Физика для бакалавра Часть 2

rωdω = rλ dλ.

Замениввпоследнемравенствеdλсогласно(27.4), получим

и наоборот.

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии, dФω обусловленный электромагнит-

ными волнами, частота которых заключена в интервале dω.

называется поглощательной способностью тела, которая явля-

ется функцией частоты и температуры.

По определению aωT не может быть больше единицы. Для

тела, полностью поглощающего упавшее на него излучение всех частот, aωT ≡ 1. Такое тело называется абсолютно черным. Тело,

для которого aωT ≡ aT = const < 1, называется серым.

27.3. Закон Кирхгофа

Между испускательной и поглощательной способностями любого тела имеется связь. В этом можно убедиться, рассмотрев следующий эксперимент. Пусть внутри замкнутой оболочки, поддерживаемой при постоянной температуре Т, помещены несколько тел (рис. 27.2). Полость внутри оболочки эвакуирована, поэтому тела могут обмениваться энергией между собой исоболочкой лишь путем испускания и поглощения электромагнитных волн. Опыт показывает, что такая система через некоторое

221

время придет в состояние теплового равновесия – все тела примут одну и ту же температуру, равную температуре оболочки Т. В таком состоянии тело, обладающее большей испускательной способностью rωT , теряет в единицу

времени с единицы поверхности больше энергии, чем тело, обладающее меньшей rωT . Поскольку температура

(а следовательно, и энергия) тел не меняется, то тело, испускающее больше Рис. 27.2 энергии, должно и больше поглощать, т.е. обладать большей aωT . Таким об-

разом, чем больше испускательная способность тела rωT , тем больше и его поглощательная способность aωT . Отсюда вытекает соотношение

где индексы 1, 2, 3 и т.д. относятся к разным телам. Соотношение (27.8) выражает установленный Кирхгофом

закон, который формулируется следующим образом: отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:

где fωT называется универсальной функцией Кирхгофа.

Сами величины rωT и aωT могут меняться чрезвычайно

сильно при переходе, от одного тела к другому. Отношение же их оказывается одинаковым для всех тел. Это означает, что тело, сильнее поглощающее какие-либо лучи, будет эти лучи

222

сильнее и испускать (не следует смешивать испускание лучей с их отражением).

Для абсолютно черного тела по определению aωT ≡ 1. Следовательно, из формулы (27.9) вытекает, что rωT для такого тела равна fωT . Таким образом, универсальная функция Кирхгофа fωT есть не что иное, как испускательная способность абсо-

лютно черного тела: rω*,T = f (ω,T ).

Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа или платиновая чернь имеют поглощательную способность aωT ,

близкую к единице, лишь в ограниченном интервале частот;

вдалекой инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу. Такое устройство представляет собой почти замкнутую полость, снабженную малым отверстием (рис. 27.3). Излучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем выйти обратно из отверстия, претерпевает многократные отражения. При каждом отражении часть энергии поглощается,

врезультате чего практически все

излучение любой частоты поглощается такой полостью. Согласно закону

Кирхгофа испускательная способ- Рис. 27.3 ность такого устройства очень близка

к f (ω,T ), причем Т означает температуру стенок полости. Та-

ким образом, если стенки полости поддерживать при некоторой температуре Т, то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр, с помощью дифракционной решетки и измеряя интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментально

223

вид функции f (ω,T ). Результаты таких опытов приведены на

рис. 27.4. Разные кривые относятся к различным значениям температуры Т абсолютно черного тела. Площадь, охватываемая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре.

Рис. 27.4

На рис. 27.4 видно, что энергетическая светимость абсолютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличением температуры сдвигается в сторону более коротких волн.

27.4. Закон Стефана–Больцмана и закон смещения Вина

Теоретическое объяснение законов излучения абсолютно черного тела имело огромное значение в истории физики – оно привело к понятию квантов энергии. Долгое время попытки по-

лучить теоретически вид функции f (ω,T ) не давали общего

решения задачи. Й. Стефан (1879), анализируя экспериментальные данные, пришел к выводу, что энергетическая светимость R любого тела пропорциональна четвертой степени абсо-

224

лютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов. Л. Больцман (1884), исходя из термодинамических соображений, получил теоретически для энергетической светимости абсолютно черного тела следующее значение:

где σ – постоянная величина; Т – абсолютная температура. Таким образом, заключение, к которому Стефан пришел для нечерных тел (с абсолютно черными телами он не экспериментировал), оказалосьсправедливымлишьдляабсолютночерныхтел.

