Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Теория определяющих соотношений. Часть 2. Теория пластичности

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
4.52 Mб
Скачать

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

П.В. Трусов, А.И. Швейкин

ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ

Часть II

Теория пластичности

Электронное учебное издание

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия

для студентов специальности «Прикладная математика»

Издательство Пермского государственного технического университета

2008

80

УДК 539.5

Рецензенты:

Институт механики сплошной среды УрО РАН (директор – академик РАН В.П. Матвеенко), Доктор физ.-мат. наук, профессор Р.А. Васин (Московский государственный университет)

Трусов П.В., Швейкин А.И.

Теория определяющих соотношений: Электронное учебное издание: Ч.2. Теория пластичности / П.В. Трусов, А.И. Швейкин – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008.

Предлагаемая II часть курса лекций по теории определяющих соотношений является логическим продолжением ч. I (общей теории оспределяющих соотношений) и посвящена современным теориям пластичности, большей частью не нашедшим должного освещения в учебнометодической литературе, содержащимся главным образом в журнальных статьях и монографиях. Представлены основные эффекты, наблюдаемые в макроэкспериментах. Приведены краткие сведения из физики твердого тела и физического материаловедения. Рассмотрены теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина, модификации теории пластического течения, эндохронная теория пластичности. Особое внимание уделено физической теории пластичности, отдельная глава посвящена современным тенденциям развития физической теории пластичности. Курс снабжен набором упражнений.

Предназначено для студентов и аспирантов механико-математических специальностей.

ГОУ ВПО «Пермский государственный

технический университет», 2008

81

 

Оглавление

 

Основные обозначения .........................................................................................

4

Сокращения............................................................................................................

6

1.

Введение ......................................................................................................

7

2.

Пластичность с позиций макроскопических опытов ............................

17

3.

Краткие сведения из физики твердого тела и материаловедения........

32

4.

Основные понятия и определения ..........................................................

80

5.

Теория упругопластических процессов А.А. Ильюшина.....................

95

6.

Некоторые модификации теории пластического течения..................

110

7.

Эндохронная теория пластичности.......................................................

139

8.

О физической теории пластичности .....................................................

153

9.Дополнение: О современных тенденциях развития физической теории

пластичности......................................................................................................

188

Задачи и упражнения ........................................................................................

225

Библиографический список .............................................................................

234

Предметный указатель......................................................................................

243

82

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Е – модуль упругости G – модуль Юнга

dи – интенсивность скоростей деформаций h – длина следа запаздывания

Ii (ε), Ii (e), i =1,3 – главные инварианты тензора малых деформаций и его девиатора

Ii (σ), Ii (S), i =1,3 – главные инварианты тензора напряжений Коши и его

девиатора К – модуль объемного сжатия

k – константа Больцмана

K0, Kt – отсчетная и актуальная конфигурации O собственно ортогональная группа

R3 – трехмерное евклидово пространство

s (sp ) – длина дуги траектории деформации (или пластической деформации)

t – время (или его аналог)

Тг – гомологическая температура Х – обозначение материальной частицы в материальном способе описания движения

Xi , ξi – лагранжевы координаты в декартовой ортонормированной и

произвольной криволинейной системах координат, соответственно z – внутреннее время

Г – интенсивность деформаций сдвига

ε– средняя деформация

εu – интенсивность деформаций

Н – интенсивность скоростей деформаций сдвига μσ , με – параметры Надаи–Лоде напряженного и деформированного

состояния

ν– коэффициент Пуассона

температура

κi (i = 1,4) – параметры кривизны и кручения траектории деформации

σ– среднее напряжение

σи – интенсивность напряжений

σp – предел пропорциональности

σs – предел текучести

τи интенсивность сдвиговых напряжений

i (i = 1,5) – углы вектора напряжений с векторами репера Френе

,* — системы отсчета, отличающиеся жестким движением

83

M(k )

Э(5) , Σ (5) – пространства деформаций и напряжений

аi (i = 1,5) – векторы ортонормированного базиса в пространстве деформаций

(напряжений)

b , b – вектор Бюргерса и его модуль

o

o

 

