) Тем не менее в этой и следующей главах излагаются все осново­ полагающие аспекты анализа поведения конструкций с помощью матричных методов, имеющих отношение к развиваемому здесь методу конечных элементов. Изложение этих же вопросов читатель найдет в [2.1—2.4], однако в этих работах он встретит мало числен­ ных примеров. Символы и операции матричной алгебры будут опре­ деляться там, где они встречаются впервые.

В начале главы определим применяемые в книге основную координатную систему и правило знаков. Далее изучим взаимо­ связь между аналитическим конечно-элементным представлением и поведением соответствующего объема реальной конструкции. Вслед за этим определим коэффициенты влияния для элементов кон­ струкции в случае, когда перемещения в зависимости от приклады­ ваемых нагрузок подсчитываются в отдельных точках элемента. Это, естественно, приводит к определению понятий работы и энер­ гии в терминах коэффициентов влияния, а также к доказательству свойства симметрии, которым обладают указанные коэффициенты при рассмотрении линейно-упругого поведения материала.

Довольно большой по объему раздел этой главы посвящен изло­ жению вопросов, связанных с переходом от одного типа коэффици­ ентов влияния, например от коэффициентов влияния, отвечающих методу перемещений, к другому типу, который в указанном случае соответствует методу сил. Данный переход, который не играет существенной роли при расчете стержневых систем, является основ­ ным в методе конечных элементов. В двух последующих разделах

изучаются матрицы преобразования, при этом рассмотрение не­ сколько выходит за рамки обычного применения преобразований при замене систем координат. Это позволит определить операции по уменьшению числа параметров в получаемых решениях. В за­ ключение описываются операции, выполняемые с матрицей жест­ кости элемента для выделения форм движения как твердого целого.

2.1. Система координат

Ниже наиболее часто будет использоваться ортогональная система координат, оси которой, изображенные на рис. 2.1, обозначены сим­ волами х у у и г.

Рис. 2.1. Обозначения для сил и перемещений, (а) Перемещение из точки g в точку h ; (b) силы, моменты и соответствующие им перемещения.

Действие нагрузок на упругую конструкцию вызывает переме­ щение точек тела, включая смещение точек относительно друг друга. В настоящей главе рассматривается поведение элементов конструкций в целом, определяемое смещением точек тела под

действием приложенных к этим точкам систем нагрузок. Детальное изучение относительных смещений точек внутри тела (деформаций) и распределения усилий, отнесенных к единице площади, для вну­ тренних точек (напряжений) будет проведено в последующих гла­ вах, особенно в гл. 4—6, где рассматриваются такие факторы, как распределенные нагрузки и начальные деформации, обусловленные тепловым расширением.

Совокупность осей координат для конструкции в недеформированном состоянии вводится согласно рис. 2.1. Эти оси остаются неподвижными в процессе деформации конструкции, и смещения точек тела определяются относительно указанных осей. Рассмотрим для свободного от нагрузок недеформированного тела малый эле­ мент объема с центром в точке g (см. рис. 2.1 (а)). На этот элемент действует вектор усилий с компонентами FXg, Fygt Fzg. Под дейст­ вием этой силы малый элемент объема сместится в точку, обозначен­ ную на рис. 2.1 символом h. Трансляционное смещение элемента задается в виде ug= xh—xg, vg= yh—ygy wg= zfl—zg. Согласно обозна­ чениям для компонент вектора сил, указанные величины изобра­ жаются так же, как компоненты вектора, отнесенного к соответст­ вующей точке недеформированного тела. Положительные значения сил и компонент смещений отвечают положительному направлению осей координат.

В книге, за исключением последней главы, описание поведения тела ограничено линейным случаем. Применительно к рассмотрен­ ным выше силам и трансляционным смещениям это означает, что компоненты вектора силы остаются неизменными при перемещении элементарного объема из g в h. Кроме того, такая механическая ха­ рактеристика, как работа, производимая силами FXg1 Fygi Fzg на перемещениях ug1 vg, wgy не зависит от вида пути в точку h.

