Сопротивление материалов конспект лекций
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
А.П. Жученков, М.Л. Зинштейн, А.М. Ханов
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Допущено Учебно-методическим объединением по профессионально-педагогическому образованию в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 051000.62 – Профессиональное обучение (по отраслям)
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2014
УДК 620.10 Ж94
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор Г.Л. Колмогоров (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);
доктор технических наук, профессор В.Н. Аптуков (Пермский государственный национальный исследовательский университет)
Жученков, А.П.
Ж94 Сопротивление материалов : конспект лекций : учеб. пособие / А.П. Жученков, М.Л. Зинштейн, А.М. Ханов. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. – 216 с.
ISBN 978-5-398-01311-5
Рассмотрены следующие разделы: растяжение-сжатие, кручение, определение механических свойств, геометрические характеристики плоских сечений, кручение, изгиб, расчет на прочность и определение перемещений, статически неопределимые системы, теория напряженного состояния, косой изгиб, внецентренное растяжение-сжатие, изгиб с кручением, усталость материалов, механика разрушения, устойчивость, безмоментная теория осесимметричных оболочек, задачи динамики.
Лекции «Усталость материалов и элементов конструкций» и «Основы механики разрушения» написаны Н.Н. Вассерманом.
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Машиностроение и технологическое оборудование».
УДК 620.10
ISBN 978-5-398-01311-5 |
3 |
© ПНИПУ, 2014 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Лекция 1. Введение в курс «Сопротивление материалов».............................. |
6 |
1.1. Общие определения.................................................................................... |
6 |
1.2. Основные понятия. Метод сечения........................................................... |
7 |
1.3. Понятие о напряжениях............................................................................. |
9 |
1.4. Деформации и перемещения ..................................................................... |
11 |
1.5. Основные гипотезы предмета «Сопротивление материалов»................ |
12 |
Лекция 2. Растяжение и сжатие........................................................................ |
13 |
2.1. Продольные силы в поперечных сечениях .............................................. |
13 |
2.2. Напряжения, деформации и перемещения............................................... |
14 |
2.3. Примеры расчета статически определимых систем растяжения |
|
и сжатия.............................................................................................................. |
18 |
Лекция 3. Определение механических свойств конструкционных |
|
материалов......................................................................................................... |
24 |
3.1. Испытание на растяжение образцов малоуглеродистой стали.............. |
24 |
3.2. Характеристики прочности........................................................................ |
26 |
3.3. Характеристики пластичности.................................................................. |
27 |
3.4. Испытание на сжатие хрупких и пластичных материалов..................... |
27 |
Лекция 4. Основы теории напряженного и деформационного состояния |
|
в точке. Гипотезы прочности............................................................................. |
29 |
4.1. Напряженное состояние в точке и его виды............................................ |
29 |
4.2. Исследование плоского напряженного состояния.................................. |
30 |
4.3. Главные площадки. Главные напряжения................................................ |
33 |
4.4. Объемное напряженное состояние ........................................................... |
35 |
4.5. Теории прочности....................................................................................... |
38 |
4.6. Чистый сдвиг............................................................................................... |
42 |
Лекция 5. Геометрические характеристики плоских сечений......................... |
47 |
5.1. Общие определения.................................................................................... |
47 |
5.2. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей......... |
49 |
5.3. Изменение моментов инерции при повороте осей координат............... |
49 |
5.4. Определение положения главных осей и главных моментов инерции.... |
50 |
5.5. Понятие о радиусе инерции....................................................................... |
51 |
5.6. Методика определения положения главных осей и вычисления |
|
главных моментов инерции, радиусов инерции............................................. |
51 |
Лекция 6. Кручение.......................................................................................... |
54 |
6.1. Понятие о крутящем моменте. Внешние нагрузки, вызывающие |
|
кручение ............................................................................................................. |
54 |
6.2. Внутренние силовые факторы. Эпюра крутящих моментов.................. |
54 |
6.3. Определение напряжений и деформаций при кручении вала |
|
круглого сечения................................................................................................ |
57 |
3
6.4. Кручение вала прямоугольного сечения.................................................. |
58 |
6.5. Рациональные формы сечений при кручении......................................... |
60 |
6.6. Рациональное расположение силовых элементов................................... |
60 |
Лекция 7. Изгиб................................................................................................ |
62 |
7.1. Общие понятия........................................................................................... |
62 |
7.2. Правила проверки (построения) эпюр Мх и Qy ........................................ |
65 |
7.3. Условие прочности при чистом изгибе. Рациональная форма |
|
поперечного сечения при изгибе..................................................................... |
67 |
7.4. Напряжения при поперечном изгибе ....................................................... |
69 |
7.5. Распределение касательных напряжений в поперечном сечении......... |
69 |
Лекция 8. Изгиб. Определение перемещений.................................................. |
75 |
8.1. Основные понятия...................................................................................... |
75 |
8.2. Дифференциальное уравнение упругой линии балки. |
|
Дифференциальные зависимости. Универсальное уравнение упругой |
|
линии балки....................................................................................................... |
