Теория определяющих соотношений. Часть 2. Теория пластичности

параметры, отражающие структуру и механизмы деформирования на мезо- и микроуровнях. В качестве последних будут использоваться

валентности); вопрос о типе, физическом смысле и аргументах внутренних переменных решается в рамках конкретных теорий ОС.

Заметим, что, вероятно, одним из первых сходные понятия «структурного состояния» и «параметров состояния (структурных параметров)» ввел в МДТТ Ю.Н. Работнов [59] (правда, почему-то только для описания процессов ползучести), отмечая при этом: «Структурное состояние – это термин, чуждый, по существу, механике…». Параметрами состояния Ю.Н. Работнов называл некоторые количественные характеристики микро- и субмикроструктуры (например, плотность дислокаций). К сожалению, в дальнейшем изложении в качестве единственного структурного параметра, сохраненного в определяющем соотношении, фигурирует макроскопическая переменная (например, накопленная деформация ползучести или диссипируемая работа), т.е. данный подход не получил должного развития.

Напомним, что часть внутренних переменных непосредственно входит в структуру ОС данного масштабного уровня, такие переменные в дальнейшем

будем обозначать Jβe , β 1, e и для ясности называть их внутренними

«явными» (explicit) переменными. К числу таких переменных относятся, например, параметры, характеризующие форму, положение и размеры поверхности текучести в теориях пластического течения.

Вторая группа внутренних переменных (в большинстве случаев относящихся к более глубоким масштабным уровням) входит в качестве переменных в эволюционные уравнения (ЭУ); переменные этой группы

переменных первой группы, будем называть их внутренними «скрытыми (неявными)» (implicit) переменными. К числу таких переменных в теориях неупругого деформирования поликристаллов (мезо- и макроуровней) можно отнести, например, параметры, характеризующие плотность и конфигурацию краевых и винтовых дислокаций (дислокационную субструктуру). Полная совокупность внутренних переменных, таким

нетермомеханической (например, радиация, химические воздействия) природы.

90

Учитывая, что ОС в общем случае представляют собой ограничения (связи), накладываемые на параметры всех типов, ОС в достаточно общей форме может быть записано следующим образом:

где индексом «r» в левой части (1.3) обозначена та или иная объективная производная, чаще всего – коротационная [57], в правой части этот индекс играет роль просто обозначения отличного от (1.2) оператора.

Определяющие соотношения (1.2) или (1.3) должны быть дополнены [62] еще двумя группами соотношений – эволюционными и замыкающими. О второй группе будет сказано ниже. К эволюционным уравнениям, в отличие от традиционно принятых, здесь относятся соотношения только для

внутренних скрытых переменных Jiδ , δ 1, i . В общем виде изменение Jiδ

можно описать следующими эволюционными (кинетическими) уравнениями, которые можно записать разрешенными в терминах или самих внутренних переменных, или их объективных производных:

Для замыкания модели материала требуются уравнения, связывающие внутренние «явные» переменные, непосредственно входящие в ОС рассматриваемого масштабного уровня, с параметрами воздействия и внутренними скрытыми переменными. Общий вид таких замыкающих уравнений (ЗУ) мало отличается от (ЭУ) (1.4)–(1.5), однако они существенно различаются своим физическим «наполнением», подходами к их установлению и ролью в совокупности уравнений, модели материала, в связи с чем ЗУ выделяются в отдельную группу. Аналогично соотношениям (1.2)– (1.5) ЗУ могут быть записаны в одном из двух видов:

Таким образом, в качестве полной системы уравнений, описывающих поведение материала, или – конститутивной модели материала, – будет рассматриваться совокупность ОС (1.2) (или (1.3)), ЭУ (1.4)(или (1.5)) и ЗУ (1.6)(или (1.7)). Напомним [62], что приведенные выше уравнения конститутивной модели (1.1)–(1.7) могут быть представлены математически простыми соотношениями (например, тензорно–алгебраическими) или дифференциальными уравнениями первого порядка в отличие от

91

традиционных ОС, записанных в виде функционалов или более сложных операторов над историей воздействий. При этом предыстория воздействий не отбрасывается, ее «носителями» являются эволюционирующие внутренние переменные.

