Теория определяющих соотношений. Часть 2. Теория пластичности

играет важную роль в качестве аккомодационного механизма для развития основной моды деформирования (скольжения).

Из других механизмов деформирования следует отметить трансформационный и механизм зенограничного проскальзывания. Трансформационная пластичность (пластичность превращения) наблюдается в кристаллах, способных к полиморфным превращениям (твердотельному фазовому переходу (ТФП)). К их числу относятся большое количество сплавов на основе железа (стали), керамические и другие материалы. Например, некоторые модификации циркониевых керамик за счет твердотельных фазовых переходов могут испытывать деформации 20–40%, что для керамик можно считать сверхпластическими деформациями. Огромную роль ТФП играют в широко распространенных процессах термической и термомеханической обработки, в которых вследствие неоднородности и анизотропии фазовых переходов возникают остаточные напряжения макро-, мезо- и микроуровня (остаточные напряжения I, II и III рода), изменение формы (коробление) конструкций, локальные нарушения сплошности и другие дефекты.

Направление ТФП определяется характером изменения термодинамического потенциала, выбираемого в соответствии с условиями сопряжения термодинамической системы с окружающей средой и условиями устойчивости термодинамической системы. Например, если условием термодинамической устойчивости является минимальность термодинамического потенциала (например, свободной энергии Гельмгольца F), воздействием является только температурное, фаза α с понижением температуры имеет более низкое значение F по сравнению с фазой β , то понижение температуры вблизи температуры фазового пере-

хода ведет к переходу β α , и наоборот. В общем случае произвольных термомеханиче-

ских воздействий термодинамический потенциал должен содержать в своей структуре кроме температуры и соответствующие механические параметры, например, напряжения. Хорошо известно весьма существенное влияние напряжений на процессы ТФП. В зависимости от конкретного типа ТФП одно и то же поле напряжений может приводить как к ускорению фазового перехода, так и к его замедлению. В силу этого процессы фазового перехода обычно начинаются в зонах концентрации напряжений (в поликристаллах, например, в тройных стыках зерен). После зарождения новой фазы её рост идет путем присоединения отдельных атомов или их групп от материала исходной фазы. При достаточно высоком уровне напряжений и при соответствующем виде напряженного состояния ТФП может происходить и при температурах, далеких от температуры фазового перехода. Зернограничное скольжение (ЗГС) является важнейшим механизмом деформирования поликристаллов, особенно с малым размером зерна; в частности, зернограничное проскальзывание является одним из главных механизмов деформирования в условиях сверхпластичности. Различают [35] собственное (или истинное) и наведенное (аккомодационное) ЗГС. Собственное ЗГС осуществляется путем сдвига зерен вдоль границы под действием приложенных внешних напряжений, зона деформации сопоставима с размерами границ. В наведенной ЗГС основной движущей силой являются внутренние локальные напряжения, генерируемые несовместными внутризеренными сдвигами; в этом случае ЗГС играет роль аккомодационного процесса, обеспечивающего сплошность агрегата зерен. В свою очередь, наведенное ЗГС реализуется либо как процесс «чистого» скольжения по границам зерен, либо как ЗГС с одновременным процессом внутризеренного деформирования, что свойственно большинству материалов. Действительно, учитывая, что в реальных поликристаллах геометрия границ зерен весьма сложная, можно сделать вывод о трудности реализации неупругого деформирования без нарушения сплошности только за счет ЗГС, необходимы механизмы аккомодации. Такими аккомодационными механизмами для ЗГС являются внутризеренное дислокационное скольжение (ВДС) и диффузия атомов и вакансий [35, 58]. За счет ВДС возможно продолжение зернограничного сдвига в тело зерна и подстраивание границ зерен. Диффузионные процессы ведут к сглаживанию микронеровностей границ зерен, делая последние атомарно плоскими.

140

Сопротивление деформированию границ зерен существенно зависит от температуры. Известно (например, [58]), что при гомологической температуре (отношение абсолютной температуры испытаний к абсолютной температуре плавления) ниже 0.4 сопротивление деформации границ выше (границы упрочняют поликристалл), чем зерен, и, наоборот, при высоких температурах процессы, идущие в границах, приводят к разупрочнению материала. Как показано в экспериментах, при высоких температурах и невысоких скоростях деформации плотность внутризеренных дислокаций практически не меняется в процессе неупругого деформирования, дислокации абсорбируются границами, в которых происходит возврат с понижением плотности дислокаций [35]. Особенно интенсивно эти процессы протекают в мелкозернистых поликристаллах.