 

 

 

 

ei

e

i

 

ˆ

ˆi

лагранжевы векторы основного (сопряженного) базиса в K0 и

 

 

, ei

e

Kt

 

 

 

 

 

 

 

pi (i

 

 

 

 

 

 

1,5) –

векторы естественного ортогонального репера Френе

R0, r – радиус-векторы частиц в K0 и Kt

,

ˆ

 

– набла-операторы (операторы Гамильтона) в отсчетной и актуальной

конфигурациях э , Σ – векторы деформаций и напряжений

D, d — тензор деформации скорости и его девиатор Е – единичный (метрический) тензор

F ( ) — определяющее отображение

o

G , C — мера и тензор деформации Коши-Грина Jβ — тензорзначные внутренние переменные

Jeγ ,Jiδ – «явные» и «скрытые» внутренние переменные

– ориентационный тензор k-й кристаллографической системы O(t) — собственно ортогональный тензор

Pγ – параметры воздействия

R — ортогональный тензор, сопровождающий деформацию Rβ, R r β, Cβ, Cr β – операторы конститутивных соотношений

U, V — левый и правый тензоры искажения

ε,e – тензор малых деформаций и его девиатор

ρ– тензор остаточных микронапряжений

,M меры напряженного и деформированного состояний (произвольные)

,S — тензор напряжений Коши и его девиатор

χα тензорзначные функции, характеризующие нетермомеханические

воздействия на материал

o

r — градиент места

Є – тензор Леви–Чивита

( )e , ( )p – индексы, относящиеся к упругим и пластическим составляющим ( )r – обозначение объективной производной

– осредненные величины

84

СОКРАЩЕНИЯ

ВДС – внутризеренное дислокационное скольжение ГЦК, ГПУ, ОЦК – гранецентрированная кубическая, гексагональная

плотноупакованная, объемно-центрированная кубическая (кристаллические решетки)

ЗГС – зернограничное скольжение ЗУ – замыкающие уравнения

ИТН – изображающая точка в пространстве напряжений КСК – кристаллографическая система координат МДТТ – механика деформируемого твердого тела МСС – механика сплошной среды ОС – определяющие соотношения ПО – представительный объем СН – сложное нагружение ТДС – термодинамическая система

ТОС – теория определяющих соотношений ТП – теория пластичности ТПТ – теория пластического течения

ТФП – твердотельный фазовый переход УПП – упругопластический процесс ФТП – физическая теория пластичности ФТТ – физика твердого тела ЭТП – эндохронная теория пластичности ЭУ – эволюционные уравнения

85

Если в физике и химии гдето и существует простота, то заведомо не в микроскопических моделях.

И.Пригожин

Физическая модель явления и его математическое описание дополнительны.

А.Б. Мигдал

1.Введение

Спозиций общей теории [61, 62] определяющих соотношений (ТОС), изложенной в ч.1 настоящего пособия, теория пластичности (ТП) представляет одну из множества теорий механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и механики сплошных сред (МСС); в МДТТ можно, например, помимо ТП выделить теорию упругости, теорию ползучести, теорию вязкоупругости, теорию разрушения и множество других. В то же время теория пластичности имеет большое самостоятельное значение, особенно – для моделирования технологических процессов переработки материалов.

Становление МДТТ как области знаний обусловлено в значительной мере экспериментальными исследованиями ученых XVII–XVIII веков, связанными главным образом с проблемой разрушения. В основном эксперименты проводились на одноосное нагружение (растяжение, сжатие), реже – на изгиб и кручение; образцами служили стержни кругового или прямоугольного сечения (в настоящей работе основным источником ссылок на экспериментальные данные является двухтомник Ф.Дж.Белла [2], являющийся энциклопедией экспериментальных исследований (к сожалению, главным образом – зарубежных исследователей), осуществленных в период от XVIII до начала 70-х годов XX века).