76 |
8.3. Определение перемещений методом Мора............................................. |
79 |
8.4. Определение перемещений способом Верещагина................................ |
81 |
Лекция 9. Расчет статически неопределимых плоских систем...................... |
87 |
9.1. Понятие о статически неопределимых системах, степени |
|
статической неопределимости, основной и эквивалентной системах, |
|
методе сил.......................................................................................................... |
87 |
9.2. Канонические уравнения метода сил....................................................... |
90 |
Лекция 10. Косой изгиб.................................................................................... |
97 |
10.1. Напряжение при плоском косом изгибе ................................................ |
97 |
10.2. Положение нейтральной линии. Расчет на прочность......................... |
98 |
10.3. Условие прочности .................................................................................. |
99 |
10.4. Определение перемещений при косом изгибе...................................... |
101 |
Лекция 11. Внецентренное растяжение (сжатие) ............................................ |
104 |
11.1. Вычисление напряжений......................................................................... |
104 |
11.2. Определение положения нейтральной линии. Условие прочности.... |
105 |
11.3. Ядро сечения............................................................................................. |
107 |
Лекция 12. Изгиб с кручением......................................................................... |
110 |
12.1. Изгиб с кручением бруса круглого сечения.......................................... |
110 |
12.2. Совместное действие изгиба и кручения бруса |
|
прямоугольного сечения................................................................................... |
112 |
Лекция 13. Усталость материалов и элементов конструкций........................ |
117 |
13.1. Явление усталости ................................................................................... |
117 |
13.2. Характеристики цикла............................................................................. |
118 |
13.3. Механические характеристики сопротивления усталости................... |
119 |
13.4. Диаграмма предельных амплитуд и ее схематизация.......................... |
122 |
4
13.5. Влияние различных факторов на сопротивление усталости................ |
124 |
13.6. Определение предела выносливости детали.......................................... |
129 |
13.7. Диаграмма предельных амплитуд для детали ....................................... |
130 |
13.8. Сопротивление усталости при асимметричных циклах нагружения.. |
131 |
13.9. Сопротивление усталости при сложном напряженном состоянии...... |
132 |
Лекция 14. Основы механики разрушения ...................................................... |
134 |
14.1. Оценка прочности тел с трещинами....................................................... |
134 |
14.2. Определение характеристик статической трещиностойкости............. |
144 |
14.3. Характеристики трещиностойкости при циклическом нагружении... |
148 |
Лекция 15. Устойчивость деформируемых систем ......................................... |
150 |
15.1. Основные понятия.................................................................................... |
150 |
15.2. Устойчивость центрально сжатого стержня.......................................... |
151 |
15.3. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня...... |
152 |
15.4. Предел применимости формулы Эйлера. График критических |
|
напряжений........................................................................................................ |
153 |
15.5. Расчет на устойчивость вертикального стержня под действием |
|
собственного веса.............................................................................................. |
155 |
15.6. Практический метод расчета на устойчивость сжатых стержней ....... |
156 |
15.7. Выбор материала и рациональных форм поперечных сечений |
|
сжатых стержней............................................................................................... |
158 |
Лекция 16. Безмоментная теория напряжений тонкостенных |
|
осесимметричных оболочек .............................................................................. |
162 |
16.1. Основные понятия.................................................................................... |
162 |
16.2. Определение напряжений в симметричных оболочках |
|
по безмоментной теории................................................................................... |
162 |
16.3. Методика расчета на прочность (проектировочный расчет)................ |
164 |
Лекция 17. Задачи динамики в сопротивлении материалов............................ |
172 |
17.1. Основные понятия.................................................................................... |
172 |
17.2. Силы инерции........................................................................................... |
172 |
Лекция 18. Расчеты на ударную нагрузку........................................................ |
179 |
18.1. Вертикальный удар................................................................................... |
179 |
18.2. Горизонтальный удар............................................................................... |
182 |
18.3. Учет массы ударяемого тела.................................................................... |
183 |
18.4. Рекомендации по снижению динамических напряжений при ударе... |
184 |
18.5. Ударная вязкость...................................................................................... |
185 |
18.6. Примеры расчета на ударные нагрузки.................................................. |
185 |
Список литературы......................................................................................... |
189 |
Приложение........................................................................................................... |
190 |
5
Лекция 1. ВВЕДЕНИЕ В КУРС «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»
1.1. Общие определения
При проектировании инженерных сооружений и машин вопрос о выборе размеров отдельных частей с позиции прочности играет весьма важную роль. Для решения этой задачи следует, прежде всего, выяснить те внешние усилия, которые действуют на сооружения, затем по этим усилиям необходимо определить внутренние усилия, возникающие в частях сооружений и машин. Для обеспечения прочности и долговечности сооружения нужно выбрать размеры частей так, чтобы внутренние усилия не превосходили известных норм, устанавливаемых для различных материалов на основании опытного исследования их прочности.
