Теория определяющих соотношений. Часть 2. Теория пластичности

Деформируемое твердое тело является… многоуровневой иерархически самоорганизующейся системой, в которой микро-, мезо- и макромасштабные уровни органически взаимосвязаны.

В. Е. Панин

9. Дополнение: О современных тенденциях развития физической теории пластичности

Существующие в настоящее время ФТП можно разделить на четыре широких класса: жесткопластические, упругопластические, вязкопластические и упруговязкопластические модели. Останови м- ся на каждом из этих классов отдельно.

А. Жесткопластические модели

Одной из первых попыток построения одномерной модели п о- ликристалла на основе рассмотрения совокупности монокристаллов была модель Закса, к этому же типу моделей относятся модели Тейлора и Бишопа–Хилла (см. гл.8).

Несмотря на отмеченные выше (гл.8) недоста тки моделей Тейлора–Бишопа–Хилла, их изучение в силу «прозрачности» пре д- ставляется весьма полезным с методической точки зрения. Дал ь- нейшее развитие моделей этого класса связано, в частности, с с о- вершенствованием математической основы моделей, модификации соотношений теории для учета поворотов кристаллической реше т- ки. Например, в работе [Д15] наряду с трансляционной (сдвиговой) модой деформирования идеально -пластического монокристалла предлагается ввести дополнительные параметры, характеризующие ориентацию кристаллической решетки (три угла Эйлера). В качес т- ве ключевой гипотезы вводится предположение об аддитивном ра з- ложении градиента скорости перемещений на пластическую с о- ставляющую, определяемую скоростями сдвигов по активным си с- темам скольжения (СС), и спи н решетки. Одну из известных трудностей – задание граничных условий для скорости поворота реше т- ки, – автор предлагает избежать за счет задания так называемых «глобальных кинематических условий», согласно которым в иссл е- дуемом теле вводятся материальные нап равления с запрещенными поворотами (например, вдоль оси растягиваемого образца). Как представляется, указанные гипотезы не имеют достаточного физ и- ческого обоснования даже для монокристаллов.

В последнее десятилетие жестко -пластические модели применяются довольно редко, наиболее широко применяемыми моделями стали модели трех других типов.

281

Б. Упругопластические модели

Следует отметить, что большинство упругопластических (равно как и упруговязкопластических) моделей используют гипотезу аддитивности упругих и неупругих составляющих тензора деформ а- ции скорости и (изотропный или анизотропный) закон Гука:

d = de + din , σ = C : de = C : d - din ,

или ОС в так называемой релаксационной форме; эта гипотеза и с- пользована и в изложенно й в гл.8 модели Линя. Вместо материал ь- ной производной тензора напряжений в геометрически нелинейном случае применяется та или иная «объективная производная», чаще всего – коротационная. Основное отличие в моделях заключается в части конститутивной модели д ля определения неупругой составляющей тензора деформации скорости.

Другим направлением развития физической теории является модификация законов упрочнения и определение изменения п о- верхности текучести для монокристаллов с целью включения в них постоянно обновляющихся экспериментальных и теоретических данных об эволюции дислокационных субструктур [Д38]. В цит и- руемой работе анализируются различные теории упрочнения , основанные на рассмотрении движения и взаимодействия дислокаций. Часть из этих теорий (сплетения дислокаций Хирша и Митчелла, ступенек дислокаций Мота, дислокаций леса Басинского, ячеистых структур Кульман–Вильсдорф) относится автором к механизмам изотропного упрочнения; другие теории (дисперсного упрочнения Орована и скоплений дислокаций Зигера) описывают кинематич е- ское (анизотропное) упрочнение монокристаллов. Изотропное у п- рочнение считается одинаковым во всех системах скольжения

«пробегает» все номера СС. Для описания кинематического упро ч- нения вводится геометрический фактор Qij = n(i)b(i) : b( j )n( j ) , тогда скорость изменения критического напряжения сдвига в i-й СС оп-

процедура построения эволюционирующей поверхности текучести в пространствах симметричного (6 -мерного) и несимметричного (9 - мерного) тензоров напряжений. Отмечается, что при реализации нагружения, контролируемого по деформациям, предпочтительнее использовать поверхность текучести в пространстве деформаций, в связи с чем аналогичная процедура рассматривается в терминах соответствующих пространств (6 -мерном тензора малых деформаций и 9-мерном тензора дисторсии).