Заметим, что в некоторых теориях неупругого деформирования могут отсутствовать ЭУ (в принятом здесь смысле), ЭУ и ЗУ могут входить неявным образом в ОС. Правые части всех групп соотношений в качестве

аргументов могут содержать части параметров Pα , Jeγ , Jiδ , а в некоторых случаях в них могут полностью отсутствовать тот или иной тип параметров

(чаще всего – Jiδ ).

Отметим, что опыт работы авторов в области построения моделей материалов свидетельствует о предпочтительности использования соотношений скоростного (дифференциального) типа. Вероятно, это связано с большей наглядностью и физической «прозрачностью» установления формы уравнений для скоростей изменения тех или иных параметров «здесь и сейчас» по сравнению с «интегральными» соотношениями, требующими «запоминания» предыстории воздействий. Следует сказать, что большинство известных авторам моделей материалов (особенно – в теории пластичности) принадлежат именно скоростному типу. Однако авторы не исключают соотношения «интегрального» типа из рассмотрения. В дальнейшем для определенности примем скоростную форму соотношений и будем называть совокупность соотношений {(1.3), (1.5), (1.7)} конститутивной моделью материала, обозначая эту совокупность как (А):

Полагаем, что все соотношения (А) удовлетворяют аксиомам детерминизма и независимости от системы отсчета, сформулированным в общей теории определяющих соотношений [61, 62]. Что касается принципа локальности, ситуация несколько сложнее, поскольку в последние годы появилось большое количество работ по нелокальным теориям (в том числе – пластичности), поэтому здесь принцип локальности не вводится в число обязательных аксиом. Тем не менее будем считать, что входящие в Pα меры

деформированного состояния определяются градиентами места только первого порядка; нелокальные теории и теории для материалов порядка выше первого можно ввести за счет различного типа конститутивных операторов.

В качестве независимых переменных в МСС (в частности – в МДТТ и ТП) фигурируют координаты (в текущей (актуальной) конфигурации Kt положение материальных частиц определяется радиусом–вектором r) и

92

время t; при этом частицы материальных объектов полагаются непрерывным образом заполняющими некоторую область пространства R3 . Несмотря на использование в ТОС при построении моделей материалов нескольких масштабных уровней с присущими им носителями различных механизмов деформирования, с точки зрения физики в большинстве случаев имеющими дискретную природу, при описании процессов эволюции и взаимодействия этих носителей применяются непрерывные, «континуальные» характеристики, получаемые осреднением по представительным объемам (ПО) соответствующих масштабных (или структурных) уровней. Указанное обстоятельство следует учитывать при анализе и интерпретации результатов решения задач МСС. Следует отметить, что при исследовании поведения материалов с памятью обязательным является использование материального или лагранжева способов описания движения, основанных на рассмотрении движения выделенных материальных частиц. Для введения лагранжевых координат используется либо произвольная криволинейная система координат Oξ1ξ2ξ3 , либо декартова ортогональная OX1X2X3 (часто

выбираемая совпадающей с декартовой ортогональной системой координат системы отсчета, единой для всех конфигураций), вводимые в отсчетной конфигурации К0. Для краткости будем определять лагранжевы «метки» материальных частиц непрерывным радиус-вектором R0, определенным на конфигурации В0 тела В в отсчетной конфигурации К0. При использовании материального способа описания движения любую выделенную материальную частицу будем «метить» индексом Х.

Особое значение в теории ОС имеет понятие «время». Полагается, что физическое время, как и в классической МСС, является универсальным, не зависящим от движения выбранной системы отсчета, от наличия или отсутствия материальной субстанции и ее движения (иначе говоря, релятивистская МСС выходит за рамки настоящего курса). Определенные

сложности с использованием понятия «время» в теориях неупругого поведения материалов связаны с тем, что для ряда механизмов и процессов неупругого деформирования физическое время не является подходящей независимой переменной. Это относится к таким процессам, в