Сопротивление материалов – это наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов машин и сооружений.
Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей
идеталей выдерживать определенную нагрузку, не разрушаясь.
Вотличие от курса теоретической механики, сопротивление материалов наделяет реальные тела свойствами деформируемости – изменяемости геометрических размеров и формы. В связи с этим кроме расчетов на прочность во многих случаях производят расчеты на жесткость и устойчивость.
Под жесткостью подразумевают способность конструкции и ее элементов противостоять внешним нагрузкам с точки зрения деформаций (изменения формы, размеров).
Под устойчивостью понимается способность конструкции сохранять первоначальную форму упругого равновесия при воздействии внешних нагрузок.
Сопротивление материалов рассматривает методы расчетов элементов конструкции и вопросы расчета некоторых простейших
6
конструкций. Вопросами расчетов на прочность, жесткость и устойчивость самих конструкций занимается строительная механика.
Справочные материалы по курсу приведены в приложении.
1.2. Основные понятия. Метод сечения
Основными понятиями науки о сопротивлении материалов являются понятия реального объекта и расчетной схемы, внешних
ивнутренних силовых факторов, геометрических характеристик, напряжений (полное, нормальное, касательное), деформаций и перемещений (линейные, угловые). Сюда относятся также основные физические законы, общие гипотезы и методы, при помощи которых устанавливаются зависимости между этими понятиями.
При выборе расчетной схемы в геометрию реального объекта вводятся упрощения. Основным упрощающим приемом в сопротивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схеме стержня, оболочки, пластины, массива.
Под стержнем понимается тело, одно из измерений которого (длина) значительно больше двух других. Геометрия стержня может быть образована путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой. Эта кривая называется осью стержня, а плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется поперечным сечением. Для стержня обозначим продольную ось z, в поперечном сечении главные оси – x и y.
Оболочка – такое геометрическое тело, у которого одно из измерений (толщина) значительно меньше других (радиусов кривизны
игабаритных размеров). К оболочкам могут быть отнесены стенки баков, купола и др.
Внешние силы, действующие на реальный объект, чаще всего известны. Обычно необходимо определить внутренние силы (результат взаимодействия между отдельными частями данного тела), которые неизвестны по величине и направлению, но знание которых необходимо для прочностных и деформационных расчетов. Определение внутренних сил осуществляется с помощью так называемого метода сечений, сущность которого заключается в следующем:
7
1.Мысленно разрезают тело по интересующему сечению.
2.Отбрасывают одну из частей (безразлично, какую).
3.Заменяют действие отброшенной части тела на оставшуюся системой сил, которая в данном случае переходит в разряд внешних. Силы упругости по принципу действия и противодействия всегда взаимны и представляют собой непрерывно распределенную по сечению систему сил. Их значение и ориентация в каждой точке сечения произвольны, зависят от ориентации сечения относительно тела, величины и направления внешних сил, геометрических размеров те-
ла. Внутренние силы можно привести к главному вектору R и глав-
ному моменту M . За точку приведения обычно принимают центр тяжести сечения. Выбрав систему координат х, у, z (z – продольная ось по нормали к поперечному сечению, х и у – в плоскости этого сечения) и начало системы в центре тяжести, обозначим проекцию
главного вектора R на координатные оси через N, Qx, Qy, а проекции
главного момента M – Мх, Му, Мz. Эти три силы и три момента называют внутренними силовыми факторами в сечении: N – продольная сила, Qx, Qy – поперечные силы, Mz – крутящий момент, Mx, My – изгибающие моменты.