К наиболее значимому событию XVII века с полным основанием можно отнести открытый в 1678 году Робертом Гуком закон линейной связи между силой и удлинением (сам Гук писал, что открыл этот закон раньше, в 1660 году, но задержал его опубликование в связи с патентованием своего изобретения спиральных часовых пружин). Тот же закон был независимо открыт в 1680 году Эдмом Мариоттом. Влияние закона Гука на развитие теории упругости и МДТТ в целом трудно переоценить; и до настоящего времени закон Гука (конечно, в измененном виде тензорно–линейных соотношений) является основным инструментом при расчетах различных конструкций и деталей.

Однако непосредственно после опубликования закона Гука появились публикации, начиная с работ Якова Бернулли, в которых на основе

86

результатов проведенных (с потрясающей для того времени точностью) экспериментов утверждалось, что линейный закон даже при очень малых деформациях не выполняется. Исследования продолжались в XVIII веке и особенно интенсивно – в первой половине XIX века, вплоть до «отмены» закона Гука в 1849 году Британской Королевской комиссией по железу. В этих работах, подробный обзор которых содержится в [2], для широкого круга материалов было показано, что даже при очень малых деформациях (говоря на современном языке – существенно меньших предела упругости по деформациям) наблюдается нелинейная зависимость напряжения от деформации, появление остаточных деформаций (микропластичность), уменьшение с ростом деформаций модуля упругости и другие весьма интересные эффекты, должного описания которых нет и в настоящее время.

Первые работы по математическим моделям, описывающим неупругое пластическое деформирование твердых тел, появились в 70-е годы XIX столетия (Сен-Венан, М. Леви), что и следует считать датой зарождения теории пластичности как самостоятельного раздела МДТТ.

Большой вклад в развитие теории пластичности внесен в начале нашего столетия работами А. Хаара, Т. Кармана, Р. Мизеса. Работы этого периода и более поздние (двадцатые годы ХХ столетия) исследования Г. Генки, Л. Прандтля, Р. Мизеса и других носили ярко выраженный феноменологический характер (точнее – макрофеноменологический), причем опирались главным образом на простые эксперименты по растяжениюсжатию образцов. На формулировках определяющих соотношений этого периода ощущается значительное влияние соотношений теории вязкой жидкости.

Начиная с 30-х годов теория пластичности становится одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов МДТТ. Это обусловлено как потребностями промышленности, так и достижениями в других областях естествознания, в первую очередь – в физике твердого тела и термодинамике. В этот период были объяснены основные механизмы пластического деформирования, обнаружены его «носители».

Отметим, что механизмы упругого деформирования объясняются главным образом электромагнитными взаимодействиями ионов и электронов атомов исследуемого материала. Первые попытки с аналогичных позиций объяснить пластические деформации как процесс разрыва связей между частицами материала по определенным плоскостям (максимального сдвига) не привели к положительным результатам: теоретически подсчитанные значения предела текучести на порядки превосходили экспериментально измеренные. Открытие в 30-х годах XX века специфичных линейных дефектов в кристаллических телах – дислокаций – и эстафетного механизма их движения позволили в принципе объяснить физическую природу пластического деформирования.

В настоящее время развитие теории пластичности также во многом опирается на достижения физики твердого тела. Открыты и другие

87

механизмы неупругого деформирования, такие, например, как межзеренное проскальзывание, ротационные моды неупругого деформирования, для описания которых был введен новый тип дефектов – дисклинации, направленный массоперенос за счет движения точечных дефектов и другие.

С позиций физики твердого тела теперь можно определить пластическое деформирование как процесс движения дефектов кристаллической решетки, осуществляемый со скоростями, превышающими скорости изменения внешних условий. Иначе говоря, если после выведения из положения равновесия дефектов (за счет внешних воздействий) время перехода в новое равновесное положение (время релаксации) существенно меньше характерного времени изменения внешних воздействий, то реализуемая при этом неупругая макродеформация может рассматриваться как пластическая.

В рамках каждой из упомянутых выше теорий существует весьма большое количество частных теорий (или моделей материалов), описывающих поведение материалов различных типов (например, компактных или гранулированных сред, гомогенных или композиционных материалов, и т. д.) в разных диапазонах воздействий. Среди упомянутых теорий ТП, на наш взгляд, занимает чрезвычайно важное (если не сказать – выдающееся) место. На чем основано данное утверждение?