282

Вразвитие цитируемой работы в статье [Д39] расс матривается обобщение модели на случай геометрической нелинейности. И с- пользуется текущий лагранжев подход; закон Гука записывается в терминах производной Яуманна тензора напряжений Кирхгоффа. Приведены соотношения для определения начальной поверхности текучести в пространствах напряжений и деформаций; учет пов о- рота (в упругой области рассматривается материальный поворот) приводит к появлению в уравнении квадратичных относительно напряжений и деформаций (соответственно в пространствах н а- пряжений и деформаций ) членов. Получены соотношения для эв о- люционирующей поверхности текучести . В упругопластической области учитывается как материальный поворот, так и ротация за счет сдвигов, причем последняя определена как сумма по всем а к- тивным системам произведений антиси мметричной части ориентационного тензора на приращение сдвига. В терминах пространств напряжений и деформаций сформулированы критерии пластическ о- го деформирования и определяющие соотношения.

Впоследние 10–15 лет физические теории активно примен я- ются для описания процессов глубокого пластического деформир о- вания, особое внимание при этом уделяется анализу эволюции микроструктуры, в частности возникновению и развитию текст у- ры.

Одна из первых попыток конструктивного применения модели Линя для анализа поведе ния поликристаллов при сложном нагр у- жении освещена в работе [Д35] . В первой части работы привед е- ны и обсуждаются результаты экспериментов на сложное нагр у- жение тонкостенных трубчатых латунных образцов. Исследую т- ся траектории в виде двухзвенных ломаных (рас тяжение – круче-

ние) при различных длинах сегментов ломаных и углах излома от 30о до 180о . Для теоретического исследования использована модель Линя с модифицированным для учета эффекта Баушингера зак о- ном упрочнения. Отмечается, что учет взаимодействия зерен в модели Линя можно рассматривать как упрощенную модификацию модели Кренера, основанной на решении Эшелби для сферического кристалла в изотропной матрице. Рассмотрены плоские траект о- рии деформации, пластические сдвиги осуществляются в одной плоскости по трем направлениям (6 систем скольжения), обр а- зующим равносторонний треугольник. Описан алгоритм реализ а- ции модели и полученные результаты; показано хорошее качес т- венное соответствие расчетных и экспериментальных результ а- тов.

Развитие рассмотренной модели [Д35] содержится в работах [Д22, Д34] , в которых особое внимание уделяется законам упро ч- нения для СС и описанию эволюционирующей поверхности текуч е-

283

сти. В качестве поверхностей текучести приняты поверхности равных уровней интенсивности пластических деформац ий по лучевым траекториям деформаций из текущих точек полной разгрузки , «допуск» на пластические деформации принимался равным 0.02, 0.05, 0.2, 0.5 и 1.0%. Приведены основные гипотезы модели Линя ,

представляет интерес предложенный авторами закон упрочнения, являющийся модификацией закона Тейлора и более позднего пре д- ложения Венга:

Нетрудно видеть, что в предлагаемом законе учтены различие активного и латентного упрочнения и разупрочнение при реверсивном нагружении (за счет аннигиляции дислокаций). Предлагаемый закон упрочнения позволяет описать эффект Баушингера и эксп е- риментально наблюдаемый факт «скругления» участка кривой р е- версивного нагружения перед наступлением вторично й пластической деформации.

Для упрощения осуществлен переход к плоской задаче. Для выбранной декартовой ортогональной системы координат Ох1 х2 х3 принимается, что деформирование осуществляется сдвигом в плоскости Ох1 х2 по трем равнонаклоненным направлениям скольжения. В рассмотрение включены только сдвиговые деформации е31, е32 и соответствующие компоненты сдвиговых напряжений (или девиаторов напряжений) S31, S32 , которым в соответствие ставятся двумерные векторы деформаций и напряжений.

Врасчетах использованы следующие значение параметров:

А=5.9∙102 МПа, В=2.0∙102 , е=0.5, модуль сдвига G = 29.4 ГПа, на-

чальное критическое напряжение сдвига равно 79.2 МПа, что с о- ответствует латуни.

Рассмотрена эволюция поверхности текучести для случая л у- чевого нагружения при различных допусках на пластическую д е- формацию; показано, что чем больше величина допуска, тем бл и- же форма поверхности текучести , в данном случае двумерного нагружения, к окружности. Сопоставление теоретических резул ь- татов с экспериментальными данными показывает хорошее качественное соответствие при всех величинах допуска, количестве н- ное соответствие тем лучше, чем больше величина допуска. Однако эксперименты проводились по растяжению –кручению трубчатых образцов, модель же ориентирована на сдвиг в двух перпендикулярных направлениях. Авторы не поясняют переход от сдвиговых компонент к реализующимся в эксперименте .

