Метод конечных элементов. Основы

Моей жене Терри

ПРЕДИСЛОВИЕ

Как правило, развитие новых областей знания про­ ходит через три стадии. В течение первой стадии достижения в но­ вой области отражаются на страницах периодических изданий и координируются время от времени редкими обзорными статьями. Практические приложения весьма редки. На второй стадии появля­ ются монографии, в которых активно работающие в данной области специалисты обстоятельно излагают состояние и перспективы даль­ нейшего развития области. Прикладные исследования становятся достоянием коллективов исследователей, располагающих передо­ вой технологией и работающих в организациях, которые имеют зна­ чительные производственные возможности. Наконец, Область при­ ложения распространяется практически на все сферы деятельности, а в учебных заведениях предмет преподается как обычный академи­ ческий курс.

Конечно-элементный анализ лишь недавно вышел из второй ста­ дии развития. Появился ряд прекрасных монографий, однако су­ ществует необходимость в книге, приближающейся к традиционно­ му учебному курсу и ориентированной на читателя, не знакомого с этой областью знания. Предлагаемая книга предназначается слу­ жить этой цели. Автор стремился написать усовершенствованный курс для студентов, специализирующихся по механике деформи­ руемого твердого тела. В их число могли бы входить студенты, изу­ чающие такие области, как проектирование аэрокосмической техни­ ки, судостроение, техническая механика, гражданское строительст­ во. В той степени, в которой можно отдать предпочтение одной из перечисленных областей, данная книга ориентирована на инжене­ ров, занимающихся прикладными задачами проектирования конст­ рукций.

Кроме того, можно надеяться, что книга вызовет интерес инжене- ров-практиков, желающих ознакомиться с введением в методологию исследования, не вошедшую в курсы, которые читались в период их обучения в учебном заведении, а также тех, кто использует ко-

нечно-элементный анализ и хочет узнать доказательства основных положений и способы построения элементов. Большая часть содер­ жащегося здесь материала на самом деле нашла отражение в много­ численных коротких курсах, прочитанных автором инженерампрактикам.

Излагаемый в книге предмет требует некоторого знакомства с те­ орией упругости и матричным анализом конструкций, а следователь­ но, с основами теории дифференциальных уравнений в частных производных, методами решения больших алгебраических систем и теорией анализа конструкций. Автор надеется, что каждая из этих тем нашла отражение в начальных главах книги — из опыта он зна­ ет, что обычно в курсах по конечно-элементному анализу предвари­ тельному знакомству с указанными разделами уделяется мало места. Спешим, однако, добавить, что достаточно полное изложение основ теории упругости, как правило, можно найти в современных учеб­ никах по механике сплошных сред, предназначенных для студен­ тов младших курсов.

Термин матричный анализ конструкций требует разъяснения, так как им принято объединять почти все аспекты, связанные с при­ менением вычислительной техники при проектировании конструк­ ций. Однако существует тенденция к выделению процедур, которые связаны с построением и решением уравнений, описывающих зада­ чу для всей конструкции, включая объединение простых конструк­ тивных элементов исходя из формулировок отдельных элементов. Эти уравнения можно выписать в значительной степени при помощи таких элементов, как рамные и фермовые, а теорию последних мож­ но построить, ограничиваясь очень скромным экскурсом в рассмат­ риваемую область. Именно поэтому и используется термин «матрич­ ный анализ конструкций».

Теоретические основы конечно-элементного анализа во многом опираются на вариационное исчисление. Мы выделили этот раздел, так как нереально ожидать, что студенты, начинающие изучать ко­ нечно-элементный анализ, прослушали курс вариационного исчис­ ления.

Книга в основном посвящена изложению основных теоретических принципов и, за исключением гл. 1, бегло освещает прикладные аспекты конечно-элементного анализа. В доступный литературе имеется изобилие информации подобного рода, с частью ее можно ознакомиться по публикациям, списки которых приводятся в кон­ це каждой главы. В гл. 1 помимо изложения некоторых примеров приложения метода дается краткий обзор истории его развития, приводится краткое описание набора встречающихся в последую­ щих главах элементов, излагаются побудительные мотивы развития метода и концепция программ общего назначения.

