Метод конечных элементов. Основы

ния тела как твердого целого и условия постоянства деформаций включались в исходную (для прямоугольника) функцию поведения, то они сохранятся и после преобразования. В случае плоской задачи перемещение, соответствующее движению тела как твердого целого, и условия постоянства деформаций можно записать в общем виде:

Первое из приведенных условий выполняется в силу основных свойств функций формы, а второе и третье условия — вследствие

(8.33).

Идеи изопараметрического представления переносятся естест­ венно и на трехмерный случай. Здесь не приводится детального изложения этих вопросов, так как обобщение матриц [J] и [D] на трехмерный случай является очевидным. Так же непосредственно проводится обобщение на представление в треугольных и тетра­ эдральных координатах, причем в этом случае необходимо пред­ варительно выразить одну из координат Lt в терминах остальных координат. Для треугольных координат необходимо сначала ис­ пользовать (8 .20), а для тетраэдральных координат — соотноше­ ния (8.28).

Литература

8.1.Johnson М., McLay R. Convergence of the Finite Element Method in the Theory of Elasticity.—J Appl. Mech., 90, June 1968, p. 274—289. [Имеется перевод: Прикл. механ.— М.: Мир, 1968, № 6.]

8.2.Tong Р., Pian Т The Convergence of Finite Element Method in Solving Linear Elastic Problems —Int. J Solids and Structures, 1967, 3, p. 865—879.

8.3.Haisler W., Striklin J. Rigid-Body Displacements of Curved Elements in the Analysis of Shells by the Matrix-Displacement Method.—AIAA J., Aug. 1967, 5, No 8, p. 1525— 1527 [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1967, № 8.]

8.4.Murray К. Н. Comments on the Convergence of Finite Element Solutions.— AIAA J. 1970, 8, No. 4, p. 815—816. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1970, № 4.]

8.5.Dunne Р. Complete Polynomial Displacement Fields lor Finite Element Me­ thod.—Aero. J., Mar. 1968, 72, p. 246—247.

8.9. Вычислите интеграл ^ (d N 2oo/dx)(dN011/dy)dA для треугольного элемента

А

свершиной 200 в начале координат и вершинами ПО и 020, расположенными на оси х.

8.10.Определите функции формы для четырехузлового стержневого конструк­ тивного элемента (см. рис. 8.2), используя лагранжеву интерполяцию.

8.11.Постройте функцию формы для прямоугольной изгибаемой пластины, используя эрмитову интерполяцию так же, как это делается при формулировке лагранжевых элементов. Удовлетворяет ли построенная функция всем критериям из разд. 8.1?

8.12.Постройте с помощью эрмитовой интерполяции одномерную функцию формы, соответствующую полиному пятой степени. В качестве степени свободы на каждом конце сегмента примите саму функцию, ее первую и вторую произ­ водные.

8.13.Биквадратная интерполяционная формула (8.17) выписана в системе коор­ динат с началом в нижнем левом углу элемента. Выпишите ее в координатах £, г|

сначалом в центре элемента.

8.14.Постройте подходящее поле перемещений и для изображенного на рис. Р8.14 элемента.

8.15. Предположим, что, как и в случае теплопроводности (см. разд. 5,4), пове­ дение треугольного элемента описывается скаляром Г, задаваемым в виде

T = L 1Yi + L 2T 2+ L 3r 3+ L 1L 2L 3Y0= L N J {Г},

где Ь ъ L 2 и Lg — треугольные координаты; Т ъ Г2 и Г 3 — значение температуры в вершинах элемента, Г0 — обобщенный параметр. Матрица поведения задается формулой

где v — коэффициент теплопроводности. Постройте матрицу поведения для этого случая и исключите «дутые» моды L lt L2, L 3 с помощью процедуры конденсации.

9

ПЛОСКО-НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Теперь в нашем распоряжении имеются все ком­ поненты, необходимые для построения разнообразных видов конеч­ ных элементов и функций, задающих их поведение. С данной главы начинается описание конкретных типов элементов для анализа сплошной среды. Этому в книге посвящены четыре главы, в кото­ рых соответственно рассматриваются плоско-напряженные эле­ менты, трехмерные элементы, специальные виды трехмерных эле­ ментов и изгибаемые пластинчатые элементы. Три главы, включая данную, открываются кратким изложением основных соотношений, отвечающих рассматриваемому типу поведения, т. е. определяю­ щих дифференциальных уравнений и специальных форм соответ­ ствующих дифференциальных уравнений. Содержание последую­ щих разделов этих глав и двух оставшихся глав, относящихся к указанной группе, определяется типом рассматриваемого элемента.

Данная глава посвящена вопросам конечно-элементного пред­ ставления тонких пластин, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, т. е. при действии в их плоскости нор­ мальных и касательных напряжений. Плоское напряженное со­ стояние является простейшей формой напряженного состояния конструкций, часто встречающейся на практике. Указанные эле­ менты используются для представления конструктивных элемен­ тов тонкостенных и подкрепленных конструкций, кесонных кон­ струкций, атакжедля учета мембранных напряжений в оболочках.

