Сопротивление материалов конспект лекций

3. Определяют реакции на опорах для вспомогательной системы и, соблюдая тот же обход участков, что и в грузовом состоянии, записывают на i-х участках Мi , Ni , Mki .

4.Вычисляют интегралы Мора по участкам в пределах всей системы. В соответствии с вышеуказанным при расчете плоских балок, рам и арок исходят из зависимости (8.10), при расчете ферм – из

(8.12), при кручении – из (8.13).

5.Если искомое перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы; если отрицательный знак – действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.

8.4.Определение перемещений способом Верещагина

Рассматриваемый подход представляет собою графоаналитический способ для конструкций, состоящих из прямолинейных стержней с постоянным поперечным участком на i-м участке. Интегралы Мора удобно вычислять по формуле Верещагина

где ωi – площадь эпюры грузового силового фактора; MСi – значение ординаты единичного силового фактора под центром тяжести площади ωi ; n – число площадей.

Перемещения по способу Верещагина определяют следующим образом (рис. 8.4).

1. Строят эпюру изгибающих моментов M F для заданной сис-

темы от внешней нагрузки.

2. Составляют схему единичного загружения и строят эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки M .

3. Разбивают эпюры M F и M на n одинаковых участков так, чтобы выполнялись следующие условия:

81

a) под каждым участком эпюры M Fi лежал линейный (без из-

ломов и скачков) участок эпюры M ;

б) можно было применить известные формулы для вычисления площадей ωi участков эпюры M F и положения центров тяжести этих

площадей;

в) изгибная жесткость EJх на каждом участке была постоянной.

ωi MСi . Эту операцию называют перемножением эпюр M F и M .

Действительное направление искомого перемещения определяется так же, как в методе Мора.

Для того чтобы пользоваться формулой Верещагина, надо знать площадь ω и положение центра тяжести для характерных фигур.

Пример

Для балки длиной l = 4 м, а =1 м, нагруженной моментом М = 20 кН м и распределенной нагрузкой на участке АВ, q = 20 кН·м (рис. 8.5), определим угол поворота сечения А и прогиб сечения С

82

в

1

Рис. 8.5

83

методом начальных параметров, методом Мора и способом Верещагина. Необходимо подобрать сечение двутавра из условия проч-

1. Определим опорные реакции и построим эпюры Qy и M x ,

RА =15 кН, RВ =15 кН.

2. Вычислим перемещения методом начальных параметров. Выберем начало координат в левом краевом сечении. Ось y на-

правим вверх, продлим распределенную нагрузку до конца второго участка и на продолжаемом участке приложим распределенную нагрузку q противоположного знака.

Запишем уравнение прогибов для участка ВС:

откуда

EJxθ0 = −13,333 кН м2.

Уравнение для угла поворота и прогиба будут иметь вид:

EJxθ = −13,333 +7,5z2 +12,5(z −4)2 −1,667z3 +1,667(z −4)3 ,

EJxv = −13,333 z +2,5z3 +4,167(z −4)3 −0,417z4 +0,417(z −4)4 ,

θA = −13,333.

EJx

Знак «–» указывает на то, что в сечении А балка поворачивается от положительного направления оси y.

84

EJxvС = −13,333 5 +2,5 53 +4,167 −0, 417 54 +0, 417 = = −10,166 кН м3.

3. Определим перемещения методом Мора:

∆ = ∑∫ M FEJi Мidz.

l

Определим угол поворота θA и прогиб сечения vС. Вспомогательные системы показаны на рис. 8.5, б, в. Значения моментов M F и M сведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

4. Определим перемещения способом Верещагина:

∆ = ∑ωi M Ci .

EJi

85

Значения приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Окончательно выбираем двутавр № 20а.

86

Лекция 9. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПЛОСКИХ СИСТЕМ

9.1. Понятие о статически неопределимых системах, степени статической неопределимости, основной и эквивалентной системах, методе сил

Статически неопределимыми системами называются такие системы, силовые факторы в элементах которых только из уравнений равновесия твердого тела определить нельзя. По числу лишних связей или неизвестных усилий устанавливают степень статической неопределимости системы. Балка, изображенная на рис. 9.1, – дважды статически неопределимая система, так как уравнений статики можно записать 3, а внешних связей – 5.