Следует отметить также, что границы зерен могут являться мощными источниками и стоками решеточных дислокаций в соседних зернах [35]. При этом некоторые исследователи считают (например, [58]), что дислокации не могут непосредственно переходить из одного зерна в другое, границы являются мощными препятствиями для них; однако, скапливаясь вблизи границ, дислокации могут своими дальнодействующими полями возбудить действие источников дислокаций в соседних зернах. В других работах (например [35]), авторы, опираясь на многочисленные экспериментальные данные, полученные на бикристаллах, напротив, утверждают, что границы могут поглощать решеточные дислокации из их окрестности, порождаемые внутризеренными сдвигами. Захваченные решеточные дислокации могут взаимодействовать с существующими в границах специальными, так называемыми зернограничными дислокациями (ЗГД) (заметим, что захваченные решеточные дислокации иногда трактуются как внесенные ЗГД), с другими дефектами (в первую очередь – с вакансиями и примесными атомами), способны диссоциировать на собственные ЗГД с меньшими векторами Бюргерса. При определенных условиях внутризеренные дислокации могут пересекать границы с образованием зернограничной дислокации, вектор Бюргерса которых равен разнице векторов Бюргерса в зерне-«доноре» и зерне-«реципиенте» (в некоторых работах такие ЗГД называются дислокациями ориентационного несоответствия (ДОН)). При этом внутризеренные сдвиги оказываются весьма эффективными аккомодационными механизмами. Так, при одном и том же сдвиговом напряжении на границе активизация внутризеренных сдвигов увеличивает скорость ЗГС в 50 раз [35].

Для объяснения феномена резкого увеличения ЗГС за счет ВДС ряд исследователей (В.Н. Перевезенцев, В.В. Рыбин, А.Н. Орлов, В.Е. Панин) предлагает гипотезу о переходе границ зерен при поглощении ими решеточных дислокаций в особое жидкоподобное («сильновозбужденное») состояние. Данная гипотеза с феноменологической точки зрения описывает многие экспериментально полученные закономерности ЗГС в процессах горячего деформирования, в частности деформирования в режиме сверхпластичности. Следует отметить, что в поликристаллах в силу сложной геометрии границ зерен ЗГС связано не только с ВДС, но и другим весьма важным аккомодационным механизмом – миграцией границ зерен, обусловленной в первую очередь диффузионными процессами. При температурах выше 0.5 гомологической миграция границ может рассматриваться в качестве важного основного механизма деформирования.

Являясь мощными препятствиями движению дислокаций, границы зерен выступают в роли концентраторов напряжений мезоуровня. Последние, в свою очередь, порождают существенную неоднородность деформирования зерен и их дефектной структуры. При этом в центре достаточно крупных (порядка десятков микрон) зерен часто реализуется единичное скольжение, тогда как вблизи границ зерен наблюдается множественное скольжение, которое приводит к существенному упрочнению приграничных областей.

Доля границ зерен непосредственно связана с величиной зерна; понятно, что чем выше эта доля, тем большее сопротивление деформации должен оказывать материал. Указанная закономерность нашла отражение в знаменитом законе Холла–Петча:

141

где σs – предел текучести (или сопротивление деформации), d – средний размер зерна, σ0 , k, n – материальные параметры, при этом n > 0 (для ОЦК поликристаллов n, напри-

мер, равен примерно 0.5). Следует отметить, что закон Холла–Петча требует определенной модификациидля мелкозернистых материалов (с величиной зерна менее 1 мкм), что связано с иными механизмами деформирования таких материалов, в первую очередь, зернограничным скольжением. В этом состоянии сопротивление деформации оказывается примерно пропорциональным первой степени среднего размера зерна.

Велика роль границ зерен в диффузионных механизмах деформирования (диффузионной ползучести), поскольку коэффициент диффузии по границам на 4–5 порядков выше коэффициента внутризеренной диффузии.

Таким образом, даже из краткого рассмотрения дефектной структуры следует, что в реальных моно- и поликристаллах имеется весьма «богатый» набор механизмов неупругого деформирования и носителей этих механизмов. При этом чрезвычайно важно помнить, что эти носители (дефекты кристаллического строения) в процессе деформирования взаимодействуют друг с другом, еще более обогащая разнообразие «внутренней жизни» материала, делая её малоотличимой от жизни «живой» материи.