Задание трансляционных смещений само по себе недостаточно для полного описания смещений конструкции. В задачах, где рас­ сматриваются балки и конструкции рам, тонкие пластины и оболоч­ ки, исследователь, как правило, делает упрощающее предположе­ ние, согласно которому отрезок, проведенный перпендикулярно нейтральной линии (для балок и рам) или срединной поверхности (для пластин и оболочек) в недеформированном состоянии, остается нормальным к нейтральной линии или срединной поверхности и пос­ ле деформации. Мерой смещения точек указанных конструкций служит угол 0 поворота нормали, отмеряемый от недеформирован­ ного состояния. Часто предполагается, что значение этого угла равно тангенсу угла наклона нейтральной линии или срединной поверхности. Если ввести систему координат, изображенную на рис. 2.1 (Ь), то угловые смещения точки k призматического элемента, расположенного вдоль оси х, определяются величинами

Очевидно, что перечисление компонент вектора в виде столбца не­ выгодно с типографской точки зрения, поэтому мы будем записывать эти компоненты в виде вектор-строки, обозначаемой символом [__ | . Транспонированную матрицу определим как матрицу, получаемую заменой ее строк на столбцы. Согласно этому определению, при транспонировании вектор-столбца получается вектор-строка и на­ оборот. Так, обозначая транспонирование латинским верхним ин­ дексом Т, можем записать рассматриваемые векторы в следующем виде:

{ ? } = l F 4 FygFZ' M X/M yjMXjy ,

{ д } = iugVgwgeX/ вУ/ег / _| т .

Отдельная компонента произвольного вектора, задающего п перемещений в узле {А}= L Ai...A*...An J т, например Дь называ­ ется i-й степенью свободы.

Первым шагом на пути определения векторов сил и перемещений является задание узловых точек и их расположения относительно координатных осей. В методе конечных элементов следует различать глобальные и локальные системы координат, а также системы коор­ динат с началом в узловых точках. Глобальные оси координат за­ даются для всей конструкции, описываемой многими конечными элементами. Локальные (или элементные) оси координат связаны с отдельными элементами. Так как элементы, вообще говоря, раз­ личным образом ориентированы друг относительно друга (ситуа­ ция наглядно отражена в гл. 1 при изложении примеров численного анализа авиационных конструкций, судов и реакторов), то локаль­ ные оси координат также в общем случае различно ориентированы. На рис. 2.2(a) локальная система координат обозначена штрихами. И наконец, ориентации систем координат, определенных в точках соединения элементов, различны, вообще говоря, для некоторых или для всех элементов, соединенных этой точкой. Эти оси коор­ динат отмечаются двумя штрихами. В книге координаты помечаются одним и двумя штрихами только в том случае, если различные коор­ динатные системы сравниваются или появляются в одном и том же месте текста. Если же рассматривается одна из координатных сис­ тем, то штрихи не пишутся.

Локальные координаты используются в большинстве случаев при формулировке уравнений для отдельных элементов, и ниже описываются способы введения локальных координат для элементов и нумерации узлов элемента. Глобальные координаты фигурируют в основном в гл. 3 при выводе в разд. 3.1 и 3.2 уравнений для всей конструкции (глобальные уравнения). Значение и характер приме­ нения координат с началом в узловых точках становятся ясными в п. 3.5.3.

На рис. 2.2(b) изображен принятый в книге способ введения сис­ тем координат и нумерации узлов для плоских конечных элементов. Ближайший к началу координат или совпадающий с ним узел принимается за узел 1. Далее следующему в положительном на­ правлении оси х узлу на плоскости х — у присваивается номер 2.

Оси координат с началом

) в узлах.

Рис. 2.2. Оси координат и правило нумерации узлов, (а) Типы координатных осей;

(Ь) оси координат и правило нумерации узлов.

Способ нумерации соответствует движению против часовой стрелки. Так определяются плоские элементы (пластинчатые в плоском на­ пряженном состоянии или при изгибе, а также элементы в случае плоской деформации), лежащие в плоскости х — у. Иначе нумеру­ ются элементы поперечных сечений осесимметричных тел. Правила для нумерации узлов в трехмерных элементах аналогичны выше­ приведенным.

Зная основные свойства упругого поведения конечного элемента или конструкции в локальной системе координат, можно легко осу­ ществить преобразование сил и перемещений к глобальной системе координат.