Отметим прежде всего, что способность твердых тел (в первую очередь– металлов) при определенных воздействиях (силовых, температурных) испытывать необратимые (неупругие) деформации известна и весьма эффективно эксплуатируется человечеством уже тысячи лет. Одной из наиболее широко используемых для описания процессов неупругого (пластического) деформирования материалов теорий и является ТП. Классическая ТП оперирует с процессами деформирования в диапазоне скоростей нагружения, меньших скоростей соответствующих перестроек мезо-, микро- и атомарной структуры (так называемых скоростей релаксации), что позволяет исключить из соотношений классической ТП физическое время, заменив его тем или иным неубывающим параметром для описания последовательности стадий процесса деформирования (подробнее этот вопрос будет рассмотрен ниже). В то же время в современной теории пластичности широко используются различные теории вязкопластичности, где физическое время присутствует в качестве независимого аргумента в соотношениях, описывающих поведение материала.

Таким образом, во-первых, в настоящее время теория пластичности является одной из наиболее широко применяемых в теоретических и прикладных исследованиях МДТТ. Во-вторых, ТП представляет собой одну из наиболее глубоко развитых теорий определяющих соотношений (ОС), с достаточно хорошо разработанной аксиоматикой, имеет весьма обширное экспериментальное обоснование. В-третьих, подходы и методы теории пластичности могут с успехом применяться и применяются в других разделах МДТТ.

88

Даже из приведенного в предлагаемом пособии перечня наиболее известных моделей (или теорий) пластичности становится очевидной сложность выбора для решения конкретной задачи той или иной модели. При этом априори невозможно установить характер нагружения (деформирования) в различных подобластях исследуемого объекта, который предопределяет адекватность выбираемой модели для описания процесса упругопластического деформирования. Заметим, что в настоящее время отсутствует какая-либо одна модель, пригодная для описания произвольных процессов деформирования, каждая из существующих теорий имеет довольно ограниченную область применения. Ряд известных специалистов в теории пластичности (В. Прагер, В.В. Новожилов, Д. Коларов и др.) отмечали, что, возможно, всеобъемлющей теории не будет создано никогда. В связи с этим в 60-х годах ХХ века А.А. Ильюшиным был предложен СН– ЭВМ метод [17, 18], суть которого сводится к совместному использованию в итерационной процедуре решения краевых задач теоретических методов (в т.ч. – численных) и машины сложного нагружения. С помощью последней проводятся испытания для траекторий деформирования, полученных из теоретического решения, результаты экспериментов аппроксимируют функциональные ОС, последние закладываются в теоретический расчет для следующей итерации и т.д.

Позднее этот подход трансформировался в «теоретический СН–ЭВМ метод», в котором роль машины сложного нагружения стали играть банк моделей материалов и база эмпирических функций и констант, необходимых для применения той или иной модели материала. Интенсивно данный подход развивается и в настоящее время; например, в работах Б.Е. Мельникова и его коллег [49, 50] предложен многомодельный подход, представляющий собой, по существу, вариант «теоретического СН–ЭВМ метода». Суть подхода, как его определяют сами авторы [49], состоит в «…использовании иерархической последовательности моделей, адекватных сложности решаемой задачи. Применение многомодельного подхода на практике сводится к проведению многовариантных вычислительных экспериментов, в которых управление выбором модели материала осуществляется автоматически на основе системы критериев выбора».

Внастоящем курсе классические теории пластичности, достаточно подробно описанные в многочисленных монографиях и учебных пособиях, будут изложены по возможности кратко, с тем, чтобы дать достаточно ясное представление о масштабах ТП. Основное внимание уделяется разработанным в последние 30–40 лет теориям, нашедшим отражение преимущественно в статьях и специальных научных изданиях.

Вкачестве основы для рассмотрения различных частных моделей ТП будет использоваться структура конститутивных моделей, содержащая внутренние переменные и соответствующие уравнения для описания их эволюции [62]. В литературе, посвященной различным теориям процессов необратимого деформирования, внутренними переменными называют

89