В гл. 2 вводятся основные определения, терминология, коор­ динатные системы и излагаются свойства, которыми обладают все

конечно-элементные соотношения независимо от способа их построе­ ния. В гл. 3 подробно излагается один из методов построения урав­ нений для всей конструкции исходя из знания уравнений для от­ дельных элементов — прямой метод жесткости. В последующих главах дается краткое изложение или упоминание о других способах достижения этой цели, однако, как указывалось, целью книги яв­ ляется изложение вопросов, связанных с построением элементов.

Хотя в книге и не исключается рассмотрение одномерных эле­ ментов (например, стержней, балок), которые, вообще говоря, часто используются в качестве примеров, подтверждающих теорети­ ческие положения, главным мотивом развития конечно-элементно­ го анализа является необходимость изучения двух- и трехмерных задач механики сплошной среды. Поэтому для изучения метода су­ щественно понимание основных соотношений теории упругости, из­ ложение которых на базе общих положений приводится в гл. 4.

В книге представлены два общих подхода к процедуре форму­ лировки уравнений для элемента. Описываемые в гл. 5 прямые ме­ тоды привлекают своей простотой и рациональностью. Процесс построения элементов на базе прямых методов позволяете значитель­ ной степени выяснить суть условий, которые удовлетворяются при формулировке элементов и которые при этом не удовлетворяются. Вариационные методы (гл. 6) — наиболее популярный в настоящее время способ построения элементов. Эти методы при определенных условиях обусловливают сходимость численного решения, причем некоторые формулировки обеспечивают при заданной точности до­ стижение верхней и нижней границ решения. В гл. 6 Для построе­ ния элементов используются вариационные методы, а в гл. 7 те же идеи используются при построении уравнений для всей конструк­ ции. Таким образом, здесь излагается иной, более широкий взгляд на анализ конструкции по сравнению с приведенным в гл. 3.

Уместно отметить, в чем, по мнению автора, заключается главная особенность книги. В момент ее написания во всех приложениях и в теории метода конечных элементов имели дело с конечно-элемент­ ными формулировками, основанными на перемещениях (т. е. на жест­ кости или на принципе минимума потенциальной энергии). Аль­ тернативные формулировки, основанные на полях напряжений и

даже на совокупности полей перемещений и полей напряжений, однако, весьма перспективны, поэтому автор предвидит возмож­ ность, что в конце концов эти формулировки также займут равное положение при решении прикладных задач. В связи с этим в гл. 5—7 указанным альтернативным формулировкам уделяется значи­ тельное внимание.

Раздел книги, касающийся основных теоретических рассмотре­ ний, завершается гл. 8. В ней изучается методика представления поведения элемента посредством функционала, и эти идеи распрост­ раняются на представления геометрических характеристик элемен-

ч

та. Изложенные в этой главе концепции и формулировки, по-види­ мому, более полезны по сравнению с рассмотренными в предыду­ щих главах, так как они в равной степени применимы при конечно­ элементном анализе задач механики сплошных сред.

Вгл. 9—12 детально изучаются специальные формы элементов.

Вих число входят плоско-напряженные элементы (гл. 9), сплошные элементы общей и специальной формы (соответственно гл. 10 и 11)

а изгибные пластинчатые элементы (гл. 12). Кроме того, здесь уде­ ляется большее по сравнению с предыдущими главами внимание ссылкам на опубликованные работы.

Вгл. 13 рассматривается особый вид поведения — упругая не­

устойчивость. Развиваемая в этой главе теория одинаково хорошо применима ко всем типам элементов, и по этой причине здесь выгод­ но снова использовать простейшие типы элементов — рамные и фермовые.

