Метод конечных элементов. Основы

причем \= x!L.

Деформации в случае изгиба равны кривизнам (вторым произ­

где

) v ; = - ( v ; = A ( 2 E - i ) ,

(5.15а)

N ; = - - Z - ( 3 1 -2 ), ^ = — | - (3 ^ -1 ).

Кроме того, напряжения в этом случае суть внутренние изгибающие моменты ЯЛ, и определяющее соотношение запишется в виде

Так как вторые производные в (5.15а) изменяются линейно внутри элемента, то кривизна может быть определена однозначно, если за­ даны w" в узлах 1 и 2. Согласно (5.15), получим

Wi

е1 = [D.]{A}. (5.15b)

%

Рассматривая условия равновесия сил, необходимо заметить,

Кроме того, так как требуется на двух концах элемента связать моменты с кривизнами, необходимо записать уравнение изгиба (5.16) в расширенном виде *’

полю деформаций е. В данном случае рассматриваются векторы узловых напря­

жений ({ст}= LSDTli ЯЛгJ т) и узловых деформаций ({е}= La£w5jT). Чтобы не вводить новыхобозначений, в обоих случаях используются одинаковые символы.

где

{™,Н7 П {3 -[Е]М'

Окончательно, объединяя (5.15Ь), (5.16а) и (5.8Ь) в виде про­ изведения [k],= [A] [Е] [D], получим

Вновь матрица жесткости была получена без учета в явном виде условий равновесия внутри элемента, которые для указанного эле­ мента при отсутствии разрывов задаются уравнением

Очевидно, что четвертая производная кубического полинома, зада­ ваемого формулой (5.13), равна нулю, поэтому приведенное выше условие выполняется. Условие равновесия определяется простым суммированием сил и моментов в узлах, как указано в гл. 3.

Интуитивно можно предполагать, что в узлах должны выпол­ няться условия непрерывности угловых смещений для изгибаемых элементов. Следовательно, условия непрерывности смещений в узлах глобального конечно-элементного представления требуют непрерывности как w, так и 0. Рассматриваемое представление удов­ летворяет этим условиям. Так как оно удовлетворяет всем условиям равновесия, если нагрузки приложены только в узлах, то получае­ мое в этих случаях решение является точным. Можно построить приближенное поле перемещений (например, линейное поле, вы­ раженное только через и w 2, как в конечно-разностных методах) и, если в глобальном представлении используется конечное число сег­ ментов, получить приближенное решение задачи.

Представление поля перемещений с помощью функции формы (5.5), (5.14) играет центральную роль в обоих иллюстративных примерах. Хотя понятие функции формы обсуждается более подробно в последующих главах, в особенности в гл. 8, важно отметить ее основные свойства, приступая к изучению способов построения элементов. Рассмотрим сначала случай, когда поле (или пробная функция) независимой переменной А выражается только в терминах значений Дг указанной переменной в заданных точках. Стержневой элемент (5.5) является примером указанного случая. При этом функ­ ция формы N i определяется таким образом, что принимает значе­ ние, равное 1 в узле, где задана величина Ah и равное нулю в других узлах, отвечающих остальным степеням свободы. Это сделано для то­

го, чтобы А = Д г в узле, соответствующем Д;. Причина, побудившая назвать N t функцией формы, теперь ясна: она характеризует изме­ нение переменной А в области, занимаемой элементом, для Дг=1 и при фиксированных остальных степенях свободы. Сказанное ил­ люстрируется на примере стержневого элемента на рис. 5.2.

Рис. 5.2.

В некоторых случаях описание независимой переменной вклю­ чает степени свободы в виде производных в заданных точках. На­ пример, представление w для изгибаемого элемента (5.14) с помощью функции формы содержит в качестве степеней свободы производ­ ные от w (01 и 0а) в концевых точках. Функции формы, умножаемые на эти степени свободы, должны иметь размерности, которые обес­ печат появление членов, имеющих размерность перемещения. По­ этому в случае балочного элемента множители при 0i и 02 в (5.14) имеют размерность длины (перемещения), так как 0* и 0* измеряются

врадианах.

