Физика для бакалавра Часть 2

24. ДИФРАКЦИЯ

Рассматриваемые вопросы. Принцип Гюйгенса–Френеля.

Метод зон Френеля. Дифракция Френеля на простейших преградах. Дифракция Фраунгофера. Дифракционная решетка как спектральный прибор. Понятие о голографическом методе получения и восстановления изображений.

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями (например, вблизи границ непрозрачных или прозрачных тел, сквозь малые отверстия и т.п.) и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Огибание препятствий звуковыми волнами (т.е. дифракция звуковых волн) наблюдается постоянно в обыденной жизни. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий. Это обусловлено малостью длин световых волн. Мы знаем, что в пределе при λ → 0 законы волновой оптики переходят в законы геометрической оптики. Следовательно, отклонения от законов геометрической оптики при прочих равных условиях оказываются тем меньше, чем меньше длина волны.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. По историческим причинам перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией волн. Перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непре-

151

рывно, принято называть дифракцией волн. Поэтому говорят, например, об интерференционной картине от двух узких щелей и о дифракционной картине от одной щели.

Наблюдение дифракции осуществляется обычно по следующей схеме. На пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности световой волны. За преградой располагается экран, на котором возникает дифракционная картина.

Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения Р расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, поместив за источником света S и перед точкой наблюдения Р по линзе так, чтобы точки S и Р оказались в фокальной плоскости соответствующей линзы.

24.1. Принцип Гюйгенса–Френеля

Проникновение световых волн в область геометрической тени может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса. Однако этот принцип не дает сведений об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства. Развитый таким способом принцип Гюйгенса получил назва-

ние принципа Гюйгенса–Френеля.

Сущность принципа Гюйгенса–Френеля можно представить в виде нескольких положений (рис. 24.1):

152

2.Вторичные источники, эквивалентные одному и тому же

источнику S0 и принадлежащие одной волновой поверхности (φ = соnst), когерентны между собой. Поэтому волны, наблюдаемые в любой точке пространства, являются результатом интерференции всех вторичных волн.

3.Мощности излучения всех вторичных источников – участков волновой поверхности с одинаковыми площадями – одинаковы.

4.Каждый вторичный источник (с площадью dS) излучает преимущественно в направлении внешней нормали n к волновой поверхности в этой точке; амплитуда вторичных волн в направлении, составляющем с n угол α, тем меньше, чем больше угол α,

иравна нулю при α = π/2.

5.Амплитуда вторичных волн, дошедших до данной точки пространства, зависит от расстояния вторичного источника до этой точки: чем больше расстояние, тем меньше амплитуда.

6.Когда часть волновой поверхности S прикрыта непрозрачным экраном, вторичные волны излучаются только открытыми участками этой поверхности. При этом часть световой волны, закрытая непрозрачным экраном, не действует совсем, а открытые области волны действуют так, как если бы экрана совсем не было.

153

Учет амплитуд и фаз вторичных волн согласно принципу Гюйгенса–Френеля позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства.

24.2. Метод зон Френеля

Основной задачей принципа Гюйгенса–Френеля, на котором основывается волновая теория света, является доказательство прямолинейного распространения света в свободной от препятствий однородной среде. Френель решил эту задачу, рассмотрев взаимную интерференцию вторичных волн и применив прием названный методом зон Френеля.

Рис. 24.2

Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 24.2). Согласно принципу Гюйгенса–Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S). Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от

краев зоны до М отличались на λ2 , т.е.

154

P1M − P0M = P2M − P1M = P3M − P2M = = λ2 .

Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами

b + λ2 , b + 2 λ2 , b + 3 λ2 , ..., b + m λ2 ,

Поскольку колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на λ2 , то в точку М они приходят

в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

где A1, A2, A3, …, Am – амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, ..., m-й зонами. Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля.

Внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты hm (рис. 24.3). Обозначив площадь этого сегмента через σm , най-

дем, что площадь m-й зоны Фре-

где σm−1 – площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей (m–1)-й зоны. Из рис. 24.3 следует, что

После элементарных преобразований, учитывая, что λ << a и λ << b, получим

Площадь сферического сегмента

σm = 2πahm = πaab+ bλ m,

Выражение (24.4) не зависит от m, следовательно, при не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы. Таким образом, построение зон Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на равные зоны.

Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол α (см. рис. 24.3) между нормалью n к поверхности зоны и направлением на М, т.е. действие зон постепенно убывает от центральной (около Р0) к периферическим (до нуля). Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фактора, можем записать

A1 > A2 > A3 > A4 > ...

Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико. Например, при a = b = 10 см и λ = 0,5 мкм

N= 2πa2 (a + b) = 8 105. Поэтому в качестве допустимого при-

πabλ

ближения можно считать, что амплитуда колебания Аm от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.

156

расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии.

Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. выражения (24.5) и (24.6)),

A = A21 ± A2m ,

где знак плюс соответствует нечетным т, а минус – четным т. Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны, если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если в отверстие укладывается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда А = А1, т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием. Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если в отверстии укладываются две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если т четное, то в центре будет темное кольцо, если т нечетное, то – светлое), причем интенсивность максимумов убывает с расстоянием от

центра картины.

Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от его диаметра. Если он большой, то Аm<<A1, и результирую-

щая амплитуда A = A21 , т.е. такая же, как и при полностью от-

крытом волновом фронте. Никакой дифракционной картины не

158

наблюдается, свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.

Дифракция на непрозрачном диске. Сферическая волна,

распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути непрозрачный диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска (рис. 24.5). В данном случае закрытый диском участок фронта волны надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить, начиная с краев диска. Пусть диск закрывает т первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В

срасстоянием от центра картины.

Сувеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и увеличивается угол α (см. рис. 24.5) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших разме-

159

рах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.

Отметим, что дифракция на круглом отверстии и дифракция на диске впервые рассмотрены Френелем.

24.4. Дифракция Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах)

Немецкий физик И. Фраунгофер (1787–1826) рассмотрел дифракцию плоских световых волн, или дифракцию в параллельных лучах. Дифракция Фраунгофера, имеющая большое практическое значение, наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели (для этого практически достаточно, чтобы длина щели была значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной MN = а (рис. 24.6, а). Оптическая разность хода между крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направление φ,

где F – основание перпендикуляра, oпущенного из точки М на луч ND.

Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели. Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы

160