Сопротивление материалов конспект лекций

Линия 2 – диаграмма предельных амплитуд детали, ординаты которой в Kkσ меньше ординат диаграммы предельных амплитуд лабораторных образцов. В этом случае уравнение этой диаграммы будет иметь вид

σа.пр = σ−1 −ψσσm .

Kkσ

13.8. Сопротивление усталости при асимметричных циклах нагружения

Введем понятие коэффициента запаса по пределу выносливости. Коэффициентом запаса n называется число, на которое надо умножить составляющие цикла напряжений, чтобы максимальное напряжение цикла стало равным пределу выносливости при соответст-

вующем коэффициенте асимметрии цикла.

Аналогично можно определить коэффициент запаса через предельную амплитуду.

Пусть в некоторой детали в опасной точке циклически меняющиеся напряжения характеризуются средним напряжением цикла σm.д и его амплитудным значением σа.д. На диаграмме предельных амплитуд (см. рис. 13.9) нагруженность материала в этой точке определяется координатами точки D. Чтобы перейти к предельному состоянию, составляющие цикла надо умножить на коэффициент запаса n, при этом точка D1, характеризующая предельное состояние, расположится на линии 2 и будет иметь координаты σm.дn, σa.дn, которые должны удовлетворять уравнению этой линии, т.е.

σа.дn = σ−1 −Kψσσm.дn .

kσ

Решая это уравнение относительно коэффициента запаса, полу-

чим

131

В случае если напряженное состояние характеризуется касательными напряжениями, формула для вычисления коэффициента запаса будет иметь вид

Условие усталостной прочности формулируется следующим образом: коэффициент запаса по сопротивлению усталости должен быть не менее некоторой нормированной величины [n], т.е. n ≥ [n]. Нормированный коэффициент запаса («коэффициент незнания») зависит от многих факторов (точности расчета, условий работы детали, необходимой надежности и т.д.) и назначается в различных отраслях промышленности своими отраслевыми нормами. В общем машиностроении нормированный коэффициент запаса принимается рав-

ным 1,2–1,5.

13.9. Сопротивление усталости при сложном напряженном состоянии

Для общего случая сложного напряженного состояния достаточно полная теория еще не разработана. Для приближенного расчета используются теории прочности, разработанные для случая статического нагружения. Достоверность полученных результатов не всегда подтверждается экспериментом.

Наиболее изученным видом нагружения является совместное действие изгиба и кручения круглых валов. Многочисленные эксперименты позволили предложить эмпирическую зависимость коэффициента запаса усталостной прочности от частных коэффициентов запаса, имеющую и теоретическое обоснование на основе третьей и четвертой теорий прочности в виде

132

где nσ – коэффициент запаса, рассчитанный при условии действия

ент запаса, рассчитанный при условии действия только крутящих

Условие прочности по-прежнему имеет вид n ≥ [n].

133

Лекция 14. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

Несмотря на бурное развитие науки и техники, в середине XX в. мир стал свидетелем ряда крупных катастроф. Из 2500 кораблей типа «Либерти» 145 разломились пополам, а около 700 претерпели серьезные разрушения. Взрывались ракеты, наблюдались многочисленные разрушения газопроводов и т.д. Общим для всех этих происшествий было катастрофическое развитие трещин. Такие случаи стали встречаться все чаще по мере увеличения габаритов конструкций

иувеличения прочности материалов.

В1957 г. в США сформировалось новое направление механики, которое получило название «Механика разрушения».

Из физики твердого тела известно, что теоретическая прочность материалов на порядок и более превышает их фактическую прочность. Немаловажную роль в этом феномене играют различного рода дефекты, присущие материалу, начиная от дефектов кристаллической решетки (дислокации, вакансии, внедренные атомы различных элементов и т.д.) и кончая макроскопическими дефектами, в том числе и трещинами различного происхождения.

Вузком смысле слова направление «Механика разрушения» изучает условия разрушения твердых тел при наличии в них макроскопических трещин.

14.1.Оценка прочности тел с трещинами

Если рассматривать трещину в рамках линейной теории упругости как математический разрез, то она представляет собой концентратор напряжений с теоретическим коэффициентом концентрации, равным бесконечности. В этом случае классический подход к оценке прочности по допускаемым напряжениям теряет смысл, так как при любой самой малой нагрузке всегда найдутся точки в материале, эквивалентные напряжения в которых будут превышать любое критическое значение. Таким образом, с точки зрения этой теории, тело с трещиной должно иметь нулевую прочность, что явно противоречит опыту.

134

случае напряженное состояние пластины с трещиной будет полностью эквивалентно напряженному состоянию цельной пластины.