4. Внутренние силы находятся в равновесии с внешними силами, они могут быть определены из уравнений равновесия статики:
∑Fz = 0, |
∑Fy = 0, |
∑Fx = 0, |
(1.1) |
∑M x = 0, |
∑M y = 0, |
∑M z = 0. |
(1.2) |
Внутренний силовой фактор в сечении численно равен алгебраической сумме соответствующих внешних сил, действующих с одной стороны от сечения.
Классификация основных видов нагружения:
Внутренний силовой фактор |
Вид нагружения |
N |
Растяжение или сжатие |
Q |
Сдвиг |
|
|
M x или M y |
Чистый изгиб |
|
|
8
Внутренний силовой фактор |
Вид нагружения |
||
Mк (M z ) |
Кручение |
||
|
|
||
M x (Qy ) или M y (Qx ) |
Поперечный изгиб |
||
|
|
|
|
M x |
и M y |
Косой изгиб |
|
N, |
M x и M y |
Сложный изгиб с растяжением-сжатием, |
|
внецентренное растяжение-сжатие |
|||
|
|
||
Mк, |
M x и M y |
Изгиб с кручением |
|
Q и Mк |
Сдвиг с кручением |
||
Общим случаем нагружения называют случай, когда в поперечном сечении возникают все шесть внутренних силовых факторов.
К особым видам нагружения следует отнести смятие, когда деформация носит местный характер, не распространяясь на все тело, и продольный изгиб (частный случай общего явления потери устойчивости).
1.3. Понятие о напряжениях
Величина внутренних силовых факторов не отражает интенсивности напряженного состояния тела, близости к опасному состоянию (разрушению). Для оценки интенсивности внутренних сил вводится критерий (числовая мера), называемый напряжением. Если в поперечном сечении А некоторого тела выделим элементарную площадку ∆А
(рис. 1.1), в пределах которой выяв- |
|
|
у |
||||||
лена внутренняя сила ∆R, то за |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
среднее напряжение на |
площадке |
|
|
∆А |
|||||
∆А может быть принято отношение |
∆ |
|
|||||||
R |
|||||||||
z |
|
||||||||
p |
= |
∆ |
R |
|
. |
(1.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ср |
|
∆А |
|
|
|
|
|||
Истинное напряжение в точке |
x |
||
Рис. 1.1 |
|||
можно определить, |
уменьшая пло- |
||
|
|||
щадку:
9
|
∆ |
|
. |
|
p = lim |
R |
(1.4) |
||
∆A→0 |
∆A |
|
||
Векторная величина р представляет собой полное напряжение
в точке. Размерность напряжения принимается в паскалях или мегапаскалях. Полное напряжение обычно в расчетах не используется, а определяется его нормальная к сечению – составляющая σ, нормальное напряжение, а также касательные τ′, τ″ – касательные напряжения (рис. 1.2). Полные напряжения, приходящиеся на единицу площади, можно выразить через нормальные и касательные напряжения:
p = σ2 + τ2 . |
(1.5) |
Между действующими напряжениями и внутренними силовыми факторами существует следующая связь:
|
у |
|
N = ∫σdА, M х = ∫ yσd А, |
|
|
|
|
А |
А |
|
τ′′ |
|
Qу = ∫τ′′d А, M у = ∫ xσd А, (1.6) |
|
σ |
p |
τ |
||
А |
|
А |
А |
|
z |
τ′ |
|
Qх = ∫τ′d А, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
А |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.2 |
Mк = ∫(τ′′x −τ′y)d А. |
||
|
|
|
|
А |
Нормальные и касательные напряжения являются функцией внутренних силовых факторов и геометрических характеристик сечения. Эти напряжения, вычисленные по соответствующим формулам, можно назвать фактическими или рабочими.
Наибольшее значение фактических напряжений ограничено предельным напряжением, при котором материал разрушается или появляются недопустимые пластические деформации. Первая из этих границ существует у любого хрупкого материала и называется пре-
10