Сопротивление материалов конспект лекций

Рис. 12.2

Главные напряжения определяем по известным формулам:

111

12.2. Совместное действие изгиба и кручения бруса прямоугольного сечения

Проиллюстрируем совместное действие изгиба и кручения бруса прямоугольного сечения схемами с обозначенными действующими напряжениями (рис. 12.3).

Рис. 12.3

112

Точка 1:

Точка 2:

σ(M y ),

τmax = Mк ,

Wк Wк = αhb2.

Точка 3:

σ(M x ),

τ′max = γ Mк .

Wк

Наиболее опасная точка определяется в результате вычисления эквивалентных напряжений и соответствующих им условий прочности:

Точка 1:

σmax = M x + M y ≤[σ].

Wx Wy

Точка 2:

113

Для хрупких материалов применяется теория прочности Мора.

Пример

На вал насажены два зубчатых колеса. Сила F1 – вертикальная, сила F2 – горизонтальная, F2 = 5000 Н. Диаметры зубчатых колес D1 = 360 мм, D2 = 450 мм. Допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Определим диаметр вала по четвертой теории прочности.

Решение:

Приведем силы F1 и F2 к центру вала, заменяя каждую из них центрально приложенными силами в точках D и С и скручивающими

моментами M1 = F12D1 и M2 = F22D2 .

Из равенства моментов (F1D1 = F2 D2 ) находим силу

F1 = F2 D2 = 5000 0, 45 = 6250 Н. D1 0,36

Для расчетной схемы строим эпюры крутящих моментов Мк, эпюры изгибающих моментов Мх от силы F1 и Му от силы F2, действующей в горизонтальной плоскости (рис. 12.4). Подшипники, на которые опирается вал в сечениях А и В, рассматриваются как шарнирные опоры.

Исследуемое сечение испытывает воздействие изгибающих моментов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, поэтому предварительно определяем суммарный изгибающий момент:

Ми = Мх2 + M y2 .

Строим эпюру суммарных изгибающих моментов. И наконец, определяем расчетный момент по четвертой теории прочности:

МрасчIV = Ми2 +0,75Мк2 .

Затем строим эпюру расчетных моментов.

114

В соответствии с таблицей нормальных линейных размеров

(табл. П.1) d = 45 мм.

116

Лекция 13. УСТАЛОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

13.1. Явление усталости

Усталостью материалов называется процесс образования и развития трещин под действием периодически меняющейся нагрузки.

Различают малоцикловую усталость, при которой наблюдаются заметные пластические деформации, а число циклов до разрушения не превышает 50 000, и многоцикловую усталость, при которой уровень напряжений может быть значительно ниже предела упругости или текучести, а число циклов до разрушения составляет от сотен тысяч до десятков миллионов циклов. Но и в этом случае из-за существенной микронеоднородности современных конструкционных материалов зарождение трещины усталости связано с локальными повторными пластическими деформациями, протекающими в отдельных структурных элементах материала.

В дальнейшем речь пойдет в основном о многоцикловой усталости, при которой разрушение протекает без заметных пластических деформаций на макроуровне и имеет специфический характер. Трещина зарождается, как правило, с поверхности детали в наиболее нагруженных местах (выточках, галтелях, переходах, отверстиях и т.д.) и постепенно распространяется, как бы перерезывая деталь, уменьшая площадь ее рабочего сечения. В процессе развития трещины ее обнаружение крайне затруднительно, так как сама трещина обычно закрыта, а деталь долго сохраняет свою несущую способность. И только когда оставшееся сечение не сможет нести нагрузку, происходит катастрофическое, почти мгновенное разрушение детали. Статистикой установлено, что больше половины катастроф (без учета террористических актов) связано с этим грозным явлением.

При усталостном разрушении на поверхности излома можно выделить три характерные зоны (рис. 13.1): зону зарождения трещины 1, имеющую вид темного пятна, зону ее развития 2, занимающую,

117

13.2. Характеристики цикла

Под действием периодически меняющихся нагрузок в опасной точке возникают также периодически меняющиеся напряжения. Пусть в некоторой детали реализуется линейное напряженное состояние, а нормальные напряжения в опасном сечении во времени меняются по закону, показанному на рис. 13.2. Время, через которое значения напряжений полностью повторяются, называется периодом Т. Совокупность значений напряжений за период составляет цикл напряжений. С точки зрения усталости в большинстве случаев для характеристики цикла достаточно знать максимальное σmax и минимальное σmin значение напряжений в цикле.

Рис. 13.2

С другой стороны, цикл можно представить как совокупность действия статического напряжения, равного среднему между макси-

мальным и минимальным напряжениями цикла σm = σmax + σmin , 2

118

и периодически меняющихся напряжений с амплитудой σa =

= σmax −σmin . Этивеличинытак и называются: σm – среднее напряже- 2

ние, σa – амплитуда цикла. Кроме того, для характеристики цикла

часто используют коэффициент асимметрии цикла R = σmin .

σmax

В зависимости от знака и значения коэффициента асимметрии циклы подразделяются на знакопостоянные (R > 0) и знакопеременные (R < 0). Если R = 0, цикл называется положительным отнулевым, если R = ∞ – отрицательным отнулевым, при R = –1 цикл называется симметричным, а при R = 1 цикл вырождается в постоянно действующее напряжение. Примеры различных видов цикла приведены на рис. 13.3.

σ

R = 1

R = –1

Время

Рис. 13.3

13.3. Механические характеристики сопротивления усталости

Механические характеристики сопротивления усталости определяются путем испытаний образцов на специальных усталостных машинах. Требования к образцам и испытательным машинам, мето-

119

дики проведения испытаний и обработки их результатов регламентируется ГОСТом.

Усталостные машины отличаются по виду нагружения (осевое растяжение-сжатие, изгиб вращающегося образца, плоский изгиб, кручение, комбинированное нагружение и т.д.), по способу силовозбуждения (механическое, гидравлическое, резонансное и т.д.). На рис. 13.4 показана схема простейшей механической усталостной машины, осуществляющей изгиб вращающегося образца. Машина позволяет проводить испытания при симметричных циклах нагружения, наиболее часто применяемых на практике.

Рис. 13.4

Образец устанавливается в шпиндель машины, вращающийся с некоторой угловой скоростью. На конец образца через подшипник напрямую или через систему рычагов прикладывается сила F.

Вопасном сечении образца создается изгибающий момент Ми = FL.

Впроизвольной точке, расположенной на контуре опасного сечения, из-за того, что образец вращается, а плоскость действия изгибающего момента остается неизменной, возникает нормальное напряжение, меняющееся во времени по синусоидальному закону с амплитудой

В этом случае σm = 0, σa = σmax = –σmin.

120