Физика для бакалавра Часть 2

22. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Рассматриваемые вопросы. Волновое уравнение. Плоские

исферические электромагнитные волны. Правая тройка векторов Е, В, v. Поляризация волн.

Электромагнитными волнами называется процесс распространения колебаний векторов напряженностей электрического

имагнитного полей в пространстве.

Существование электромагнитных волн было предсказано теоретически Максвеллом как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине 1ε0μ0. Ее числовое значе-

ние почти совпало со скоростью света в вакууме, равной 3,15·108 м/с (А. Физо, 1849). Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн. Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн – из экспериментов по поляризации света (Т. Юнг, 1817). Эти два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.

22.1. Волновое уравнение

Уравнения Максвелла [(21.9), (21.10) и (21.12)] для вакуума при отсутствии токов (j = 0) и зарядов (ρ = 0) имеют следующий

где ε0 и μ0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные.

Уравнение (22.1) показывает, что магнитное поле порождается переменным электрическим полем. Уравнение (22.2) представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции. Следующее уравнение (22.3) выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме. Уравнение (22.4) постулирует отсутствие магнитных зарядов. После некоторых преобразований уравнений (22.1)–(22.5) получим уравнение

B − 1 ∂2 B = 0, (22.6) c2 ∂t2

здесь – оператор Лапласа, в декартовых координатах

E − 1 ∂2 E = 0. (22.8) c2 ∂t2

Уравнения (22.6) и (22.8) называются волновыми уравнениями. Их решения имеют характер распространяющихся волн.

112

22.2. Плоские электромагнитные волны

Предположим, что произвольная компонента поля Ф (например, Еα или Вα) зависит лишь от одной пространственной координаты, например z, и времени, т.е. Ф = Ф(z, t). Тогда уравнение (22.8) упростится и примет вид

где Ф1 и Ф2 – произвольные (дифференцируемые) функции своих аргументов.

Формула (22.10) выражает общее решение уравнения (22.9). Она описывает суперпозицию двух волн. Первая из них распространяется вдоль, а вторая – против оси z. Скорости обеих волн одинаковы и равны с. Действительно, возмущение Ф1, находившееся в момент времени t1 в точке z1, в момент t2 приходит в точку z2, определяемую соотношением t1 – z1/c = t2 – z2/c. Отсюда при t2 > t1 имеем z2 > z1, и скорость распространения волнового возмущения

Функции Ф1 = Ф1(z, t) и Ф2 = Ф2(z, t) описывают плоские волны, так как волновое возмущение имеет одно и то же значение во всех точках бесконечной плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Конкретный вид функций Ф1 и Ф2 определяется начальными и граничными условиями задачи.

На рис. 22.1 приведена «моментальная фотография» плоской электромагнитной волны.

113

тромагнитной волны в пространстве образуют правовинтовую систему.

22.3. Сферические электромагнитные волны

Нетрудно убедиться, что уравнениям (22.6) и (22.8) удовлетворяют и волны вида Eα = Eα (t,r ), Hα = Hα (t,r ), в которых напряженности полей зависят только от одной пространствен-

ной переменной – модуля радиус-вектора r = x2 + y2 + z2 . Та-

киеволныназываютсферическимиэлектромагнитнымиволнами. Рассмотрим скалярное волновое уравнение

ΔΦ − 1 ∂2Φ = 0 c ∂t2

и будем искать его решение вида Ф = Ф(t, r). Для сферически симметричной функции Ф оператор Лапласа имеет вид

ΔΦ − 1r ∂∂r22 (rΦ ).

114

Поэтому волновое уравнение перепишется следующим образом:

Введем вспомогательную функцию F = rФ. Тогда последнее уравнение преобразуется к виду

∂2 F = 1 ∂2 F ,

∂r2 c ∂t2

следовательно, его общее решение представится в виде суперпозиции двух волн, бегущих во взаимно противоположных направлениях:

F(r, t) = F1(t – r/c) + F2(t + r/c).

Возвращаясь к искомой функции Ф, получим

Выражение (22.12) описывает две сферические волны. Первое слагаемое представляет собой волну, движущуюся в направлении увеличения значений r, т.е. от центра, где расположен точечный источник. Такая волна называется расходящейся. Второе слагаемое описывает волну, движущуюся в направлении уменьшения значения r, т.е. к центру. Такая волна называется сходящейся. Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является постоянным.

22.4. Поляризация электромагнитных волн

Волны, у которых направления электрического (E ) и маг-

нитного (H ) полей сохраняются неизменными в пространстве

или изменяются по определенному закону, называются поляризованными. За направление поляризации принято считать на-

правление электрического поля E волны. Строго монохромати-

115

ческое излучение всегда поляризовано. У излучения, состоящего

из волн различной длины, направление колебаний вектора E результирующей волны может изменяться либо упорядоченно,

либо хаотически. Излучение, у которого направление вектора E изменяется хаотически, называется неполяризованным (примером может служить естественный свет). Часто используют понятие плоскости поляризации, т.е. плоскости, перпендикулярной

направлению колебаний вектора E.

