Сопротивление материалов конспект лекций

где Qy max – наибольшее по модулю значение поперечной силы; Sx* –

статический момент половины сечения относительно нейтральной оси х (приведен в справочных таблицах для стандартных профилей); [τ] – допускаемое касательное напряжение материала балки; d –

толщина стенки.

Для двутавра кроме точки 3 существуют опасные точки, расположенные в месте перехода от полки к стенке – точки 2, 4. Хотя нормальные и касательные напряжения здесь не достигают максимума, они достаточно большие и действуют одновременно. Следует иметь в виду, что обеспечить прочность в этих точках необходимо для всех сечений,

вкоторых одновременно велики изгибающий момент и поперечная сила. Напряженное состояние в этих точках является плоским, что приводит к необходимости использования теорий прочности. Поведение изотропного пластичного материала наилучшим образом описывается

вэтом случае третьей или четвертой теориями прочности. Так, эквивалентные напряжения по соответствующим теориям прочности:

где σ, τ – нормальное и касательное напряжение в опасной точке

(2 или 4 на рис. 7.11):

Пример 1. Рациональное расположение опор балок

Рассмотрим двухопорную балку, в которой, меняя расположение опор, можно добиться значительной экономии материала.

71

На рис. 7.12 рассмотрены три варианта расположения шарнирных опор. В первом варианте (рис. 7.12, а) опоры расположены в краевых сечениях. При этом максимальный изгибающий момент

M x max = 0,125ql2.

Рис. 7.12

Во втором варианте (рис. 7.12, б) опоры А и В смещены к центру балки на четверть длины. Это привело к снижению максимального изгибающего момента в четыре раза.

В третьем варианте расположение опор определялось из условия равнопрочности на консольных участках и в пролете (рис. 7.12, в).

72

Уравнение равнопрочности запишем в виде

Подставляя значение RA = ql2 и упрощая выражение, получим

квадратное уравнение

4z2 +4lz −l2 = 0.

Решая уравнение, находим z = 0, 207l.

Соответственно, изгибающие моменты в сечениях А и В и в середине пролета M x = 0,0214ql2. Из отношения максимальных моментов

M xа : M xб : M xв =5,98 :1,49 :1

следует, что наиболее рациональным расположением опор с точки зрения расхода материала является вариант рис. 7.12, в.

Пример 2

Определить допускаемую нагрузку для заданной стальной балки трубчатого сечения (рис. 7.13): а = 1 м, D = 80 мм, α = Dd = 0,7, [σ] = = 160 МПа.

Рис. 7.13

73

Решение:

Определяем опорные реакции

ΣM A = 0, RB 4a −2F 3a − Fa = 0,

Описанными ранее методами строим эпюры Qy и M x.

Наибольший изгибающий момент возникает в сечении С. Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности по

нормальным напряжениям:

74

Лекция 8. ИЗГИБ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

8.1. Основные понятия

Поперечные нагрузки, действующие на балку, раму, приводят к изгибу и тем самым искривляют продольную ось балки, превращая ее в некоторую кривую. В инженерной практике часто возникает необходимость определения перемещений в различных точках, расположенных на оси. Обычно величина максимального прогиба принимается в пределах (0,002 5…0,01)l в зависимости от назначения конструкции.

Смещение центра тяжести произвольного сечения v(z), называемого прогибом, будет некоторой функцией абсциссы сечения v = = v(z).

Пренебрегая влиянием поперечной силы на искривление поперечного сечения, можно в первом приближении считать, что оно, оставаясь плоским, поворачивается на некоторый угол θ (рис. 8.1), который также зависит от положения сечения, т.е. θ = θ(z).

F

Рис. 8.1

Если повернутое сечение остается перпендикулярным к изогнутой оси балки, то между углом поворота θ(z) и прогибом v(z) сущест-

изучаемые деформации малы, можно принять

75

Прогиб v(z) будем считать положительным, если перемещение соответствующей точки происходит вверх, т.е. в направлении положительной оси y. Угол поворота θ(z) принимается положительным при повороте сечения против часовой стрелки.

8.2. Дифференциальное уравнение упругой линии балки. Дифференциальные зависимости.