Основные соотношения плоского напряженного состояния слу­ жат инструментом для проведения различных фундаментальных теоретических построений в последующих главах. Первый раздел этой главы краток и содержит в основном лишь указания на те места книги, где определяющие соотношения вводятся впервые. Для плос^напряженных элементов наиболее существенным отли­ чительным фактором является их конфигурация. Хотя возможны различные конфигурации элементов, здесь рассматриваются тре­

угольные и четырехугольные элементы, причем каждый из указан­ ных элементов детально изучается в отдельном разделе главы.

Формулировки треугольных элементов плоского напряженного состояния в принципе основаны на задании предполагаемых полей перемещений и интеграла потенциальной энергии. В данной главе предложено несколько альтернативных формулировок различной степени сложности для треугольных элементов. Здесь обсуждаются также аспекты практического построения треугольных элементов и, в частности, вопросы интерпретации результатов расчета полей напряжений. Представлены численные решения в зависимости от измельчения сетки разбиения для двух задач, для которых имеются аналитические решения. Приводятся замечания относительно роли смешанных вариационных принципов и принципа минимума до­ полнительной энергии при построении треугольных конечных эле­ ментов.

При рассмотрении прямоугольных плоско-напряженных эле­ ментов вначале изучаются формулировки, полученные с помощью межэлементно согласованных полей перемещений. Для этих эле­ ментов приводятся результаты расчетов, откуда становится ясно, что задачи, которые должны описывать состояние изгиба, лучше моделируются с помощью элементов, содержащих дополнительные функции перемещений. Изучению указанных функций отводится специальный раздел. При формулировке элементов гибридный ме­ тод напряжений имеет определенные преимущества .в отдельных задачах плоско-напряженного анализа. Этот подход к построению элементов описывается в заключительном разделе главы.

9.1.Основные соотношения

9.1.1.Дифференциальные уравнения и уравнения состояния

Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся в плоском напря­ женном состоянии (рис. 9.1). Координатные оси х и у расположены в срединной плоскости пластины, в которой действуют постоянные по толщине пластины t напряжения оХ1 оу и тху. Предполагается, что нормальным напряжением а 2 и касательными напряжениями тхг и туг можно пренебречь. Дифференциальные уравнения равно­ весия имеют вид уравнений (4.2). Соотношения между деформациями и перемещениями представлены формулами (4.7). Уравнение (4.8) представляет собой дифференциальное уравнение совместности.

Нечасто требуется иметь в распоряжении уравнения состояния для плоского напряженного состояния в случае более общем, чем для ортотропного материала. Поэтому с учетом начальных дефор-

Следует отметить, что уравнения состояния для ортотропного материала часто задаются в глобальной системе координат (хуу), а элемент необходимо построить в осях координат (х\ у '), связанных

z

Рис. 9.1. Плоско-напряженное состояние.

с элементом. Если, как показано на рис. 9.1, ср — угол между гло­ бальной и связанной системами координат, то преобразование ком­ понент напряжений в глобальной системе к компонентам в связан­

Соответствующий вид граничных условий уже был выписан ра­ нее: граничные условия для напряжений представлены в (4.5), а для перемещений — в (4.9). Определяющие дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях задаются соотношениями (4.17). Определяющее дифференциальное уравнение совместности представлено в (4.18) в терминах напряжений, а в терминах функ­ ции напряжений Эри — в (4.19).

9.1.2. Потенциальная энергия

Для потенциальной энергии рассмотрим ниже лишь слагаемое, отвечающее энергии деформации U. Потенциал действующих сил V зависит от вида этих сил, причем о нем можно сказать что-либо определенное, если задано распределение указанных нагрузок. Энергия деформации для плоского напряженного состояния равна

где а и 8 определяются согласно (9.1) и (9.2). Вводя в (9.5) уравне­ ние состояния ортотропного материала (без учета начальных де­ формаций) и принимая во внимание соотношение между деформа­ циями и перемещениями (4.7), получим

Принцип минимума потенциальной энергии предполагает рас­ смотрение допустимых полей перемещений. В данном случае поле перемещений определяется, вообще говоря, в каждом узле компо­ нентами и и у, поэтому вектор смещений в узлах обозначим через LЛ J = L LUJ LVJ J • Кроме того, в обсуждаемом ниже методе

жесткости поля перемещений и и v выписываются непосредственно

как функция от {и} и аналогично для v). Для плоского случая в разд. 5.2 в соотношении (5.22) и разд. 8.8 в соотношении (8.39) уже использовалось преобразование степеней свободы в деформа­ ции. Поэтому в принятых обозначениях имеем

Следовательно, уравнение (9.5а) преобразуется к виду

(9.5с)

где

(9.7)

9.1.3. Дополнительная энергия

Согласно (6 .68а), дополнительная энергия деформации равна

(9.8)

а

Применим подход, основанный на введении функций напряжений Ф, и заметим, что функция напряжений Эри Ф из (4.4) пригодна в рассматриваемом случае. Допустимое поле, задаваемое функцией напряжений Эри внутри элемента, можно записать в виде функции формы следующим образом:

где {Ф} состоит из значений функции напряжений в узлах, а |_ N J содержит выбранные функции формы. Тогда, дважды дифференци­ руя Ф и учитывая определение функции напряжений (4.4), получим

где коэффициенты матрицы [N"1, вообще говоря, являются функция­ ми от х и у. Подстановка в выражение для дополнительной энергии деформации г риводит к соотношению