Физика для бакалавра Часть 2

Теорема взаимности. Соответствующий расчет показывает (иопыт его подтверждает), что при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты L12 и L21 одинаковы:

Это замечательное свойство взаимной индуктивности принято называть теоремой взаимности. Благодаря этой теореме можно не делать различия между L12 и L21 и просто говорить о взаимной индуктивности двух контуров. Смысл равенства (18.8) в том, что в любом случае магнитный поток Ф1 сквозь контур 1, созданный током I в контуре 2, равен магнитному потоку Ф2 сквозь контур 2, созданному таким же током I в контуре 1. Это обстоятельство нередко позволяет сильно упрощать решение вопроса о нахождении, например, магнитных потоков.

Взаимная индукция. Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении тока в одном из контуров в другом контуре возникает ЭДС индукции. Это явление и называют взаимной индукцией.

Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС, возникающие в контурах 1 и 2, равны соответственно:

Здесь предполагается, что контуры неподвижны и ферромагнетиков поблизости нет.

С учетом явления самоиндукции ток, например, в контуре 1 при изменении тока в обоих контурах определяется по закону Ома как

R1I1 = ε1 − L1 dIdt1 − L12 dIdt2 ,

где ε1 – сторонняя ЭДС в контуре 1 (помимо индукционных

ЭДС); L1 – индуктивность контура 1. Аналогичное уравнение можно записать и для определения силы тока I2 в контуре 2.

51

Отметим, что на явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов – устройств, служащих для преобразования токов и напряжений.

Замечание о знаке L12. В отличие от индуктивности L, которая, как было сказано, является существенно положительной величиной, взаимная индуктивность L12 – величина алгебраическая (в частности, равная нулю). Это связано с тем обстоятельством, что, например в (18.6), величины Ф2 и I1 относятся к разным контурам. Из рис. 18.3 сразу видно, что знак магнитного потока Ф2 при данном направлении тока I1 будет зависеть от выбора нормали к поверхности, ограниченной контуром 2 (или от выбора положительного направления обхода этого контура).

а б

Рис. 18.3

Положительные направления для токов и ЭДС в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода контура однозначно – правилом правого винта – связано направление нормали n к поверхности, ограниченной контуром, т.е. в конечном счете, знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, величину L21 мы должны считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, т.е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции.

Другими словами, L21 > 0, если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга, в против-

52

ном случае L12 < 0. В частных случаях можно заранее так установить положительные направления обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины L12 (см. рис. 18.3).

18.5. Индуктивность соленоида

Найдем индуктивность соленоида, пренебрегая краевыми эффектами. Пусть V – объем соленоида, n – число витков на единицу его длины, μ – магнитная проницаемость вещества внутри соленоида.

Согласно (18.5) L = ФIB . Следовательно, задача сводится

к тому, чтобы задавшись током I, определить полный магнитный поток ФB при токе I магнитное поле в соленоиде B = μμ0nI.

Магнитный поток через один виток соленоида ФB1 = BS = μμ0nIS, а полный магнитный поток, пронизывающий N витков:

ФВ = NФB1 = nlBS = μμ0n2VI,

ЭДС самоиндукции. При изменении силы тока в контуре согласно (18.1) возникает ЭДС самоиндукции εS :

Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигурация контура и нет ферромагнетиков), то

Здесь знак минус показывает, что εS всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока – в соответствии

53

с правилом Ленца. Эта ЭДС стремится сохранить ток неизменным: она противодействует току, когда он увеличивается, и поддерживает ток, когда он уменьшается. В явлениях самоиндукции ток обладает «инерцией», потому что эффекты индукции стремятся сохранить магнитный поток постоянным, точно так же, как механическая инерция стремится сохранить скорость тела неизменной.

Примеры проявления самоиндукции. Характерные прояв-

ления самоиндукции наблюдаются при замыкании и размыкании тока в цепи. Установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходят не мгновенно, а постепенно. Причем эти эффекты замедления тем значительнее, чем больше индуктивность цепи.

Любой большой электромагнит обладает большой индуктивностью. Если его обмотку отсоединить от источника, ток быстро уменьшается до нуля и в процессе уменьшения создает огромную ЭДС самоиндукции. Это часто приводит к образованию вольтовой дуги между контактами выключателя и является весьма опасным, причем не только для обмотки электромагнита, но и для человека, размыкающего цепь. По этим причинам параллельно обмотке электромагнита обычно включают лампочку с сопротивлением того же порядка, что и сопротивление обмотки. В этом случае ток в обмотке спадает медленно и опасности не представляет.

18.6. Энергия магнитного поля

Магнитная энергия тока. Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность L и сопротивление R, на источник тока с ЭДС ε0 . В контуре, как мы уже знаем, начнет возрастать

ток. Это приводит к появлению ЭДС самоиндукции εS . Согласно закону Ома RI = ε0 + εS , откуда

ε0 = RI − εS .