Микроструктура и внутренние переменные

Как отмечено выше, любая конститутивная модель, с достаточной степенью адекватности отражающая процессы неупругого деформирования, содержит в своей структуре параметры, описывающие состояние и эволюцию микроструктуры. При этом авторы теорий могут и не упоминать о собственно микроструктуре (как это делается в большинстве макрофеноменологических теориях), суть дела от этого не меняется. Это просто означает, что микроструктура и её эволюция в завуалированном виде присутствуют в экспериментально определяемых материальных функциях и константах. Например, даже законы упругости для одного и того же по химическому составу материала имеют отличающийся вид и материальные константы для монокристалла, поликристалла с хаотически ориентированными (по равномерному закону) зернами и того же поликристалла с текстурой деформации. Отсутствие упоминания при этом о микроструктуре – скорее дань сложившимся в механике традициям, чем пренебрежение данными о ней.

Более прозрачным представляется подход, основанный на явном введении в структуру конститутивной модели параметров, характеризующих эволюционирующую микроструктуру. В качестве таких параметров эффективно использование внутренних переменных. Из анализа приведенных выше особенностей формирования микроструктуры, носителей и механизмов неупругого деформирования при построении конститутивной модели на макроуровне (не включая в рассмотрение процессы фазовых твердотельных превращений, рекристаллизации) в число явных внутренних переменных представляется целесообразным включить следующие:

Параметры, описывающие размеры и форму зерен (при большей детализации – субзерен и фрагментов), размеры и состояние границ, параметры, определяющие сопротивление ЗГС и связь ЗГС с ВДС.

Параметры, отражающие фазовый и компонентный состав исследуемого материала, концентрацию примесей и легирующих элементов.

Параметры, характеризующие распределение ориентаций зерен в поликристалле (например, функция распределения ориентаций (ФРО)).

К числу внутренних неявных (скрытых) переменных могут быть отнесены следующие: Тип кристаллической решетки (количество систем скольжения), критическое напряжение сдвига и параметры, определяющие упрочнение при реализации ВДС.

142

Энергия дефекта упаковки, параметры, характеризующие ее зависимость от концентрации примесных и легирующих элементов.

Параметры, характеризующие распределение точечных дефектов (вакансий, межузельных атомов, атомов примесей и легирующих элементов) в зернах и границах; параметры, характеризующие диффузию в объеме, зернограничную и туннельную диффузию.

Параметры, описывающие дислокационные субструктуры. Параметры, характеризующие структуру межзеренных границ.

Очевидно, что введение даже этого неполного списка внутренних переменных в конститутивную модель может сделать последнюю малопригодной для решения реальных задач. Выбор конкретного набора внутренних переменных осуществляется исследователем исходя из требуемых целей, необходимой точности и детальности модели и должен быть основан на тщательном физическом анализе рассматриваемого процесса.

При реализации подхода, основанного на введении внутренних переменных, удобно использовать многоуровневые модели. Для примера рассмотрим схему реализации подхода для построения конститутивной модели поликристаллического тела на двухуровневой модели (макро- и мезоуровни). В качестве ОС макроуровня будем использовать соотношения теории пластического течения. Эволюционирующая поверхность текучести, по существу, является отражением на макроуровне происходящих на более низких масштабных уровнях перестроек микроструктуры. Примем для простоты, что рассматривается случай плоского деформированного состояния; будем считать, что в 3-мерном девиаторном пространстве напряжений поверхность текучести описывается эллипсоидом общего вида. Тогда в каждый момент нагружения поверхность текучести будет полностью определена положением центра эллипсоида (три параметра), ориентацией главных полуосей (три параметра – например, углы Эйлера) и величинами полуосей (три параметра). Выделенные девять параметров представляют собой явные внутренние переменные, поскольку, с одной стороны, они входят в собственно ОС конститутивной модели, а с другой – отражают микроструктуру материала. В случае учета поворотов кристаллических решеток зерен, входящих в поликристаллический агрегат, в качестве дополнительной внутренней переменной следует ввести функцию распределения ориентаций (ФРО), которая используется при переходе от мезоуровня к макроуровню в процедуре ориентационного осреднения.

Для построения поверхности текучести в каждый момент нагружения может использоваться любая из известных физических теорий пластичности, например, модель Бишопа–Хилла (подробно описана в главе 8, посвященной физической теории пластичности). Для построения модели на мезоуровне (уровне отдельных зерен) необходимо знание ориентаций отдельных зерен (по отношению к лабораторной системе координат), их размеров, критического напряжения сдвига и закона эволюции сопротивления деформации по системам скольжения; кроме того, модель мезоуровня включает алгоритм нахождения сдвигов по СС. Эти переменные по отношению в модели мезоуровня можно отнести к явным внутренним переменным, но по отно-

143

шению к модели макроуровня они выступают как скрытые (неявные) внутренние переменные. Переменные мезоуровня связаны между собой соотношениями выбранной физической теории пластичности, которые в рамках всей конститутивной модели могут рассматриваться как эволюционные уравнения. Наконец, построение поверхности текучести в каждый момент нагружения осуществляется на основе процедуры ориентационного осреднения, которую можно трактовать как замыкающие уравнения конститутивной модели.