В книге даны три группы задач, которые можно предложить для решения. Первая группа включает задачи для закрепления теоретических концепций и задачи, свойственные традиционным курсам строительной механики. Вторая группа относится, по су­ ществу, к конечно-элементному анализу, который можно осущест­ вить вручную, например при формулировке новых конечно-элемент­ ных соотношений либо анализе конструкции, поведение которой описывается не более чем тремя алгебраическими уравнениями. И наконец, приводятся данные для задач, имеющих известные клас­ сические или альтернативные решения, которые с помощью метода конечных элементов сводятся к решению относительно большого числа уравнений. Такие задачи можно распределить среди студен­ тов многими способами, однако, как убедился автор, существует наиболее эффективная схема: каждому студенту в группе предлага­ ется задача с отличной от других сеткой разбиения. Сравнение по­ лученных студентами группы результатов дает ценную информацию о скорости сходимости и точности конечно-элементного решения.

Метод конечных элементов представляет методику, предназна­ ченную для проведения расчетов на вычислительных машинах, и мо­ жет показаться удивительным, что в книге нет вычислительных программ. Автор считает, что мало кто из преподавателей или от­ дельных читателей книги столкнется с трудностями при желании воспользоваться широко распространенными конечно-элементными программами общего назначения (например, STRUDL-II), которые приспособлены для решения проблем указанного типа. С другой стороны, более простые программы, основанные на методе конечных элементов, можно найти в многочисленных отчетах и книгах.

Предположительно предмет этой книги можно изложить в обыч­ ном пятнадцатинедельном курсе по три часа в неделю. По опыту автора, это требует более глубокой подготовки по смежным вопро­ сам (теории упругости, матричному анализу конструкций) и ва-

риационному исчислению, чем та, которую обычно имеют большинст­ во студентов. Поэтому преподаватель может по выбору исключить из курса одну или несколько последних глав. С другой стороны, для программы, рассчитанной на три семестра, можно построить курс следующим образом: начать с десятинедельного курса матричного анализа конструкций, а затем прочитать два десятинедельных кур­ са по методу конечных элементов. Во втором из этих курсов можно изложить более сложные разделы, такие, как теоретические основы и приложения метода для решения задач механики грунтов, тепло­ проводности, течения жидкости и других задач механики сплошных сред, нелинейных задач и анализа переходных процессов.

Автор выражает благодарность многим студентам и коллегам, которые прочитали различные отрывки рукописи и высказали кри­ тические и полезные замечания. Долг благодарности следует отдать проф. Техасского университета Дж. Т. Одену и проф. университе­ та Ватерлоо Г Мак-Найсу за вклад в гл. 9, а также проф. Токий­ ского университета К. Вашицу за изучение и комментарии к гл. 6 и 7. Особую благодарность автор выражает проф. Нотр-Дамского университета Сиднею Келси за тщательное знакомство почти со все­ ми главами книги и многочисленные и всегда плодотворные заме­ чания, а также редактору издательства «Прентис-Холл» Джеймсу Бэсси и другим членам издательства, включая Барбару Кэссел, безграничное терпение которой побивает все рекорды, и Хелен Ви­ лер за ее несравненное умение печатать и повседневную готовность исправлять грамматические неточности.

Ричард Галлагер

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Ниже приводится список обозначений, используе­ мых в тексте. Большое число других обозначений вводится по мере появления; чаще это происходит в том случае, когда требуется обозначить матрицу (особенно в гл. 6) или пометить величину в

треугольную координату). Нижние и верхние индексы у символов, обозначающих однозначно трактуемые величины, ниже не приво­ дятся, а определяются в тексте по мере появления.

Матрицы обозначаются жирными буквами, заключенными в

(обозначенных жирными буквами) переносятся и на напечатанные светлым шрифтом символы с нижними индексами. Этими символа­ ми обозначаются элементы матрицы. Например, если определен

чающая матрицу, напечатана обычным шрифтом без нижнего ин­ декса, то она может обозначать скалярную величину, имеющую совершенно другой смысл, хотя в некоторых случаях смысл вели­ чины сохраняется.

Черточкой сверху помечаются заданные величины. Штрихами помечено дифференцирование.

АПлощадь

[А]Матрица связи напряжений с узловыми усилиями

[А]Кинематическая матрица. Коэффициенты, связываю­ щие узловые перемещения в элементе с глобальными

перемещениями в узлах

иРазмер

{а} Вектор параметров в предполагаемом поле переме­ щений