284

Приведены результаты расчетов эволюционирующей поверхн о- сти текучести для двух - и трехзвенных ломаных с углами излома 90о . На трехзвенных лома ных показывается справедливость при н- ципа затухающей памяти: на симметричных траекториях дефо р- мации получено одинаковое расположение и размеры поверхностей текучести по отношению к внутренней геометрии траекторий деформации.

Дальнейшее развитие модели Линя связано в значительной мере с модификацией положенного в его основу закона упругости и с учетом геометрической нелинейности. Работ по данной теме чрезвычайно много, поэтому остановимся только на нескольких из них, содержащих достаточно полное изложение те ории и алгоритмов.

Встатье [Д31] рассматривается геометрически нелинейная модель термоупругопластичности моно - и поликристаллов. Последовательно излагаются кинематические соотношения, основа н- ные, как и большинство других моделей геометрически нелинейной пластичности, на мультипликативном разложении Ли градиента места. Кроме того, вводится разложение градиента места, упр у- гой и пластической составляющих на шаровую и унимодулярную части. На основе разложения Ли в терминах промежуточной (ра з- груженной) конфигурации получено аддитивное разложение град и- ента скорости перемещений на упругую и пластическую соста в- ляющие.

Вкачестве соотношений термоупругости принимается закон гиперупругости («неогуковский» изотропный закон), получаемый из неравенства Клаузиуса–Планка. При этом функция свободной энергии Гельмгольца полагается зависящей от упругой соста в- ляющей градиента места, температуры и скалярной внутренней переменной, характеризующей осредненные поля микродеформ а- ций, обусловленные дефектами кристалл ической решетки. В качестве переменной, сопряженной введенной внутренней переменной, вводится микронапряжение, получено эволюционное уравнение для него.

Вчасти определения пластических деформаций предлагаемая модель не отличается от описанной выше модели Линя, за исключением учета изменения векторов нормали и направления скольж е- ния кристаллографической СС, при этом преобразование векторов осуществляется с использованием упругой составляющей градие н- та места. В рассматриваемой работе автор ограничился случае м монокристаллического тела, реализация модели для поликриста л- лов не рассматривается.

Значительное место в работе уделяется алгоритмам числе н- ной реализации модели, в основу которых положены метод коне ч-

285

ных элементов, неявная схема интегрирования Эйлера, мет оды нелинейного программирования, расщепление исходной связанной з а- дачи термоупругопластичности на совокупность задачи упруг о- пластичности и температурной задачи. Приведены численные р е- зультаты анализа поведения монокристалла при простом сдвиге и при одноосном растяжении прямоугольной полосы с образованием шейки.

Современному изложению физической теории (типа Тейлора–Бишопа–Хилла) и некоторым аспектам ее численной реализации посвящена работа [Д30]. В качестве кинематической основы используется мультипликативное разложение транспонированного гра-

об

диента места («градиента деформации») F = rT на упругую Fe и пластическую Fp составляющие (заметим, что указанное разложение было введено независимо в работах [Д7, Д23, Д24,]. Представляет интерес обсуждение физической основы данного разложения, содержащееся в [Д10]):

где ω = Re ReT – тензор скорости жесткого поворота решетки, We – спин, ассоциированный с упругим искажением решетки, которым в данной работе пренебрегается. Далее принимается, что

k=1

где К – количество активных СС, b0k ,n0k – единичные векторы направления скольжения и нормали к плоскости скольжения в промежуточной (разгруженной) конфигура-

На системах скольжения используется закон Шмида в сочетании с комбинированным законом упрочнения:

тропного и кинематического упрочнения. Изменение критического напряжения сдвига определяется соотношением

286

стве мер напряжений и упругих деформаций использованы соответственно второй тензор Пиола–Кирхгоффа К и тензор Коши–Грина С (с разгруженной конфигурацией в качестве отсчетной), связанные линейным анизотропным упругим законом (анизотропная гиперупругость)

Обращаясь к процедуре определения активных систем и скоростей сдвигов, авторы отмечают трудности, возникающие в моделях типа Тейлора–Бишопа–Хилла, часть из которых освещена выше. В связи с этим излагается так называемый А–К-метод (Anand– Kothari method) [Д1]. В методе используется гипоупругий закон