Вопросы для самопроверки

1.Что является предметом теории пластичности?

2.Дайте определения фазы, границы, системы, структуры, макро- и микроструктуры.

3.Перечислите виды межатомных связей.

4.Запишите выражение общего вида потенциала межатомного взаимодействия (А.Ф. Иоффе).

5.Дайте определения поворотных и зеркально-поворотных осей симметрии.

6.Опишите три категории кристаллов и семь кристаллических систем.

7.Для чего вводятся кристаллографические системы координат?

8.Как определяются индексы Миллера кристаллографических направлений? Как определяется система кристаллографических направлений? Приведите примеры системы направлений для кубической решетки.

9.Как определяются индексы Миллера кристаллографических плоскостей? Как определяется система кристаллографических плоскостей? Приведите примеры системы плоскостей для кубической решетки.

10.Как определяются индексы Браве направлений и плоскостей? Приведите примеры систем кристаллографических направлений и плоскостей.

11.Как определяются сферические и стереографические проекции? Для чего они применяются?

12.Дайте определение полиморфных модификаций. Какие механизмы неупругого деформирования связаны с полиморфизмом?

13.Какие типы многокомпонентных материалов Вы знаете? В чем их отличие?

14.Приведите классификацию дефектов кристаллической решетки.

15.Опишите механизмы деформирования, обусловленные точечными дефектами.

16.Какие типы дислокаций Вам известны?

17.Опишите механизмы неупругого деформирования, связанные с дислокациями. Каковы источники дислокаций?

18.Рассмотрите применение соотношения (3.13) для консервативного и неконсервативного движения одиночной краевой и заданного движения одиночной винтовой дислокации.

19.Опишите механизмы взаимодействия дислокаций с точечными дефектами.

20.Какие типы дислокационных реакций Вам известны, как они влияют на процессы неупругого деформирования?

21.Дайте определение дисклинаций. Какие параметры характеризуют дисклинацию?

22.Какие типы дву- и трехмерных дефектов Вам известны?

23.Опишите механизм двойникования. Для каких материалов он имеет важное значение?

24.Какова роль границ в процессах деформирования? Какие виды ЗГС Вам известны?

25.Запишите закон Холла–Петча, проведите его анализ, приведите физическое объяснение.

144

26.Перечислите возможные наборы явных и неявных внутренних переменных, требуемые для описания поведения поликристаллов. На основе чего определяется конкретный выбор совокупности внутренних переменных при построении конститутивной модели?

27.Приведите пример построения конститутивной модели, основанный на введении внутренних переменных. Объясните, почему соответствующие внутренние переменные относятся к явным и неявным.

145

Если бы люди договорились об определениях, то споров бы не существовало.

Демокрит

4.Основные понятия и определения

Остановимся на некоторых основных понятиях и определениях, широко испо мых в литературе по теории пластичности. Отметим, что часть весьма важных опр ний и понятий, введенных в теорию пластичности А.А.Ильюшиным, содержится в г посвященной теории упругопластических процессов, и здесь не рассматривается.

В качестве меры напряженного состояния в большинстве случаев используется тензор (второго ранга) напряжений Коши σ и/или его девиатор S, в классических континуумах оба тензора являются симметричными. Почему именно тензор Коши является наиболее употребимым? Для ответа на этот вопрос достаточно вспомнить, что тензор напряжений Коши имеет весьма «прозрачный» физический смысл, энергетически сопряжен с тензором деформации скорости (т.е. его двойная свертка с тензором деформации скорости равна мощности напряжений), его компоненты легко определимы по силам и моментам при обработке экспериментальных данных. Конечно, это не означает запрета на применение других мер напряженного состояния (первого или второго тензоров Пиола–Кирхгоффа, тензора Био и др.[57]). В ряде случаев, особенно при постановке и решении геометрически нелинейных задач, удобно использовать меры напряженного состояния, определенные в терминах отсчетной конфигурации (например, второй тензор Пиола–Кирхгоффа). Однако для построения ОС лучше использовать меры напряжений, определенные в актуальной конфигурации, имеющие ясный физический смысл. Поскольку все меры напряженного состояния связаны между собой, после формулировки ОС в терминах, например, тензора напряжений Коши нетрудно перейти к ОС в терминах других мер напряжений. Основными скалярными характеристиками тензора напряжений Коши и его девиатора являются их

главные инварианты, обозначаемые соответственно как Ii (σ), Ii (S), i =1,3 , например:

где Е – единичный (метрический) тензор, det – определитель тензора.

