Физика для бакалавра Часть 2

Рис. 17.3

Линии магнитной индукции можно обнаружить с помощью железных опилок, намагничивающихся в исследуемом поле и ведущих себя подобно маленьким магнитным стрелкам. На рис. 17.3 показаны соответственно силовые линии поля соленоида и полосового магнита, которые имеют явное сходство картин. Вместе с тем вначале казалось, что в случае полосового магнита наблюдается аналогия с силовыми линиями электростатического поля и полюсы магнитов играют роль магнитных «зарядов», создающих магнитное поле.

Однако опыты показали, что при разрезании магнита на части его полюсы разделить нельзя (т.е. магнитных «зарядов» не существует). Поэтому линии магнитной индукции не могут обрываться на полюсах, а силовые линии магнитного поля постоянных магнитов являются также замкнутыми.

17.3. Вектор магнитной индукции. Закон Био–Савара–Лапласа и его применение

красчету магнитных полей

К основным характеристикам магнитного поля относятся: Idl – элемент тока; B – вектор магнитной индукции; H – век-

тор напряженности магнитного поля.

Для обнаружения магнитного поля и измерения его интенсивности используются различные методы: воздействие на магнитную стрелку, на проводник с током, на рамку с током, на движущийся заряд и т.д. В электростатике для изучения свойств

11

электростатического поля мы пользовались понятием точечного заряда. Для изучения свойств магнитного поля воспользуемся

венное магнитное поле не искажает внешнее поле (рис. 17.4).

Необходимость введения вектора элемента тока Idl обусловлена тем, что, как было установлено на опыте, характер воздействия магнитного поля на ток зависит от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления в нем тока. Поэтому для характеристики магнитного поля надо рассматривать его действие на вполне определенный ток. В качестве элемента тока на практике выбирают гипотетический прямолинейный ток бесконечно малой длины, не искажающий внешнее магнитное поле. Подобно тому, как электрическое поле

характеризуется вектором напряженности Е , магнитное поле

характеризуется вектором В магнитной индукции.

В начале прошлого века французские физики Ж. Био и Ф. Савар экспериментально исследовали зависимость магнитной индукции поля, окружающего ток, от расстояния от проводника, от величины тока и т.д. и нашли различные закономерности для проводников разной формы. П. Лаплас показал, что все частные закономерности, открытые Ж. Био и Ф. Саваром, могут быть получены теоретически, если записать выражение для век-

тора магнитной индукции поля dB , созданного элементом тока Idl на расстоянии r от него, в следующем виде:

12

дет совершаться против часовой стрелки, модуль вектора | dB | определяется выражением

●

Idl

αr

I

А

dB , В

Рис. 17.5

Лаплас показал, что для магнитного поля справедлив прин-

цип суперпозиции: магнитное поле проводника с током любой формы может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемых отдельными элементарными участками провод-

13

ника – элементами тока. Так, согласно принципу суперпозиции в любой точке поля около проводника с током I вектор магнитной индукции

где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной dl. Интегрирование производится по всей длине проводника l.

В выражении (17.1) μ0 – магнитная постоянная, зависящая от выбора системы единиц, μ – магнитная проницаемость среды, безразмерная величина, показывающая, во сколько раз магнитное поле в веществе изменяется по сравнению с вакуумом.

Для упрощения технических расчетов желательно ввести такую величину, которая бы не зависела от магнитных свойств среды, а учитывала только влияние величины токов и расположения проводников, несущих эти токи, на интенсивность магнитного поля в каждой его точке. С этой целью вводится вели-

чина, называемая вектором напряженности магнитного поля Н, связанная с В соотношением

Направление Н совпадает с направлением В. Соотношение (17.4) аналогично соотношению между вектором электриче-

вектор магнитной индукции В является аналогом вектора на-

пряженности электростатического поля E : и тот и другой определяют силовое воздействие полей с учетом свойств среды.

Вектор же напряженности магнитного поля Н является

аналогом вектора электрического смещения D : и тот и другой не зависят от свойств среды.