5.2.Треугольный плоско-напряженный элемент

Проиллюстрируем прямой метод построения уравнений жесткости элемента на примере треугольного плоско-напряженного элемента, изображенного на рис. б.З и 5.4. Элемент имеет постоянную тол­ щину t, его материал изотропен, и для удобства рассмотрения эле­ мент расположен так, чтобы одна из его сторон лежала на оси х. Этот иллюстративный пример заслуживает особого внимания, так как, во-первых, рассматривается более общее напряженное состоя­ ние (двумерное) и, во-вторых, получающиеся уравнения жесткости приводят к приближенным решениям дифференциальных уравне­ ний, определяющих задачи глобального анализа, и, в-третьих, изу­ чаемый элемент имеет первостепенное значение во всех областях практических приложений.

Поведение элемента, как видно из рис. 5.4, описывается шестью степенями свободы:

ются. Поле напряжений а оказывается равновесным, несмотря на то что явных попыток удовлетворения условию равновесия не де­ лалось.

Что можно сказать относительно выполнения условий равновесия для напряжений вдоль грацищл соседних элементов? На рис. 2.5(d) и (е) изображена линия, разделяющая два смежных элемента А и В. FJa рис. 5.5 представлена матрица жесткости треугольного элемента, построенная, согласно (5.7а), в результате объединения соотноше­

Рис. 5.5. Матрица жесткости для плоскр-напряжецногр изотропного элемента с постоянным напряжением внутри элемента.

Из этих соотношений непосредственно видно, что каждая компонента напряжения зависит от всех узлов отдельного элемента. Следова­

и тангенциальные усилия на границе (Тп и Т $), полученные на основе этих напряжений для рассматриваемых элементов, вообще говоря, не равны. Итак, условия равновесия на границе элементов не выпол­ няются.

С другой стороны, условия непрерывности перемещений и и v на линиях, разделяющих элементы, выполняются. Поле перемеще­ ний линейно и перемещение вдоль границы элемента изменяется по линейному закону Когда края элементов соединяются, то сов­ мещение узлов 1 и 2 двух элементов обеспечивает непрерывность перемещений во всех точках, находящихся между узлами. Удов­ летворить этому условию можно и другим способом, получая при помощи поля перемещений (5.21а) выражения для смещении краев элементов Можно показать, что перемещения на каждой стрррце элемента полностью определяются с помощью величин, заданных В граничных узлах рассматриваемой стороны. Общий подход к построению непрерывных полей перемещений основан щ допуще­ нии того факта, что перемещение на линии, задающей границу эле­ мента, должно быть однозначной функцией степени свободы, при­ надлежащей указанной линии. Случай, когда перемещения щ границе элемента определяются неоднозначно, приведен на рир. ?.$(Ь).

Таким образом, для простого треугольного элемента в плоском напряженном состоянии внутри элемента выполняются и условие равновесия, и условие совместности, однако вдоль линий, разделя­ ющих элементы, выполняется лишь условие непрерывности пере­ мещений и и V. Условия равновесия нарушаются вдоль границ элемента, но равновесие граничных сил выполняется в среднем для узлов элемента. В результате измельчения сетки треугольных элементов можно добиться уменьшения ошибки, вызванной невоз­ можностью удовлетворить условиям равновесия в каждой точке конструкции.

В разд. 2.3 было указано, что часто бывает полезно задать массив коэффициентов жесткости в безразмерной форме. Как видно из рис. 5.4, каждый член матрицы жесткости треугольного элемента содержит произведение (либо квадратичную функцию) линейных размеров элемента, а константа, на которую умножается матрица,— такое же произведение (хгу 3) в знаменателе. Следовательно, внося указанную константу в матрицу, получим набор безразмерных ко­ эффициентов жесткости, причем каждый отдельный коэффициент включает отношения размеров элемента, например у31х2

5.3. Ограничения в прямом методе

Понятие матрицы жесткости элемента введено в разд. 2.3 аксиома­ тически и без указания Методики отыскания ее коэффициентов. При тех же условиях в разд. 2.5 было показано, что матрица должна обладать свойством симметрии. Однако из определяющего уравнения прямого метода (5.10) непосредственно не следует, что сформиро­ ванная матрица симметрична. Центральная матрица тройного про­ изведения (A] IE] [D], т. е. матрица упругости [Е], согласно при­ сущим ей внутренним свойствам, симметрична. С другой стороны, матрицы [А] и [D] строятся независимым образом и необязательно конгруэнтны. Конгруэнтное преобразование симметричной матрицы [Е] обеспечило бы симметричность результирующей матрицы.