которых реакция материала не зависит от скоростей изменения воздействий и внутренних переменных, от того, как медленно или быстро будут изменяться последние (конечно, в определенных диапазонах изменения скоростей). В теориях, описывающих подобные процессы, физическое время в качестве независимой переменной, как правило, не используется; в первую очередь к таковым относится классическая теория пластичности. Чем обусловлена подобная ситуация? Классическая ТП, как уже отмечено выше, изначально формулировалась для узкого диапазона параметров воздействия (температур, скоростей деформации), для которого несущественными являются процессы диффузионного типа. Если в некоторый момент времени прекращаются изменения внешних воздействий, то рассматриваемая система

93

может находиться в этом «замороженном» состоянии как угодно долго. Понятно, что применение в качестве независимой переменной физического времени в таких ситуациях малопригодно. Взамен физического времени в подобных теориях вводится некоторый неубывающий параметр, служащий для определения последовательности стадий (состояний) протекающего процесса. Примерами таких переменных являются длина дуги траектории (пластической) деформации в теории пластичности, внутреннее время в эндохронных теориях, термодинамическое время (А.А. Вакуленко [5]) в широком классе теорий неупругого деформирования.

Вто же время физическое время является существенным параметром для чрезвычайно широкого класса процессов неупругого деформирования материалов, в особенности – связанных с диффузионными механизмами их реализации. К числу теорий, описывающих подобные процессы, относятся теории вязких жидкостей, вязкопластичности, вязкоупругости, ползучести и другие; теории, содержащие в качестве независимого аргумента физическое время в явной форме, в МСС принято называть реологическими. В силу вышесказанного физическое время не может быть исключено из числа существенных независимых переменных во всех теориях, в каждом конкретном случае требуется тщательный физический анализ механизмов, определяющих поведение материала в тех или иных диапазонах изменения параметров воздействия и их скоростей.

Вкаких же случаях можно переходить к указанному неубывающему параметру? Как представляется, в качестве необходимого условия возможности перехода от физического времени к неубывающему параметру может служить малость времен релаксации для анализируемых процессов по сравнению с временами существенного изменения параметров воздействия (или большая скорость релаксации по сравнению со скоростью изменения параметров воздействия). Иначе говоря, после изменения воздействий система должна достаточно быстро приходить в термодинамическое равновесие, до того, как воздействия претерпят сколь-нибудь существенные изменения. Вопрос о достаточности этого условия остается открытым.

Всвязи с вышесказанным в дальнейшем изложении t будет обозначать либо физическое время, либо некоторый неубывающий параметр – аналог времени. Смысл «времени» t, если это не следует из контекста, будет поясняться отдельно. При рассмотрении общих теоретических вопросов построения ОС правомочно пользоваться термином «время», не раскрывая его конкретного смысла.

Предлагаемое пособие ориентировано в первую очередь и главным образом на студентов, обучающихся по естественно-научным (особенно – механическим) специальностям и направлениям; вероятно, пособие будет полезно и аспирантам соответствующих специальностей. В то же время авторы попытались в достаточно краткой форме изложить «физический базис» рассматриваемых процессов и эффектов, наблюдаемых механиками в макроэкспериментах. Основной причиной такого подбора материала

94

является существующая (по мнению авторов) необходимость междисплинарной подготовки будущих механиков, привитие физического видения наблюдаемых в макроэкспериментах процессов, развитие навыков использования при разработке моделей материалов огромного материала о механизмах и процессах мезо- и микроуровней, накопленного физиками и материаловедами.

Авторы выражают свою искреннюю признательность профессору Р.А. Васину, взявшему на себя труд скрупулезного анализа рукописи; надеемся, что многочисленные, длительные обсуждения наиболее важных аспектов пособия позволили существенно улучшить его содержание (если это удалось не в полной мере – то вина лежит только на авторах). Авторы благодарны также сотрудникам Института механики сплошной среды УрО РАН и его директору академику В.П. Матвеенко за поддержку и ценные советы в процессе подготовки рукописи. Признательность и благодарность авторов – Ю.И. Кадашевичу и С.П. Помыткину, благодаря которым глава 7, посвященная эндохронной теории пластичности, приобрела более современное наполнение.

95

…Для сохранения контакта с Матерью–Природой необходимы независимые [от господствующих теоретических воззрений] экспериментальные исследования.

