Сопротивление материалов конспект лекций

где σн – номинальные напряжения в опасном сечении рассчитываемой детали; l – характерный размер трещины; Y – безразмерная функция, зависящая от формы детали, вида нагружения, относительного размера трещины.

Для инженерных расчетов необходимые сведения приводятся

всправочной литературе.

2.Экспериментальный метод (K-тарировка). Метод основан на приведенных выше зависимостях между интенсивностью освобожденной энергии и коэффициентом интенсивности напряжений. Имея уравнение

деляется экспериментально путем тарировки (измерения податливости детали по мере выращивания трещины) и последующего дифференцирования полученной зависимости.

Оценка размеров и формы пластической зоны

Современные конструкционные материалы почти все в той или иной степени обладают свойством пластичности, поэтому при нагружении детали с трещиной у ее вершины развивается пластическая зона. Если к моменту разрушения эта зона окажется малой по сравнению с размерами трещины, то можно ожидать так называемое квазихрупкое разрушение, т.е. нестабильное разрушение по типу хрупкого с узкой зоной пластически деформированного материала в области, прилегающей к поверхности раздела. В связи с этим важно уметь хотя бы приблизительно оценивать размеры этой зоны.

Рассмотрим напряженное состояние в теле с трещиной нормального отрыва в точках, расположенных по линии продвижения этой трещины.

141

Если рассматриваемые точки расположены на поверхности тела, то напряженное состояние в них будет плоским, т.е. одно из главных напряжений обращается в нуль, а два других выражаются через коэффициент интенсивности напряжений:

где r – расстояние от вершины трещины до этой точки. Эквивалентное напряжение, например, по третьей теории проч-

ности

Расстояние rр от вершины трещины до точки, в которой эквивалентное напряжение будет равно пределу текучести материала, найдется из уравнения

Если точки расположены в глубине тела, то напряженное состояние будет близко к плоской деформации, а третье главное напряжение найдется из условия равенства нулю деформации вдоль фронта трещины:

ε3 = E1 (σ3 −µ(σ1 +σ2 )) = 0.

Отсюда

σ3 =µ (σ1 +σ2 ),

142

пластины.

Отношение характерных размеров этой зоны определяется вы-

ражением rp′ =(1−2µ)2 . rp

При µ = 0,3 это отношение равно 0,16, т.е. размер пластической

зоны в глубине материала существенно меньше ее размеров у поверхности.

Критерий хрупкого разрушения

Используя силовой подход, условие наступление хрупкого нестабильного разрушения можно выразить через коэффициент интенсивности напряжений.

Вводится характеристика статической трещиностойкости, носящая название критического коэффициента интенсивности напряжений или вязкости разрушения. Так, для трещины нормального отрыва эта характеристика обозначается через K1с, а условие наступ-

ления хрупкого разрушения запишется в виде

K1 = K1с.

Условие безопасной работы тела с трещиной можно выразить через допускаемый коэффициент интенсивности напряжений [K1 ] следующим образом:

143

K1 = σ lY ≤ [K1 ] = K[n1]с ,

где [n] – нормированный коэффициент запаса прочности.

На основании этого уравнения можно проводить следующие виды расчетов на прочность тела с трещиной:

1.Поверочный расчет – непосредственная проверка условия статической трещиностойкости.

2.Определение грузоподъемности конструкции при наличии

вней трещин известных размеров.

3.Определение допускаемых размеров дефектов, обеспечивающих безопасную работу конструкции при заданной нагрузке.

14.2. Определение характеристик статической трещиностойкости

Характеристики трещиностойкости (вязкость разрушения) при статическом нагружении определяются путем испытания образцов из исследуемого материала по методике, регламентируемой ГОСТ 25.506–85.

Основной характеристикой трещиностойкости является K1с, ко-

торая может быть определена на основании результатов испытаний образцов при выполнении условия корректности этих испытаний.

Для определения характеристик трещиностойкости применяются следующие образцы: тип 1 – плоский прямоугольный с центральной трещиной для испытания на осевое растяжение; тип 2 – цилиндрический с кольцевой трещиной для испытания на осевое растяжение; тип 3 – прямоугольный компактный образец с краевой трещиной для испытаний на внецентренное растяжение; тип 4 – плоский прямоугольный образец с краевой трещиной для испытаний на трехточечный изгиб.

Эскизы образцов и схемы их нагружения показаны на рис. 14.6.

144

Подготовка образцов согласно ГОСТу включает в себя нанесение инициирующих надрезов и создание усталостных трещин заданных размеров.

Испытательное оборудование должно обеспечивать регистрацию усилий Fи, взаимное смещение берегов трещины v у образцов всех типов или прогиб f образца типа 4.

В процессе испытаний строятся диаграммы зависимости усилия от смещения берегов трещины или прогиба. Испытания проводятся до разрушения образца. Характерные типы диаграмм F – v (F – f) приведены на рис. 14.7.

Диаграмма типа 1 характеризуется расположением вершины (точка С) между прямыми, наклоненными к оси абсцисс под углами α и α5. Здесь α – угол начального участка диаграммы, а α5 – угол, тангенс которого на 5 % меньше тангенса угла α. Разрушение образца происходит в точке С диаграммы.

Диаграмма типа 2 характеризуется наличием локального максимума нагрузки (точка D), находящегося левее прямой, проведенной под углом α5. Разрушение образца происходит в точке С диаграммы,

145

расположенной левее прямой, проведенной под углом α30, где α30 – угол, тангенс которого на 30 % меньше тангенса угла α.