ние (9.6), два последних соотношения и связь скорости касательного напряжения со

скоростью тензора напряжений Коши τ(k) = M(k) : σ , получают систему уравнений относительно скоростей сдвига. Используя упругий предиктор, определяются системы скольжения, которые могут быть активными (не более пяти), после чего для выбранных активных СС решается полученная система уравнений. В случае, если полученные скорости сдвигов на некоторых из СС отрицательны, эти СС исключаются из числа активных, и для оставшихся активных СС вновь решается указанная выше система уравнений, из которой определяются скорости сдвигов. Следует отметить, что в данной части процедура весьма близка к предложенной в модели Линя [47]. После завершения данного этапа окончательно определяются напряжения, для чего применяется соотношение (9.7), что представляется непоследовательным и требующим дополнительной проверки выполнения закона Шмида.

Авторами предлагается собственный алгоритм, названный М–М (McGinty–McDowell)- алгоритмом, определения активных систем скольжения и скоростей сдвигов, основанный на условии совместности – изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) должна находиться в течение шага нагружения на грани или ребрах многогранника текучести. На этапе определения активных систем последние фиксируются, поворот определяется на этапе пересчета напряжений, поэтому на первом этапе отсутствует различие между коротационной и материальной производной тензора напряжений.

В процедуре предлагается последовательно определять активируемые СС. В начальной точке ИТН находится внутри многогранника текучести, скорость напряжений определяется соотношением (9.8) при Dp=0. Из условия равенства сдвигового напряжения критическому напряжению определяется приращение времени, соответствующее моменту достижения ИТН первой грани многогранника текучести. В дальнейшем ИТН может перемещаться только вдоль этой грани до достижения следующей грани, процедура определения точки пересечения с ней аналогична предшествующему этапу: точка пересечения с первой гранью принимается за начальную, из (9.8) определяется скорость напряжений (скорость пластических деформаций определяется скоростью сдвига по пер-

287

вой СС, процедура определения скорости сдвига описана ниже), определяется промежуток времени до пересечения со второй гранью многогранника текучести. Аналогичным образом определяются 3-я, 4-я и 5-я активные СС; при этом в случае пересечения более пяти СС в вершинах многогранника текучести независимых СС может быть только пять. Отмечается, что определение сразу нескольких активных СС может привести к ошибке: если направление σ первого (упругого) шага пересекает вначале первую и затем некоторую k-ю грань, то после пересечения первой грани направление σ может резко измениться, и следующая активная СС может оказаться совсем иной, не совпадающей с k-й. Подчеркивается, что для определения каждой вновь активируемой СС не требуется знания скорости сдвига в ней.

После определения очередной активной СС устанавливаются скорости сдвига во всех активных СС. Для этого существуют два альтернативных варианта. Наиболее строгим и точным авторы считают использование условия совместности напряжений, определяемых по гиперупругому закону (9.7) в сочетании с неявной схемой интегрирования.

Второй путь – использование гипоупругого закона (9.8) и условия совместности напряжений, которое можно переписать в следующем виде:

K

k=1

С учетом того, что модули упрочнения на 2-3 порядка меньше упругих модулей, первым членом под знаком суммы можно пренебречь. В этом случае в силу симметрии матрицы коэффициентов полученной системы линейных алгебраических уравнений можно использовать, например, схему разложения Холецкого; в этом случае при неизменности активных СС можно делать только обратный ход на нескольких последовательных шагах нагружения. В случае изотропии упругого закона соотношение (9.9) не зависит от модулей упругости. Отмечается, что при анизотропном законе в соотношении (9.9) остаются только отношения упругих модулей.

Следующий этап алгоритма – определение напряжений. В случае, если активными являются пять СС, девиатор напряжений (или его приращение) легко определяется из пяти условий закона Шмида, шаровая часть тензора напряжений Коши находится из линейной связи со средней деформацией. Ситуация осложняется, если число активных СС менее пяти. В этом случае авторами предлагается использовать принцип минимума приращения девиатора напряжений (по модулю) при условии выполнения условий совместности по напряжениям. Формулируется функционал, в который условие совместности входит через множители Лагранжа, приведено решение задачи минимизации. Следует отметить, что обоснование указанного принципа отсутствует; в дальнейшем приведены некоторые соображения о его согласованности с постулатом Друккера. Несмотря на существенное сходство данного алгоритма с моделью Линя, в этой части М– М-алгоритм существенно отличается от модели Линя, и, как представляется, это отличие – не в пользу М–М–алгоритма. Действительно, модель Линя позволяет находить приращения тензора напряжений на каждом шаге нагружения непосредственно из закона Гука, без введения дополнительных предположений.