Универсальное уравнение упругой линии балки

Исходной для аналитического решения задачи является известная зависимость из теории чистого изгиба

Из курса высшей математики известно, что кривизна плоской кривой выражается уравнением

Величина ddvz оказывается малой, порядка сотых или тысячных

долей единицы, следовательно, формулу можно переписать в более простом виде:

Приравнивая выражения (8.2) и (8.4), получим дифференциальное уравнение упругой балки (8.5):

76

При направлении оси y вверх уравнение (8.5) приобретает вид

Систематизируя рассмотренное выше выражение (8.6), можно записать дифференциальные зависимости:

Применяя аппарат определенного интегрирования, можно получить универсальные уравнения, позволяющие найти параметры изогнутой оси балки при любых условиях закрепления ее концов, не прибегая к интегрированию дифференциального уравнения:

где ai, bi, c, d – абcциссы точек приложения сосредоточенных моментов M, сил F и начало равномерно распределенной нагрузки q постоянной интенсивности. В случае действия распределенной нагрузки, выраженной по другому закону, необходимо ввести коррективы в уравнения (8.8), (8.9); M, F, q – внешние силы и моменты (включая опорные реакции), расположенные между данными сечением и началом координат; v0 , θ0 – прогиб и угол поворота в начале координат,

называемые начальными параметрами, причем сам метод опреде-

77

2.Выбор начала координат, которое принято брать в левой крайней точке рассматриваемой балки.

3.Проведение произвольного сечения на последнем участке, считая от начала координат, расстояние до которого z. Если распределенная нагрузка обрывается на каком-либо участке (рис. 8.3, а), то

еепродлевают до конца балки, а для восстановления действительных грузовых условий на продолжаемой длине прикладывают распреде-

ленную нагрузку обратного знака (рис. 8.3, б). Дополнительную и компенсирующую нагрузки принято показывать штриховыми линиями.

78

4.Запись уравнений для линейных (v) и угловых (θ) перемещений применительно к крайнему правому участку балки. Сосредоточенная сила и сосредоточенный момент, приложенные в крайнем сечении справа, в уравнения не входят.

5.Определение из условий закрепления начальных параметров

v0 и θ0. Для того чтобы вычислить перемещения какого-либо сече-

ния, необходимо в соответствующие уравнения подставить координату z (только в те составляющие уравнений (8.8), (8.9), которые входят в промежуток между началом координат и рассматриваемым сечением).

8.3. Определение перемещений методом Мора

Практическое применение метода начальных параметров, также как и непосредственное интегрирование дифференциального уравнения упругой линии, для некоторых систем имеет сложности. В практике обычно возникает необходимость оценки перемещений в конкретных сечениях конструктивных элементов. Эту задачу успешно решил немецкий ученый Отто Христиан Мор в 1874 г. Метод Мора является универсальным методом определения линейных и угловых перемещений, возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.

В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах, арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций и деформаций от сдвига, учитывая лишь перемещения, вызываемые изгибом и кручением. В этом случае для плоской системы интеграл Мора имеет вид

В случае пространственного нагружения

79

В случае растяжения или сжатия сохраняется лишь член, содержащий продольную силу:

где M Fi , NFi , MkFi – грузовые внутренние силовые факторы на i-м участке: соответственно изгибающий момент, продольная сила и крутящий момент от внешней нагрузки; M i , N i , M ki – единичные силовые факторы – соответственно изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент на i-м участке от силы, равной единице, приложенной в том сечении, где необходимо найти линейное перемещение, или от момента, равного единице, приложенного в сечении определения углового перемещения; li – длина i-го участка; G – модуль сдвига; E – модуль продольной упругости; Ai , Jki , Ji – площадь, момент инерции (при круглом сечении Jki = Jpi , где Jpi –

полярный момент инерции); Ji – осевой момент инерции сечения на

i-м участке.

Методика определения перемещений методом Мора может быть сведена к следующим пунктам.

1. Определяют реакции на опорах, разбивают систему на участки, выбирают направление обхода участков, записывают выражения для грузовых силовых факторов на i-х участках: M Fi , NFi , MkFi .

2. Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где необходимо определить перемещение. При определении линейного перемещения в заданном направлении прикладывают единичную силу, при определении углового перемещения – единичный момент.

80