Диаграмма типа 3 характеризуется наличием максимума нагрузки (точка С), соответствующей разрушению образца, лежащего между прямыми, проведенными под углами α5 и α30.

Диаграмма типа 4 представляет собой кривую с максимальной нагрузкой в точке С. Разрушение образца происходит в точке K диаграммы.

F Q C F Q C K

Рис. 14.7

После разрушения образцов путем обмера изломов определяют размеры исходной усталостной трещины. Затем, в зависимости от типа диаграммы, определяется расчетная нагрузка FQ, по которой в дальнейшем вычисляют критический коэффициент интенсивности напряжений. Эта нагрузка соответствует точкам: C – для диаграммы типа 1, D – для диаграммы типа 2 и Q – для диаграмм типа 3 и 4.

146

По приведенным в ГОСТе для каждого типа образцов формулам вычисляют критический коэффициент интенсивности напряжений и проверяют условия корректности определения этой характеристики. Если условия корректности не выполняются, увеличиваются размеры образцов и испытания повторяются.

Отметим наиболее важные эффекты, выявленные экспериментально. У некоторых материалов перед квазихрупким разрушением наблюдается устойчивое подрастание трещины при монотонном возрастании нагрузки. В условия плоской деформации это подрастание

Наблюдается зависимость K1с от скорости нагружения. Так, для углеродистой стали K1с убывает в 1,5–2 раза с ростом скорости нагружения в 105 раз.

Обнаружено влияние порядка нагружения на вязкость разрушения. Если образец вначале сжать, а потом растянуть, то K1с уменьшится.

С ростом температуры K1с возрастает.

При некоторых условиях обнаруживаются временные эффекты квазихрупкого разрушения, в частности разрушение образца при K < K1с через некоторый промежуток времени.

Особое место занимает явление стабильного роста трещин при циклическом нагружении.

147

14.3.Характеристики трещиностойкости при циклическом нагружении

Влекции, посвященной усталостному разрушению, отмечалось, что процесс усталости состоит по крайней мере из двух стадий: стадии зарождения трещины и стадии ее развития, при этом вторая стадия собственно и характеризует процесс стабильного разрушения. Если инкубационный период усталостного разрушения практически не поддается инструментальному контролю, то на стадии развития трещины такой контроль возможен. Отметим, что если в материале изначально имеются трещиноподобные дефекты любого происхождения, то усталостное разрушение может быть связано с развитием этих дефектов, т.е. только со второй стадией усталости.

Линейная механика разрушения позволяет достаточно точно описать стадию развития трещины усталости и решить ряд практически важных задач, а именно:

– оценка сопротивления материала развитию трещины и определение влияния на него различных металлургических, технологических и эксплуатационных факторов;

– сопоставление материалов при обосновании их выбора для машин и конструкций;

– контроль качества материала;

– оценка долговечности элементов конструкций и деталей машин на основании данных об их дефектности и напряженном состоянии;

– установление критериев неразрушающего контроля и анализа причин разрушения конструкций.

Для решения этих задач определяют характеристики сопротивления развитию трещины путем испытаний образцов с инициированной трещиной при циклическом нагружении.

Впроцессе испытаний при фиксированных параметрах нагружения последовательно измеряют характерный размер l растущей трещины и число циклов нагружения N. На основании полученных

данных вычисляют скорости роста трещины v = dl / dN и соответст-

148

вующие этим скоростям максимальные коэффициенты интенсивности напряжений Kmax .

По результатам испытаний партии образцов строят график зависимости скорости роста трещины v от максимального коэффициента интенсивности напряжений Kmax или от его размаха ∆K, носящий

название диаграммы усталостного разрушения. В двойной логарифмической системе координат эта диаграмма представляет собой S-образную кривую с двумя ярко выраженными асимптотами (рис. 14.9), называемыми порогами.

Нижний порог Kth определяет значение Kmax, ниже которого трещина не развивается. Верхний порог Kfc определяет значение Kmax, при приближении к которому скорость развития трещины стремится к бесконечности, т.е. наступает квазихрупкое разруше-

ние. По физическому смыслу Kfc должен равняться K1с, но практически их значения несколько расходятся.

Средняя часть диаграммы чаще всего описывается степенной функцией в виде v = CKmaxn , где параметры C и n вместе с порогами Kth и K fc являются характеристиками материала и определяются по

результатам испытаний.

Аппроксимирующая экспериментальные результаты диаграмма, построенная на основании этих характеристик, показана на рис. 14.9 пунктирными линиями.

149

Лекция 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

15.1. Основные понятия

При исследовании таких явлений, как выпучивание стержней, коробление, гофрообразование, необходимо учитывать влияние деформаций на условия равновесия. При достижении некоторых значений внешних сил деформации перестают быть пропорциональными внешним силам, вследствие чего перестает быть справедливым принцип суперпозиции. Состояние равновесия, соответствующее границе между устойчивым и неустойчивым равновесием, называют критическим, а величину силы при таком состоянии – критической, обозначаемой Fкр.

Существуют три формы равновесия стержня центрально сжатого стержня, шарнирно-закрепленного в краевых сечениях (рис. 15.1):

1.F < Fкр, устойчивая форма равновесия.

2.F = Fкр, безразличное состояние (может занимать одно из

трех указанных состояний).

3. F > Fкр, неустойчивое состояние, прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой.

Рис. 15.1

Вычислив величину критической силы и задавшись коэффициентом запаса устойчивости, можно определить допускаемую нагрузку:

150