Физика для бакалавра Часть 2

где qm – амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора; ω0 – собственная частота контура; α – начальная фаза. Зна-

чение ω0 определяется только свойствами самого контура, зна-

чения же qm и α – начальными условиями. В качестве таковых можно взять, например, значения заряда q и тока I = q в момент

t = 0.

Согласно (20.11) ω0 = LC1 , поэтому период свободных незатухающих колебаний

(формула Томсона).

Найдя ток I (дифференцированием (20.8) по времени) и имея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом q, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток I опережает по фазе напряжение на

конденсаторе на π2 .

Из сопоставления амплитуд силы тока и разности потенциалов получается

где величина LC называется волновым сопротивлением колебательного контура.

20.3. Затухающие колебания в контуре

Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут затухающими.

Уравнение данного колебательного контура мы получим, положив в (20.9) ε = 0, тогда

91

Можно показать (но мы не будем этого делать, поскольку нас интересует другая сторона вопроса), что при β2 <ω02 решение этогооднородного дифференциальногоуравненияимеетвид

а qm и α – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. График функции (20.20) показан на рис. 20.2. Видно, что эта функция не периодическая, она определяет затухающие колебания.

Величину Т = 2π/ω называют, тем не менее, периодом затухающих колебаний:

хающих колебаний. Зависимость ее от времени показана пунктиром на рис. 20.2.

Рис. 20.2

92

Зная q(t), можно найти напряжение и ток в конденсаторе. Напряжение на конденсаторе

тивления R ток в контуре опережает по фазе напряжение (20.23) на конденсаторе более чем на π2 . Заметим, что при R = 0 опере-

жение δ = π/2.

Зависимости UC(t) и I(t) имеют вид, аналогичный показанному на рис. 20.2 для q(t).

20.4.Величины, характеризующие затухание

1.Коэффициент затухания β и время релаксации τ. Время релаксации τ – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из формулы (20.11) нетрудно видеть, что

93

2. Логарифмический декремент затухания λ. Он определя-

ется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания T:

где A – амплитуда соответствующей величины (q, U, I).

Или иначе, что легко получить из формул (20.26) и (20.27):

где Ne – число колебаний за время τ, т.е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

где λ – логарифмический декремент затухания. Чем меньше затухание, тем больше Q. При слабом затухании (β2<< ω02 ) согласно (20.29) добротность

И еще одна полезная формула для Q в случае слабого затухания

94

где W – энергия, запасенная в контуре δW, – уменьшение этой энергии за период колебания T. В самом деле энергия W пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т.е. W~e–2βt. Отсюда относительное уменьшение энергии за период δW/W = 2 βt = 2 λ. Остается учесть согласно (20.32), что λ = π/Q.

В заключение отметим, что при β2 ≥ω02 вместо колебаний

будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:

кр C

20.5. Вынужденные колебания в последовательном контуре. Резонанс. Резонансные кривые для заряда, напряжения, тока. Реактивные (емкостное и индуктивное) сопротивления

Если в колебательный контур включить источник электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени, в контуре возникают вынужденные колебания (рис. 20.3). Закон Ома для участка цепи 1–R–L–2 квазистационарного тока

где β – коэффициент затухания свободных колебаний в контуре, β = R2L ; ω0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний, ω0 = 1 LC .

Если вынуждающая ЭДС ε(t) изменяется по гармоническому закону

то при установившихся вынужденных колебаниях заряд конденсатора колеблется с той же циклической частотой:

Зависимости φ от Ω называются резонансными кривыми колебательного контура (рис. 20.4).

96

Рис. 20.4

Резонансная циклическая частота соответствует собственной частоте колебательного контура и не зависит от R:

Разность потенциалов на клеммах источника электрической энергии равна его ЭДС:

а на отдельных участках цепи контура

Колебания uR происходят в одной фазе с колебаниями тока в цепи, uL опережает ток по фазе на π/2, а uC отстает от тока по фазе на π/2, причем

они называются соответственно:

xC = 1ΩC – емкостное сопротивление цепи, xL = ΩL – индуктивное сопротивление цепи,

x = xL − xC = ΩL − 1(ΩC) – реактивноесопротивлениецепи, R – активное сопротивление цепи,

z = R2 + [ΩL − 1(ΩC)]2 – полное сопротивление цепи.

В заключение главы приведем основные законы и соотношения величин электромагнитных колебаний:

99

Вопросы для самоконтроля

1.Что называется колебательным контуром?

2.Каковы условия квазистационарности?

3.Запишите уравнение собственного незатухающего колебательного контура.

4.В чем заключается физический смысл коэффициента затухания?

5.Запишите уравнение собственного затухающего контура.

6.Запишите решение уравнения собственного затухающего контура.

7.Запишите формулу периода затухающих колебаний.

8.Запишите выражения для напряжения и тока на конден-

саторе.

9.В чем физический смысл логарифмического декремента затухания?

10.Что такое добротность контура?

11.Что представляет собой критическое сопротивление?

12.Запишите уравнение вынужденных колебаний контура.

13.Запишите выражения амплитуды заряда, тока и сдви-

га фаз.

100