Поскольку все указанные величины определяются в начальном положении СС, тогда как последние испытывают при деформировании повороты, требуется итерационная процедура для установления положения СС на конец шага и уточнения всех искомых величин. Вопрос о ротации кристаллографической системы координат (КСК) отдельно не обсуждается, но, судя по кратким замечаниям, повороты определяются согласно полностью стесненной модели Тейлора, т.е. по антисимметричной части тензора сдвигов. Отмечается, что итерационная процедура сходится очень быстро, за 2–3 итерации.

288

Значительная часть работы посвящена сопоставлению результатов расчетов для монокристаллов и поликристаллов с ГЦК решеткой (медь) по А–К- методу и М–М- алгоритму. Рассматриваются несколько законов упрочнения. Отмечается хорошее соответствие результатов для одноосного сжатия и простого сдвига по кривой эффективное напряжение–эффективная деформация, числу активных систем скольжения и величине сдвигов в них. Однако М–М-алгоритм оказывается намного более эффективным, потребное время решения на два порядка меньше, чем при применении А–К–метода. Приведены также результаты сравнения результатов кривых эффективное напряжение – эффективная деформация для одноосного сжатия и простого сдвига поликристаллических медных образцов, полученных с применением предлагаемого алгоритма и полностью неявного алгоритма, предложенного в работе [Д11]; соответствие результатов также является удовлетворительным.

Отдельно рассматривается вопрос о включении в закон упрочнения остаточных микронапряжений (кинематического упрочнения), приведены модифицированные с использованием последнего соотношения. Приведен критерий разгрузки – продолжающегося активного нагружения.

В. Вязкопластические модели

Наряду с жесткопластическими и упругопластическими мод е- лями физической теории пластичности интенсивно разрабатыв а- ются и вязкопластические модели, роль которых особенно велика при рассмотрении процессов неупругого деформирования при п о- вышенных температурах и медленных нагружениях, поскольку, как известно, движение дислокаций – процесс термически активируемый.

В работе [Д20] рассматривается вязкопластическая модель, учитывающая влияние температуры, основанная на континуальной модели «механического порогового напряжения» ( MTS – mechanical threshold stress). В первой части работы рассматривается так н а- зываемая «стандартна я вязкопластическая модель Тейлора»

(Standard rate dependent Taylor model). В ней используется «жест-

копластическое» мультипликативное разложение градиента ме с- та F:

промежуточную Kt при отсутствии поворота (ориентация кристал-

лической решетки остается неизменной), а ротация R переводит Kt в актуальную конфигурацию К t . Тогда (транспонированный) град и- ент скорости перемещений L (в актуальной конфигурации ) определяется соотношением

289

об

Заметим, что Lp = vT = Fp Fp-1 – «пластический» градиент скорости перемещений, связанный со скоростями сдвигам по си с- темам скольжения соотношением

k=1

где γ(k) – скорость сдвига по k-й СС, b(k)0 – единичный вектор направления скольжения

(сонаправленный вектору Бюргерса), n(k)0 – единичный вектор нормали k-й СС, определен-

ные в промежуточной (или, что то же самое, в отсчетной) конфигурации. Вводится аддитивное разложение градиента скорости перемещений:

k =1

Таким образом, ротация решетки складывается из материал ь- ного вращения ( W) и ротации от стесненного сдвига ( А), что представляется странным, поскольку для монокристалла матер и- альный поворот и поворот решетки – суть одно и то же, а для поликристалла материальный поворот едва ли связан с поворотом решетки каждого зерна.

Определяя далее ориентационный тензор в актуальной конф и-

сдвиговое напряжение в k-й СС устанавливается следующим обр а- зом:

где σ, S – тензор напряжений Коши и его девиатор.

Для скорости сдвига принимается широко используемый (см., например, [Д2, Д17, Д33]) степенной закон:

где τ(k)c – критическое напряжение сдвига на k-й СС. Подставляя (9.17) в (9.14)1, девиатор напряжений определяют решением системы нелинейных уравнений

где четырехвалентный тензор вязкопластических свойств опред е- ляется соотношением

290