Трудности при построении симметричной матрицы можно пре­ одолеть, если добиться конгруэнтности путем замены в (5.10) матрицы [А] матрицей, транспонированной к матрице преобразова­ ния перемещений в деформации [D]. Тогда [k] = [DlT[E] [D1. Как показано в разд. 6.4, аналогичный результат получится, если ис­ пользовать принцип минимума потенциальной энергии. [Проце­ дуры слегка отличаются, если деформации зависят от пространст­ венных координат. В прямом методе используется дискретное ин­ тегрирование (см. изгибаемый элемент), а энергетический подход включает интегрирование непрерывных функций.]

Другими словами, можно выбрать подход, где операции про­ водятся только с помощью матрицы преобразования напряжений

в силы [А]. В этом случае требуется обратить (5.10), т. е. оперировать с [f]=[D]”1 IE]"1 [А]"1 (с должным учетом степеней свободы, от­ вечающих движению тела как твердого целого), где [D“ 11 заменя­ ется на [А]-1. Полученный результат соответствует применению

принципа минимума дополнительной энергии. Этот принцип обсуж­ дается в разд. 6.6.

Вторая трудность возникает в прямом методе при выяснении сте­ пени гладкости перемещений на границе элементов, которая опре­ деляется выбранными функциями формы. Рассмотрим, например, построение плоско-напряженного элемента из предыдущего пункта. Если исходить из простых физических рассуждений, оказывается, что условия непрерывности при переходе от элемента к элементу полностью удовлетворяются, если непрерывны перемещения и и v. Необходимо ли добиваться непрерывности производных от пере­ мещений du/dXy dv/dy и т. д., которые по существу определяют деформации? Требуется ли в случае плоского напряженного состоя­ ния непрерывность производных более высокого порядка? На эти вопросы нельзя ответить, опираясь на теоретическую базу прямого метода. Ответы на эти вопросы даются в гл. 6 с использованием

вариационных методов.

Еще одна трудность возникает в прямом методе, если необхо­ димо рассмотреть распределение нагрузки, начальные деформации или другие явления, такие, как нестационарные процессы или потеря устойчивости. Оказывается, что члены, отвечающие этим эффектам в прямом методе, можно учесть только простым распреде­ лением соответствующих величин по узлам. В последующих главах на базе вариационных принципов рассматривается более рациональ­ ный подход к построению членов, представляющих эти эффекты.

В заключение, как нам кажется, имеет смысл привести сводку введенных преобразований, которые будут использованы в после­

5.4.Прямой метод при решении физических задач

Спомощью прямого метода можно строить конечно-элементную модель физических процессов не менее успешно, чем при расчете упругого деформирования. Рассмотрим, например, одномерную задачу стационарной теплопроводности. Изучение этого процесса представляет практический интерес для проектировщиков, имею­ щих дело с задачами расчета термических напряжений, в которых весьма желательно иметь возможность единообразного подхода при расчете полей температуры и напряжений.

Рассматривается изображенный на рис. 5.6 изолированный стержень. Выделим «одномерный» элемент с площадью поперечного сечения -4, длиной L и имеющий коэффициент теплопроводности и. Найдем соотношения между температурами (Гь Г2) (°F) в точках 1 и 2 и значением теплового потока в этих точках (Ни Я 2) (БТЕ).

В качестве определяющего соотношения выберем в данном слу­

где ft — стационарный тепловой поток на единицу площади (БТЕ/ /фут*). Знак минус означает, что тепловой поток направлен в сто­ рону уменьшения температуры. Согласно предыдущим построениям