В качестве меры деформированного состояния в основном применяются тензор малых деформаций ε и/или его девиатор e, их главные инварианты будут обозначаться соответ-

ственно как Ii (ε), Ii (e), i =1,3; тензор деформации скорости и его девиатор обозначаются соответственно как D и d. В теории пластичности часто используются так назы-

Нетрудно показать, что при одноосном растяжении–сжатии вдоль, например, оси х1 соответствующие компоненты тензора напряжений σ11 , тензора деформаций ε11 и тензора деформации скорости D11 равны σи , εи и dи .

146

Наряду с интенсивностью напряжений σu используется так называемая интенсивность

касательных напряжений

Заметим, что при чистом сдвиге интенсивность касательных н а- пряжений равна соответствующему напряжению сдвига.

В ряде работ применяется следующее (тригонометрическое) представление главных значений девиатора напряжений

где ωσ определяется из уравнения

тельных напряжений , действующих на октаэдрической площадке (равнонаклоненной к

ного напряжения σ3 , в силу чего параметр ωσ иногда называют углом вида напряженного состояния.

В качестве характеристики напряженного состояния часто применяется параметр (коэф-

фициент) Надаи–Лоде

147

С использованием известных из тензорного анализа соотношений для касательной τn и нормальной σn составляющих тензора напряжений на

площадке с единичной нормалью n можно показать справедливость системы неравенств

Нетрудно убедиться, что (4.8) определяет заштрихованную область на так называемой диаграмме Мора (рис.4.1). Иначе говоря, касательное τn и нормальное σn напряжения

на любой площадке с единичной нормалью n соответствуют точкам внутри заштрихованной области на диаграмме Мора.

Рис. 4.1. Диаграмма Мора

Вместо интенсивности деформаций εu в теории пластичности часто используется интен-

сивность деформаций сдвига

3εu 2( I2 (e))1/ 2 2e : e.

Аналогично приведенному выше, можно ввести геометрическую интерпретацию для девиатора деформаций e , главные значения которого определяются соотношениями:

где угол ωε определяется из уравнения

148

который может быть определен также согласно соотношению

Заметим, что в теории пластичности принимается одна из гипотез о декомпозиции тензора деформации (или деформации скорости) на упругую и пластическую составляющие. Для геометрически линейных теорий (в случае малых градиентов перемещений) с достаточной для практически важных задач точностью может быть использована гипотеза об аддитивном разложе-

нии тензора малых деформаций ε = εe + εp , где индексы «е» и «р» относятся соответственно к упругим и пластическим составляющим. Следует отметить, что в случае больших деформаций (точнее – больших градиентов перемещений) более корректной является гипотеза о мультипликативном разложении градиента места на упругую и пластическую составляющие; более подробно с данным вопросом можно ознакомиться, например, в [57]. Более часто используемой и достаточно точной для практически важных задач является гипотеза об аддитивном разложении тензора деформации скорости

приемлемая даже в случае больших градиентов перемещений.

Как отмечено ранее, при нагружении материал может деформироваться как упругим, так и пластическим образом (причем при пластическом деформировании могут изменяться упругие деформации; строго говоря, речь должна идти об упруго–пластических деформациях). Для построения математических моделей процессов неупругого деформирования весьма важным является определение условий разделения областей упругого и пластического (упругопластического) деформирования, поскольку каждый из этих видов деформирования описывается различными определяющими соотношениями.

Для случая одноосного нагружения данный вопрос решается относительно просто: материал деформируется упруго, пока напряжения в нем не достигнут некоторой характерной

для рассматриваемого материала величины (предела текучести σs ). Дальнейшее нагру-

жение приводит к необратимым изменениям формы образца, т.е. к пластическим деформациям. Если начиная с некоторого момента неупругого деформирования нагрузка уменьшается (образец разгружается), то, как показывают эксперименты, разгрузка достаточно точно описывается законом Гука. Таким образом, для установления вида деформирования – упругое или пластическое, – при одноосном нагружении достаточно иметь кривую деформирования данного материала, деформацию, напряжение и направление деформирования в данный момент времени.

Однако в большинстве случаев приходится иметь дело с многоосным напряженнодеформированным состоянием (НДС). Как в этом случае отделить область упругого от области неупругого деформирования? В этой ситуации в теории пластичности вводится шестимерное пространство напряжений или пятимерное пространство девиаторов напряжений (точки этого пространства определяются компонентами тензора напряжений или

149