Для поляризованного излучения различают: линейную по-

ляризацию, при которой вектор электрического поля E сохра-

няет свое направление в пространстве; круговую, когда вектор E вращается вокруг направления распространения волны с угловой скоростью, равной угловой частоте волны, и сохраняет при этом свою абсолютную величину; эллиптическую, если вращение вектора электрического поля подобно вращению при круговой поляризации, но величина вектора меняется так, что его конец описывает эллипс. Эллиптическая и круговая поляризация

может быть правой (вектор E вращается по часовой стрелке, если смотреть навстречу распространяющейся волне) и левой (при вращении в противоположную сторону).

Электромагнитная волна может быть также частично поляризованной. Частичная поляризация количественно характеризуется степенью поляризации, которая для волн с частичной линейной поляризацией. определяется как

Р = (Iмакс – Iмин)/(Iмакс + Iмин),

где Iмакс и Iмин – наибольшая и наименьшая плотности потока электромагнитной энергии через анализатор (поляроид, призму Николя и т.п.).

Выше на основе уравнений Максвелла было показано, что

в бегущей плоской электромагнитной волне векторы E и H в каждой точке, и в каждый момент времени образуют c вектором скорости v правую тройку векторов. В этом заключается свойство поперечности электромагнитных волн. Выберем ось Oz

116

системы координат вдоль вектором скорости v. Тогда у векторов

E и H могут быть отличны от нуля только проекции на оси Ox и Oy. Уравнения Максвелла допускают, в частности, такое решение,

когда у вектора E во всех точках и во все моменты времени отлична от нуля только одна проекция, например Ex(z, t). Вследствие

упомянутого выше свойства поперечности, у вектора H будет отлична от нуля только проекция на ось Оy, т.е. Нy(z, t). Мгновенный

«снимок» такой волны, показывающий векторы E и H в разных точкахосиОz водинмоментвремениприведеннарис. 22.1.

В таком случае говорят, что волна имеет линейную, или плоскую, поляризацию. В плоскости, перпендикулярной направ-

лению распространения, концы векторов E и H за период описывают две взаимно перпендикулярные линии, длина которых определяется удвоенной амплитудой соответственно электрической и магнитной составляющих поля. Плоскость, в которой лежит вектор напряженности электрического поля волны и вектор скорости v, называют плоскостью поляризации или плоско-

стью колебаний. Чтобы представить себе изменения электрического и магнитного полей с течением времени, можно считать, что вся система векторов на рис. 22.1 движется как целое вдоль оси Оz со скоростью c.

Вопросы для самоконтроля

1.Что называется электромагнитными волнами?

2.Из каких соображений и экспериментов следует поперечность электромагнитных волн и световых волн?

3.Напишите волновое уравнение.

4.Какие электромагнитные волны называются плоскими ?

5.Приведите «моментальную фотографию» плоской электромагнитной волны

6.Какие волны называются сферическими электромагнитными волнами?

7.Какие волны называются поляризованными?

117

волновой природой. В одних случаях свет представляет собой частицу (корпускулу), в других – волну. В данном разделе рассмотрены явления, в основе которых лежит волновая природа света (интерференция, дифракция, поляризация и поглощение).

Согласно теории Максвелла, свет – это электромагнитная волна, представляющая собой распространение в пространстве

плоскостях.

2.Векторы E и H перпендикулярны направлению распространения электромагнитной волны. Значит, электромагнитная волна поперечная.

3.Установлено, что электромагнитная волна распространяется в любой среде с очень большой скоростью, а в вакууме

спредельной скоростью, равной 3 108 м/с, т.е. фаза электро-

магнитной волны изменяется со скоростью 3 108 м/с.

Таким образом, с точки зрения волновой теории свет представляет собой быстропеременную поперечную электромагнитную волну.

Основные законы оптики известны с древних веков. К ним относятся:

1.Закон прямолинейного распространения света.

2.Законы отражения и преломления света.

3.Интерференция и дифракция света.

4.Поглощение и отражение света.

5.Излучение света.

119

23.2.Принцип Гюйгенса. Законы отражения

ипреломления света с точки зрения волновой теории

Волновая теория основывается на принципе Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + t по известному положению фронта в момент вре-

в верхней). Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t.

Принцип Гюйгенса позволяет анализировать распространение света и вывести законы отражения и преломления.

Закон отражения света. Выведем закон отражения света, исходя из принципа Гюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред падает плоская волна (фронт волны – плоскость АВ), распространяющаяся вдоль направления I (рис. 23.2). Когда фронт волны достигнет отражающей поверхности в точке А, эта точка начнет излучать вторичную волну. Для прохождения волной расстояния ВС требуется время t = ВС/v. За это же время фронт вторичной волны достигает точек полусферы, радиус AD которой равен v t = BC. Положение фронта отраженной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление распространения этой волны – лучом II. Из равенства треугольников ABC и ADC выте-