Соотношение (27.10) между энергетической светимостью абсолютно черного тела и его абсолютной температурой получило название закона Стефана–Больцмана. Константу σ назы-

вают постоянной Стефана–Больцмана. Экспериментальное значение

Закон Стефана–Больцмана, определяя зависимость R* от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела.

В. Вин (1893), воспользовавшись, кроме термодинамики, электромагнитной теорией, установил зависимость длины вол-

где λmax – длина волны, на которую приходится максимальное значение энергетической светимости абсолютно черного тела; b – постоянная Вина, b = 2,90 10−3 м К = 2,90 107 Å К.

225

27.5.Формула Рэлея–Джинса

и«ультрафиолетовая катастрофа»

Дж.У. Рэлей и Дж. Джинс сделали попытку определить вид универсальной функции Кирхгофа (излучательной способности абсолютно черного тела), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT: одна половинка – на электрическую, вторая – на магнитную энергию волны (напомним, что по классическим представлениям на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT).

< ε >= kT.

Исходя из этих предположений они получили выражение для испускательной способности абсолютно черного тела:

где rω*,T – испускательная способность абсолютно черного тела.

Выражение (27.13) называется формулой Рэлея–Джинса. Эта формула удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн и резко расходится с опытом для малых длин волн (рис. 27.5).

Рис. 27.5

226

Интегрирование выражения (27.13) по ω в пределах от 0 до ∞ дает для универсальной функции Кирхгофа бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавли-

вается при конечных значениях f (ω,T ).

27.6. Гипотеза Планка. Квантовое объяснение законов теплового излучения

С классической точки зрения вывод формулы Рэлея–Джинса является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической физики.

В 1900 году М. Планку удалось найти вид функции f (ω,T ), в точности соответствующий опытным данным. Для

этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

Коэффициент пропорциональности получил впоследствии название постоянной Планка. Собственно говоря, постоянной Планка h называют коэффициент пропорциональности между ε и частотой: ε = hν. Постоянная (h перечеркнутое) есть постоянная Планка h, деленная на 2π. Числовое значение постоянной Планка

h = 6,62 10−34 Дж с= 6,62 10−27эрг с.

В механике есть величина, называемая действием, имеющая размерность «энергия, умноженная на время». Поэтому постоянную Планка называют квантом действия. Заметим, что размерность совпадает с размерностью момента импульса.

Если излучение испускается порциями ω, то его энергия εn должна быть кратной этой величине:

Планк, применив классическую теорию о равнораспределении энергии по степеням свободы и предположение о том, что электромагнитноеизлучениеиспускаетсяввидеотдельных порций

энергии(квантов), вывелформулу дляфункции f (ω,T ):

Выражение (27.17) носит название формулы Планка. Эта формула точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до ∞ и является обобщенной формулой теплового излучения. Выведем из формулы Планка законы Стефана–Больцмана, Рэлея–Джинса и закон смещения Вина.

1. Для энергетической светимости абсолютно черного тела получим выражение

Подстановка в эту формулу числовых значений k, c, дает для постоянной Стефана–Больцмана величину

ментальным значением (27.11).

2. При условии, что kTω << 1 (малые частоты или большие

длины волн), экспоненту приблизительно можно приравнять таким образом:

e ω = 1+ ω ,

kT

kT

в результате чего формула Планка переходит в формулу Рэлея– Джинса, так как при указанном условии < ε >= kT.

Найдем значение постоянной Вина в законе смещения Вина. Для этого продифференцируем функцию (27.17) по ω и приравняем получившееся выражение нулю. Пропустив промежуточные действия, в итоге получим

ну, совпадающую с экспериментальным значением постоянной Вина.

Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.

27.7. Явление фотоэффекта. Законы внешнего фотоэффекта

Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу излучения абсолютно черного тела, получила дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта – явления, открытие и исследование которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Это

229

явление было открыто Г. Герцем в 1887 году, который наблюдал ускорение процесса разряда при ультрафиолетовом облучении находящихся под напряжением электродов. Позднее было установлено, что причиной данного явления служит появление при облучении свободных электронов.

Явление испускания электронов веществом под действием света было названо фотоэффектом.

В 1888–1890 годы А.Г. Столетов провел систематическое исследование фотоэффекта.

Принципиальная схема для исследования фотоэффекта приведена на рис. 27.6. Два электрода в вакуумной трубке подключены к батарее Б так, что с помощью потенциометра R можно изменять не только значение, но и знак подаваемого на электроды напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим светом (через кварцевое окошечко), измеряется включенным в цепь гальванометром G.

Рис. 27.6

Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил следующие свойства фотоэффекта:

1)под действием света вещество теряет только отрицательные заряды;

2)наиболее эффективное действие оказывают ультрафиолетовые лучи;

230