Дж.Ф. Белл

2. Пластичность с позиций макроскопических опытов

Механика, равно как и все естественно-научные дисциплины, в значительной мере является «эмпирической» областью знаний, основанной на результатах макроэкспериментов (т.е. полученных на образцах макроскопических размеров), накопленных как в лабораторный испытаниях, так и в практической деятельности человечества за сотни и тысячи лет [2]. Несмотря на то, что в последние 15–20 лет изучение процессов пластического деформирования весьма интенсивно ведется на более низких масштабных уровнях (мезоскопическом, микроскопическом и даже атомарном), все более широкое применение находят теории соответствующих уровней, макроэксперименты не потеряли своего значения и в наши дни. Почему? Во-первых, для решения практически важных задач проектирования технологических процессов в подавляющем большинстве случаев используются теории, основанные на макрофеноменологическом подходе, основой которого являются именно макроэксперименты. Во-вторых, идентификация и верификация «более тонких» моделей поведения материала (включая многоуровневые) немыслима без проведения соответствующих макроэкспериментов. В связи с данным обстоятельством представляется целесообразным кратко остановиться на некоторых экспериментальных результатах исследования поведения материалов при их нагружении (деформировании), в частности на ряде интересных эффектов, не нашедших до настоящего времени удовлетворительного описания в моделях материалов, в силу чего представляющих собой весьма важный и интересный предмет будущих исследований.

Наиболее простыми являются эксперименты по одноосному нагружению сплошных цилиндрических (или прямоугольного поперечного сечения) образцов (опыты на растяже- ние-сжатие). Следует подчеркнуть, что подавляющее большинство экспериментов основано на предположении о макроскопической однородности параметров, характеризующих исследуемый процесс (напряжения, деформации, температура и т.д.), во всем объеме рабочей части образца. Действительно, в экспериментах измеряются некоторые интегральные характеристики процесса (удлинения, углы закручивания, силы и моменты, действующие на образец). Для перехода к локальным характеристикам (деформациям, напряжениям и т.д.) явно или неявно используется гипотеза об однородности; например, при одноосном нагружении образца продольная компонента тензора напряжений Коши определяется как частное от деления действующего продольного усилия на текущую площадь поперечного сечения. Локализация деформации на макроскопических масштабах (например, образование так называемой шейки) приводит к возникновению в окрестности области локализации сложного напряженно-деформированного состояния и неприменимости для обработки столь простых соотношений. В дальнейшем, если не оговаривается обратного, речь будет идти только об экспериментах, в которых с необходимой точностью выполняется гипотеза о макроскопической однородности. В то же время необходимо иметь в виду, что процессы неупругого деформирования на мезоскопическом и более низких масштабных уровнях всегда идут с нарушением гипотезы однородности, по своей сути это процессы локализованные.

Различают два основных типа экспериментов и соответствующих испытательных машин: «жесткое» и «мягкое» нагружение. В машинах «жесткого» (или кинематического) типа

96

образцу предписывается определенная история деформации, откликом являются усилия, далее пересчитываемые в компоненты тензора напряжений. В машинах «мягкого» (силового) типа задается некоторая история изменения нагрузок (напряжений), а реакцией материала образца является история изменения характерных геометрических параметров (длин и углов между материальными отрезками), пересчитываемые затем в компоненты тех или иных тензоров деформации. Следует отметить, что получаемые для одних и тех же материалов результаты экспериментальных исследований на машинах разных типов могут отличаться весьма существенно; некоторые примеры будут приведены ниже. На рис. 2.1 приведена типичная кривая деформирования упругопластического тела, для определенности – при растяжении (например, стального низкоуглеродистого поликристаллического образца в изотермических условиях при умеренных скоростях деформации).

Через ε, σ обозначены (одноосные) деформации и напряжения; σp , σs – предел пропор-

циональности (до достижения этого напряжения связь напряжения и деформации можно принять линейной, тангенс угла наклона прямой равен модулю упругости) и предел текучести (напряжения, при котором в образце возникают остаточные деформации принятой по соглашению величины, обычно 0.2% или 0.02%; в соответствии с принятым допуском

предел текучести иногда обозначается как σ0.2 или σ0.02 ); текущее напряжение при не-

