Физика для бакалавра Часть 2

Закон преломления. Для вывода закона преломления предположим, что плоская волна (фронт волны плоскость АВ), распространяющаяся в вакууме вдоль направления 1 со скоростью света с, падает на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна v (рис. 23.3). Пусть время, затрачиваемое волной для прохождения пути ВС, равно t.

Рис. 23.3

121

Тогда BC = c t. За это же время фронт волны, возбуждаемый точкой А в среде со скоростью v, достигнет точек полусферы, радиус которой AD = v t. Положение фронта преломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление ее распространения – лучом 3. Из рис. 23.3 следует, что

AC = BC/ sin i1 = AD/ sin r,

т.е.

Формула (23.2) является математическим выражением закона преломления света: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная.

Отношение скорости световой волны в вакууме к фазовой скорости v в некоторой среде называется абсолютным показателем преломления этой среды и обозначается буквой п.

Физический смысл абсолютного показателя преломления среды.

1.Он показывает, во сколько раз скорость распространения света в вакууме больше, чем скорость распространения света

вкакой-либо среде.

2.Он характеризует оптическую плотность среды. Среда

сбольшим n называется более оптически плотной, чем среда

сменьшим n.

3.Из теории электромагнитной волны следует:

v= сεμ , cv = εμ , n = εμ.

Для подавляющего большинства прозрачных веществ μ практически не отличается от единицы. Поэтому можно считать, что

122

Формула (23.3) связывает оптические свойства вещества с его электрическими свойствами. На первый взгляд может показаться, что эта формула неверна. Например, для воды ε = 81, а n = 1,33. Однако надо иметь в виду, что значение ε = 81 получено из электростатических измерений. В быстропеременных электромагнитных полях (свет является быстропеременной электромагнитной волной) значение ε зависит от частоты колебаний поля, если измерить диэлектрическую проницаемость в быстропеременных электромагнитных полях, то получается иное значение.

Абсолютный показатель преломления среды зависит от частоты (длины волны) падающей на вещество световой волны. Этим объясняется дисперсия света. Подстановка в формулу (23.3) значения ε, полученного для соответствующей частоты, приводит к правильному значению n.

Если преломление света происходить на границе раздела двух сред, с показателями преломления n1 и n2, то закон преломления будет иметь вид

где n12 – относительный показатель преломления сред.

Длинаволнвидимогосвета λ0 = 0,40–0,76 мкм(4000–7600 Å).

Эти значения относятся к световым волнам в вакууме. В веществе длины световых волн будут иными. В случае колебаний частоты ν длина волны в вакууме λ0 = c/v. В среде, в которой фазовая скорость световой волны v = cn, длина волны

имеет значение λ0 = v/ν = с/ν n = λ0 /n. Таким образом, длина

световой волны в среде с показателем преломления п связана с длиной волны в вакууме соотношением

123

Частота видимых световых волн ν = (0,39–0,75)·1015 Гц. Частота изменений вектора плотности потока энергии, пе-

реносимой волной, будет еще больше (она равна 2ν). Ни глаз, ни какой-либо иной приемник световой энергии не может уследить за столь частыми изменениями потока энергии, вследствие чего они регистрируют усредненный по времени поток. Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, пере-

При рассмотрении распространения света в однородной среде можно считать, что интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световой волны:

23.3. Интерференционное поле от двух точечных источников

Пусть две волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления:

A1 cos(ωt + α1 ), A2 cos(ωt + α2 ).

Амплитуда результирующего колебания в данной точке определяется выражением

где δ – разность фаз, δ = α2 − α1 .

124

Если разность фаз δ возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени, то волны называются когерент-

ными.

В случае некогерентных волн δ непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение cos δ равно нулю. Поэтому

< A2 > = < A12 > + < A22 > .

Отсюда, приняв во внимание соотношение (23.7), заключаем, что интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:

В случае когерентных волн cos δ имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение, так что

В тех точках пространства, для которых cos δ > 0, I будет превышать I1 + I2; в точках, для которых cos δ < 0, I будет мень-

ше I1 + I2.

Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности.

Явление, перераспределения интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников света, называется ин-

терференцией.

Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда интенсивность обеих интерферирующих волн одинакова: I1 = I2. Тогда согласно (23.10) в максимумах I = 4I1 в минимумах же I = 0. Для некогерентных волн при тех же условиях получается всюду одинаковая интенсивность I = 2I1 (см. (23.9)).

125

Из сказанного следует, что при освещении какой-либо поверхности несколькими источниками света (например, двумя лампочками) должна, казалось бы, наблюдаться интерференционная картина с характерным для нее чередованием максимумов и минимумов интенсивности. Однако из повседневного опыта известно, что в указанном случае освещенность поверхности монотонно убывает по мере удаления от источников света и никакой интерференционной картины не наблюдается. Это объясняется тем, что естественные источники света не когерентны.

Некогерентность естественных источников света обу-

словлена тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги волн длительностью порядка 10–8 с и протяженностью около 3 м (процесс излучения отдельного атома продолжается порядка 10–8 с; за это время успевает образовываться последовательность горбов и впадин, которые называются волновым цугом). Фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через время порядка 10–8 с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения. В результате разность фаз интерферирующих волн не будет постоянной, т.е. явления интерференции от естественных источников не наблюдается.

Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником, на две части. Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их друг на друга, наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн. Если эта разность около 1 м, будут накладываться колебания, соответствующие разным цугам, и разность фаз между ними будет непрерывно меняться хаотическим образом.

126

Рис. 23.4

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис. 23.4). До точки Р первая волна проходит в среде с показателем преломления п1 путь s1, вторая волна проходит в среде с показателем преломления п2 путь s2. Если в точке О фаза колебания равна ωt, то первая волна возбудит в точке Р

Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р,

где – оптическая разность хода, равная разности оптических длин проходимых волнами путей,

Оптическим путем называется физическая величина, определяемая произведением геометрического пути s на показатель преломлениясредыn, вкоторойраспространяетсясветоваяволна:

то разность фаз δ оказывается кратной 2π и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Таким образом, (23.14) есть условие интерференционного максимума.

Если равна полуцелому числу длин волн в вакууме:

то δ = ±(2m + 1)π, так что колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (23.15) есть условие интерференционного минимума, где m – порядок интерференции.

23.4. Опыт Юнга

Как было уже показано, для наблюдения интерференции света необходимо иметь когерентные световые пучки, для чего применяются различные приемы. В опыте Юнга когерентные пучки получали разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника (метод деления волнового фронта). Рассмотрим интерференционную картину, полученную методом Юнга. Две цилиндрические коге-

128

рентные световые волны исходят из источников S1 и S2, имеющих вид параллельных тонких светящихся нитей либо узких щелей (рис. 23.5). Область, в которой эти волны перекрываются, называется полем интерференции. Во всей этой области наблюдается чередование мест с максимальной и минимальной интенсивностью света. Если в поле интерференции внести экран, то на нем будет видна интерференционная картина, которая имеет вид чередующихся светлых и темных полос. Вычислим ширину этих полос в предположении, что экран параллелен плоскости, проходящей через источники S1 и S2. Положение точки на экране будем характеризовать координатой х, отсчитываемой в направлении, перпендикулярном к линиям S1 и S2. Начало отсчета выберем в точке О, относительно которой S1 и S2 расположены симметрично. Источники будем считать колеблющимися в одинаковой фазе.

На рис. 23.5 видно, что

S2 l

Рис. 23.5

129

Следовательно,

s22 − s12 = (s2 + s1 )(s2 − s1 ) = 2xd.

Далее будет выяснено, что для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками d должно быть значительно меньше расстояния до экрана l. Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, также бывает значительно меньше l. При этих условиях

можно положить: s2 + s1 ≈ 2l. Тогда s2 − s1 = xld . Умножив s2–s1

на показатель преломления среды п, получим оптическую разность хода

Подстановка этого значения в условие (23.14) дает, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных

max d

Здесь λ – длина волны в среде, заполняющей пространство ме-

жду источниками и экраном, λ = λn0 .

Подставив значение (23.16) в условие (23.15), получим координаты минимумов интенсивности:

Назовем расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности расстоянием между интерференционными по-

лосами, а расстояние между соседними минимумами интенсив-

ности – шириной интерференционной полосы. Из формул (23.17)

130