54

Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы (т.е. источник ε0 ) за время dt. Для этого умножим

предыдущее равенство на Idt:

ε0 Idt = R I 2dt – εS Idt.

Учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение

εS = − ddtФ, запишем

δАстор =δQ +IdФ.

Мы видим, что в процессе установления тока, когда поток Ф меняется и dФ > 0 (если I > 0), работа, которую совершает источник ε0 , оказывается больше выделяемой в цепи джоуле-

вой теплоты. Часть этой работы (дополнительная работа) совершается против ЭДС самоиндукции. Заметим, что после того, как ток установится, dФ = 0 и вся работа источника ε0 будет

идти только на выделение джоулевой теплоты.

Итак, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против ЭДС самоиндукции в процессе установления тока:

Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его выводе не вводилось никаких предположений относительно магнитных свойств окружающей среды.

Теперь (и далее) будем считать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда

dФ = LdI,

δАдоп = LIdI.

Проинтегрировав это уравнение, получим

Aдоп = LI22 .

55

По закону сохранения энергии любая работа идет на приращение какого-то вида энергии. Мы видим, что часть работы сторонних сил ( ε0 ) идет на увеличение внутренней энергии

проводников (с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть – в процессе установления тока – магнитного поля, именно его появление и связано с появлением тока.

Таким образом, мы приходим к выводу, что при отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью L, по которому те-

Эту энергию называют магнитной энергией тока или соб-

ственной энергией тока. Если отключить источник ε0 , она мо-

жет быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников.

Энергия магнитного поля. Формула (18.14) выражает маг-

нитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Однако и здесь, как и в случае электрической энергии заряженных тел, энергию можно выразить непо-

средственно через магнитную индукцию В. Убедимся, что это так сначала на простейшем примере длинного соленоида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффектами). Подставив в формулу (18.14) выражение

Эта формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V (как в нашем случае с соленоидом).

56

В общей теории показывается, что энергию W можно выра-

зить через векторы В и Н в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом dV.

Отсюда, как и в случае электрического поля, мы приходим к выводу, что магнитная энергия также локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем.

Из формул (18.15) и (18.16) следует, что магнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью

ω = BH = B2 . (18.17) 2 2μμ0

Отметим, что полученное выражение относится лишь к тем средам, для которых зависимость В от Н линейная, т.е.

μ в соотношении В = μμ0 Н не зависит от Н . Другими словами, выражения (18.16) и (18.17) относятся только к пара- и диамагнетикам. Кферромагнетикамони неприменимы.

Отметим также, что магнитная энергия – величина существенно положительная. Это легко усмотреть из последних двух формул.

В табл. 18.1 приведены основные формулы электромагнитной индукции и энергии магнитного поля.

57

Таблица 1 8 . 1

Основные законы и соотношения величин электромагнитной индукции и энергии магнитного поля

Вопросы для самоконтроля

1.Дайте определение магнитного потока.

2.Запишите математическое выражение магнитного пото-

ка, проходящего: а) через бесконечно малую площадку dS; б) произвольную поверхность S; в) плоскую поверхность в однородном магнитном поле.

3.В каких единицах измеряется магнитный поток в СИ? Сформулируйте закон полного тока для магнитного поля. Поясните результат.

4.Выведите выражение для определения работы по перемещению: а) прямолинейного проводника с током; б) контура

стоком в магнитном поле. Перечислите все случаи, в которых совершается положительная работа при перемещении контура

стоком в магнитном поле.

59

5.В чем состоит явление электромагнитной индукции?

6.Изменение каких величин приводит к возникновению индукционного тока в замкнутом проводящем контуре? Сформулируйте закон Фарадея для электромагнитной индукции.

7.Сформулируйте правило Ленца для электромагнитной индукции.

8.Запишите математическое выражение закона для ЭДС электромагнитной индукции.

9.Выведите закон для ЭДС электромагнитной индукции из закона сохранения энергии.

10.Какова природа возникновения ЭДС индукции: а) в отрезке проводника; б) в замкнутом контуре?

11.Какая величина называется потокосцеплением?

12.Запишите закон Фарадея–Ленца: а) для одного витка; б) для нескольких витков; в) для соленоида?

13.В чем состоит явление самоиндукции? Что характеризует и от каких параметров зависит индуктивность проводника?

Вкаких единицах она измеряется в СИ?

14.Выведите формулу индуктивности соленоида.

15.Запишите выражение для ЭДС самоиндукции.

16.В чем состоит явление взаимной индукции? Напишите математическое выражение ЭДС взаимоиндукции.

17.Что характеризует и от каких параметров зависит коэффициент взаимоиндукции?

18.Напишите выражение для энергии магнитного поля через характеристики: а) тока; б) магнитного поля.

19.Что такое объемная плотность энергии магнитного поля? Напишите ее выражение через характеристики магнитного поля.

20.Напишите выражение энергии для электромагнитного

поля.

60