упругом деформировании принято называть сопротивлением (пластическому) деформированию . На типичной для поликристаллов диаграмме σ - ε (рис.2.1) можно выделить несколько участков: упругого деформирования, слабого упрочнения (или даже отсутствия упрочнения, так называемой площадки текучести), интенсивного упрочнения и локализации деформации с последующим разрушением. На начальном участке деформирования возможно появление так называемого «зуба текучести» (фиксируемого только на машинах кинематического типа), изображенного на рис.2.1 пунктирной линией; физически его появление может быть обусловлено либо прорывом активированными дислокациями так называемых дислокаций леса, либо отрывом дислокаций от окружающих их атмосфер примесных атомов (более подробно физические механизмы обсуждаются в гл.3). После пластического деформирования до некоторой точки В на диаграмме последующая разгрузка (ВА) с приемлемой точностью может быть описана упругим законом с модулем упругости, равным первоначальному.

97

Следует отметить, что при высокоточных исследованиях (например, локальной потери устойчивости упругопластического деформирования) необходимо учитывать определенную условность понятий «жесткого» и «мягкого» нагружений. И в том, и в другом случае заданная программа нагружения выполняется по показаниям датчиков, расположенных на некотором расстоянии от рабочей части образца, на которой производятся замеры характеристик отклика. Между ними находится нагружающее устройство, например захваты испытательной машины, «нерабочая» часть образца. Нагружающее устройство имеет конечную жесткость, которую следует учитывать при рассмотрении «тонких» эффектов. Как уже отмечалось выше, линейная зависимость σ - ε на упругом участке и при разгрузке может быть принята как достаточно точная для решения инженерных задач, но даже при весьма малых (сотые и тысячные доли процента) деформациях, несмотря на обратимость деформаций, в многочисленных экспериментах на широком круге материалов показано отклонение зависимости напряжение–деформация от линейной (Я.Бернулли (1690),

Кулон (1784), Дюпен (1815), Герстнер (1824), Ходкинсон (1824–1844), Вертгейм (1844),

Кельвин (1865), Баушингер (1879) и многие другие [2]). В этих экспериментах было обнаружено также снижение модуля упругости при разгрузке после деформирования и вторичной нагрузке; при этом исследователи обнаружили остаточные деформации даже при очень малых деформациях (порядка 10-5). Большинство из них были солидарны с точкой зрения, весьма четко высказанной И. Ходкинсоном: «…Даже самые малые нагрузки производят, по-видимому, остаточные деформации; ни одно тело не возвращается к своей первоначальной форме после того, как в его конфигурации были произведены какие-либо изменения» (цитируется по [2]). Многими исследователями еще в XIX веке высказывалась мысль о наличии остаточных деформаций при нагружении напряжениями, близкими к нулю, и величина этих остаточных деформаций, измеряемых при малых напряжениях, ограничивается снизу только возможностями измерений; говоря современным языком, речь идет об отсутствии в материалах предела текучести, точнее – его близость нулю. С точки зрения механической данный факт можно объяснить появлением в процессе изготовления образца остаточных напряжений мезо- и микроуровня. Учитывая, что основным механизмом пластической деформации является движение линейных дефектов – дислокаций, с физической точки зрения это означает различие в разных частях поликристалла критических напряжений активации дислокаций (подробнее – см. гл.3).

Отметим еще один весьма интересный результат, полученный К.К. Персоном еще в 1848 году [2]. Он предположил наличие связи между модулями упругости металлов и их скрытой теплотой плавления. Используя экспериментальные данные Г.Вертгейма по модулям упругости, Персон для пары цинк–олово получил отношение модулей упругости 2.17(отношение значений скрытой теплоты плавления 1.97), для пары цинк–свинец – 4.80 (5.23), олово–свинец – 2.20 (2.65), цинк–висмут – 2.28 (2.22). Это можно считать подтверждением предположения, что модуль упругости определяется главным образом силами межатомного взаимодействия, которыми определяется и скрытая теплота плавления. Несмотря на отмеченные отклонения от линейной упругости даже при малых напряжениях, закон Гука остается одним из наиболее широко используемых при расчетах широкого класса реальных конструкций. Почему? Совершенно очевидно, что дело не в том, что специалисты не знакомы с указанными фактами, а в проблеме сложности решения реальных задач, являющихся, как правило, нелинейными в силу контактных граничных условий, геометрической нелинейности. Внесение нелинейности физических уравнений в постановку, а затем – в алгоритм и процедуру решения приведет к еще большим сложностям. При этом зачастую исчезает возможность аналитического решения задач теории упругости, что также не подвигает исследователей к применению нелинейных соотношений на ранних стадиях деформирования. Пожалуй, самым главным аргументом в пользу применения линейных соотношений упругости является вполне приемлемая точность решений для подавляющего числа реальных конструкций.