14

17.4.Применение закона Био–Савара–Лапласа

красчету магнитных полей токов

Расчет характеристик магнитного поля В и Н по формулам (17.1)–(17.4) в общем случае довольно сложен. Однако, если проводники имеют простые геометрические формы, то применение закона Био–Савара–Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать характеристики их полей. Рассмотрим в качестве примера расчет вектора магнитной индукции поля, созданного прямолинейным проводником с током.

Проводник конечной длины. Определим магнитную индукцию поля В на расстоянии R от проводника с током I (рис. 17.6). Для этого разобьем проводник на элементы тока Idl . В произ-

вольной точке А векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа.

Поэтому сложение векторов dB (см. формулу (17.3)) можно заменить сложением их модулей:

B = dB.

e

В качестве переменной интегрирования выберем угол α, выразив через него все остальные величины. Из рис. 17.6 следует, что

где r – расстояние от элемента тока до точки А; dl – длина элемента тока. Подставив r и dl в выражение (17.2), находим магнитную индукцию, создаваемую одним элементом тока:

dB = μμ4π0RI sinαdα.

15

где α1 и α2 – углы между Idl и r в начале и конце проводника (отсчет ведется в направлении тока).

Проводник бесконечной длины. В этом случае α1 = 0, α2 = π,

16

17.5. Магнитное поле движущегося заряда

Как было выяснено ранее, каждый движущийся заряд создает магнитное поле. Это магнитное поле может быть определено, если выразить элемент тока через характеристики зарядов – величину одного заряда q, скорость его движения v и число зарядов в единице объема:

I dl = jS dl = qnSv dl = qn v Sdl,

где S – площадь поперечного сечения проводника и учтено, что

v параллельно dl в элементе тока. Так как Sdl = dV – элемент объема проводника, ndV = dn число зарядов в этом объеме, то

I dl = qdn v.

С учетом формулы (17.1) находим выражение магнитного

ную точку пространства (рис. 17.7). Сравнивая выражения (17.8) и (17.1), видим, что движущийся заряд q по своим магнитным

действиям эквивалентен элементу тока Idl .

17

17.6. Закон Ампера

Основные силы, действующие в магнитном поле: F – сила Ампера; FЛ – сила Лоренца.

Выше говорилось о том, что проводники с током создают вокруг себя магнитное поле. В свою очередь магнитное поле действует на проводники с током. Действие магнитного поля на проводникистокомбылообнаруженоГ. ЭрстедомиА. Ампером.

Ампер подробно исследовал это явление и установил, что сила, действующая на проводник с током, пропорциональна си-

ле тока, длине проводника, магнитной индукции В и зависит от формы проводника. Поэтому записать выражение для силы, с которой магнитное поле действует на проводник с током любой формы, невозможно. Следовательно, как и в случае определения магнитной индукции поля, создаваемого проводником с током (закон Био–Савара–Лапласа), следует воспользоваться понятием элемента тока, ибо элемент тока можно считать прямолинейным проводником, а магнитное поле в месте нахожде-

ния Idl – однородным.

В общем случае для элемента тока закон Ампера имеет вид

где α – угол между элементом тока Idl и направлением магнит-

ной индукции В.

Направление силы Ампера действующего на элемент тока

Idl определяется правилом векторного произведения (рис. 17.8):

Сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат элемент тока Idl и вектор магнитной индукции В.

18

Если вектор магнитной индукции и элемент тока взаимно перпендикулярны, то направление силы Ампера определяют по правилу ле-

вой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии магнитной индукции, а че-

тыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на проводник с током (рис. 17.9).

В электростатике мы встречались с центральными силами, так как сила взаимодействия между зарядами направлена вдоль линии, соединяющей эти заряды. Примером центральных сил являются также силы тяготения (гравитационные силы). Силы же магнитного взаимодействия не являются центральными – они всегда направлены перпендикулярно линиям магнитной индукции и проводникам с током, т.е. их абсо-

лютные значения и направления существенно зависят от ориентации в магнитном поле рассматриваемых элементов тока.

Закон Ампера позволяет определить физическое содержание магнитной индукции В и найти ее числовое значение. Из формулы (17.11) видно, что В является силовой характери-

стикой магнитного поля: магнитная индукция В численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен перпендикулярно направлению магнитного поля:

19