Систему, состоящую из ряда элементов (прямых или криволинейных), связанных между собой и образующих замкнутую цепь, называют замкнутым контуром. На рис. 9.2 изображена рама с замкнутым контуром АВСD. В данном случае обычно принято выражение статической неопределимости внешним (за счет реакций на опорах) и внутренним образом (за счет усилий, возникающих в элементах контура). Любой жесткий замкнутый контур всегда трижды статически неопределим. Рассматриваемая рама шесть раз статически неопределима (3 раза внешним образом и 3 раза – внутренним).

Установка в балке или раме шарнира, в котором сходятся n стержней, снижает степень статической неопределимости на (n − 1). Так, балка, изображенная на рис. 9.3, при установке врезного шарнира на опоре В становится один раз статически неопределимой, так

87

как число стержней, сходящихся в шарнире, n = 2. Рама, изображенная на рис. 9.4, при установке врезных шарниров в сечениях А и С имеет статическую неопределимость, равную трем.

А

Рис. 9.4

Степень статической неопределимости может быть определена с помощью следующего выражения для плоских балок и рам:

S =3n +2m + p +3k −ш−3,

где n – количество опор типа защемления; m – количество опор, шарнирно неподвижных; p – количество опор, шарнирно подвижных; k – количество замкнутых жестких контуров; ш – количество шарниров в пересчете на одиночные.

Для балки (см. рис. 9.3)

S = 2 + 3 – 1 – 3 = 1,

для рамы (см. рис. 9.4)

S = 3 2 + 3 1 – 3 – 3 = 3.

Степень статической неопределимости может быть определена и по формуле

88

S = 3k – ш,

где k – число замкнутых контуров при условии полного отсутствия шарниров.

При применении этой формулы шарнирно-неподвижную опору удобнее представить в виде:

–для балки (см. рис. 9.1) S = 3 · 3 − 7 = 2,

–для рам (см. рис. 9.2, 9.4) S = 3 · 2 − 0 = 6, S = 3 · 2 − 3 = 3.

Удаляя лишние связи, заменяем исходную систему статически

определимой, которая называется основной. При выборе основных систем необходимо следить за тем, чтобы они были геометрически неизменяемыми. Для дальнейшего решения выбирается одна из основных систем, которая дает наиболее рациональное решение.

Для балки (см. рис. 9.1) основные системы, получаемые путем отбрасывания лишних связей, препятствующих линейным перемещениям, изображены на рис. 9.5, а–в. Наиболее рациональное решение для статически неопределимой балки дает основная система, получаемая путем врезания шарниров на промежуточных опорах

(рис. 9.5, г).

Загружая основную систему заданной нагрузкой и прикладывая лишние неизвестные усилия в направлении отброшенных связей, получаем систему, называемую эквивалентной (рис. 9.6). В качестве неизвестных для основных систем, показанных на рис. 9.5, а–в, выбраны усилия Х1 и Х2, связанные с вертикальными перемещениями

89

в соответствующих сечениях, а для варианта г – усилия Х1 и Х2 (моменты), связанные со взаимными угловыми перемещениями на соответствующих опорах.

Для эквивалентности основной системы исходной неизвестные усилия должны быть подобраны такими, чтобы перемещения основной системы в местах отброшенных связей не отличались от перемещений исходной – статически неопределимой.

Используя принцип независимости действия сил, записываем уравнения перемещений в направлении неизвестных усилий. Из полученных уравнений определяем значения неизвестных сил.

Рассматриваемая схема расчета носит название метода сил, так как в качестве неизвестных здесь выбирают силы в направлении отброшенных связей.

9.2. Канонические уравнения метода сил

Дополнительные уравнения перемещений по направлениям лишних неизвестных можно записать с помощью определенной закономерности – по так называемой канонической форме.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отброшенных связей на основании принципа независимости действия сил можно выразить следующим образом:

Слагаемые ∆in и ∆iF представляют собой перемещения по направлению реакции связи i, вызванные соответственно реакцией связи n и заданной нагрузкой.

Обозначив через Хn величину реакции связи n и выразив перемещения ∆in через единичные перемещения δin с помощью равенства ∆in = Хnδin, рассмотренное уравнение можно записать как

Условие эквивалентности основной и заданной систем математически сводится к следующей системе n линейных уравнений:

90