98

Вероятно, начало систематических исследований процессов пластического течения следует связать прежде всего с именем А.Э.Треска. Начиная с 1863 года он в течение 7 лет провел огромное количество экспериментальных исследований на широком классе материалов (свинец, медь, лед, парафин и др.) для различных процессов (экструзия через сквозные отверстия различной формы, осадка, обратная экструзия, пробивка листов цилиндрическим пуансоном). Анализируя результаты экспериментов, Треска пришел к нескольким выводам, важнейшими из которых представляются следующие. 1. Все твердые тела при достижении достаточно высоких давлений обладают способностью к течению подобно жидкостям. 2. Для всех твердых тел существует характерная величина касательного напряжения, при котором они начинают пластически течь. 3. Существуют три фазы деформирования твердых тел: упругая, упрочнения и идеальной пластичности. Одним из первых Треска исследовал также вопрос о доле работы пластического деформирования, переходящей в тепло; по его результатам от 70 до 95% работы превращалось в тепловую энергию. Справедливости ради следует отметить, что первые исследования тепловыделения при больших пластических деформациях были проведены К.Л.Бертоле в 1809 году. Эффекты тепловыделения и их влияние на процесс пластического деформирования интенсивно изучались и в ХХ веке такими известными механиками, как Д.Т.Тейлор, Х.Квинни, О.Диллон, в работах которых было показано, что «выход тепла» составляет более 90% от затраченной на формоизменение работы.

Весьма существенный вклад в экспериментальные исследования неупругого деформирования материалов был внесен И.Баушингером, возглавлявшем с 1871 по 1893 гг. механи- ко-техническую лабораторию Королевской высшей технической школы в Мюнхене. Для проведения прецизионных измерений им был изобретен зеркальный экстензометр, позволивший достичь точности в измерении деформаций до 7 10-7 (!). Баушингером были проведены многочисленные эксперименты по реверсивному нагружению. В частности, было показано, что если после нагружения растяжением и разгрузки продолжить нагружение в противоположном начальному нагружению направлении (в данном случае – по сжатию образца), пластические деформации сжатия для большинства поликристаллических образцов появляются при напряжении, меньшем (по модулю), чем предел текучести пер-

вичного нагружения σs ; это явление хорошо известно в теории пластичности и носит на-

звание эффекта Баушингера.

Как отмечено выше, в классической теории пластичности физическое время, как правило, не используется, оно заменяется некоторым неубывающим параметром (обычно – длиной дуги деформации). В связи с этим в ОС отсутствуют и скорости деформации. Однако в реальных условиях нетрудно обнаружить зависимость поведения материала от скорости деформации (даже при относительно небольших скоростях деформации, порядка 101– 102с–1), что приводит механиков к необходимости исследования скоростных эффектов и формулировки соответствующих ОС (например, вязкопластических). Первым обратил внимание на влияние вязкости на процессы пластического течения Р.Г. Тарстон. В опубликованных им в 1876 году результатах экспериментальных исследований отмечалось, что сопротивление деформации при увеличении скорости деформации неизменно увеличивается. На рис.2.2 схематичные диаграммы σ - ε приведены для нескольких скоростей деформирования ( ξ – скорость одноосной деформации); видно, что повышение скорости

деформации приводит к увеличению напряжения деформирования. Следует отметить, что для некоторых материалов имеются данные экспериментов об их аномальном поведении; например, К.Ф.Элам в опытах на армко–железе получила более низкое значение сопротивления деформации при повышении скорости деформации (кроме начального участка деформирования).

Значительное влияние на процессы деформирования оказывает температура, которую в простейшем случае можно рассматривать как параметр процесса (например, полагая деформирование изотермическим). Для большинства поликристаллов в условиях отсутствия

99