Подсчитаем работу, приходящуюся на единицу толщины пластины, которую надо затратить на эту процедуру. Если за обобщенную силу принять интенсивность сил, приложенных к берегам трещины, равную напряжению σ, то за обобщенное перемещение следует принять площадь эллипса с полуосями l и vmax. Эта площадь

ω= πlvmax = 2(1−µ2 )πl2σ,

E

а затраченная на закрытие трещины работа может быть найдена следующим образом:

W= 1 σω= (1−µ2 )πl2σ2 .

2 E

Потенциальная энергия системы при возникновении трещины уменьшится на величину ∆U = −W.

Далее Гриффитс рассуждал так. Пусть для образования единицы свободной поверхности необходимо затратить работу γ, равную плотности поверхностной энергии. С другой стороны, при переходе от трещины с полудлиной l к трещине с полудлиной l + dl высвобождается потенциальная энергия

d∆U = (1−µ2 )π2lσ2 dl.

E

Разрушение возможно без дополнительного подвода энергии, если высвобождающейся энергии достаточно для образования дополнительной свободной поверхности. Поскольку высвобождающаяся потенциальная энергия зависит от напряжения σ, можно определить критическое напряжение σс, при котором возможно начало нестабильного разрушения, из уравнения d∆U = 4γdl.

Отсюда вытекает уравнение, связывающее критическое напряжение и длину трещины:

136

σc πl = 12−Eµγ2 = const.

Гриффитс провел обширные эксперименты со стеклом по проверке своей теории. Обнаруженные отклонения не превышали 5 %.

Подобные решения для большинства практически важных случаев нагружения долгое время встречали непреодолимые математические трудности, кроме того, считалось, что предложенная теория годится только для хрупких материалов.

В 50-х гг. теория Гриффитса была распространена и на пластичные материалы при условии, что размер пластической зоны в области вершины трещины мал по сравнению с размерами трещины и тем более размерами самого тела. Было введено понятие интенсивности освобожденной энергии G, т.е. величины освободившейся энергии, приходящейся на единицу дополнительно образовавшейся площади трещины,

G = −ddUA .

Так, для пластины, растягиваемой на бесконечности напряжениями σ, при плоском напряженном состоянии

G = πσ2l ,

E

а при плоской деформации

G = (1−µ2 )πσ2l .

E

Если предположить, что для образования единицы площади трещины надо затратить некоторую работу Gс, включающую как

работу на создание свободной поверхности, так и работу на пластическое деформирование приповерхностной области, то условие начала нестабильного разрушения примет вид

G =Gc.

137

Метод податливости

Рассмотрим один из возможных путей экспериментального определения интенсивности освобожденной энергии G. Пусть имеется тело с трещиной, загруженное некоторой обобщенной силой F (рис. 14.2). Под действием этой силы тело получит соответствующее обобщенное перемещение ∆. В пределах уп- ругости связь между обобщенным перемещением и обобщенной силой определяется зако-

ном Гука

∆ = δF,

Зафиксируем полученную деформацию и увеличим площадь трещины на величину dА. Интенсивность освобожденной энергии найдется из выражения

Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо экспериментально установить зависимость податливости от площади трещины и одним из численных методов продифференцировать эту зависимость.

Напряженное состояние вблизи вершины трещины. Коэффициенты интенсивности напряжений

Работы Колосова, Мусхелишвили, Вестергаарда и др. позволили решить в довольно общем виде вопрос о напряженном состоянии

138

в области вершины трещины. Показано, что закон распределения напряжений вблизи вершины трещины мало зависит от нагрузки и формы детали, а напряженно-деформированное состояние в этой области вполне определяется тремя коэффициентами K1, K2 и K3, называемыми коэффициентами интенсивности напряжений.

Каждый из этих коэффициентов связан с определенным видом деформации материала в области вершины трещины.

На рис. 14.3 схематически показаны соответствующие этим коэффициентам деформации.

Рис. 14.3

Рассмотрим случай нормального отрыва. В произвольной точке малой области у вершины трещины, заданной координатами r и θ, компоненты напряженного состояния (рис. 14.4) выражаются через коэффициент интенсивности напряжений:

139

Аналогично выражаются компоненты напряженного состояния и при других видах деформаций.

Коэффициенты интенсивности напряжений зависят от нагрузки, размеров и формы тела, конфигурации и размеров трещины. Размер-

ность коэффициентов интенсивности напряжений – Па м1/ 2.

Связь между интенсивностью освобожденной энергии и коэффициентом интенсивности напряжений

Доказано, что в пределах линейной упругости материала существует однозначная связь между интенсивностью освобожденной энергии и коэффициентом интенсивности напряжений. Так, например, для трещины нормального отрыва эта зависимость имеет сле-

Существует несколько методов определения коэффициентов интенсивности напряжений.

1. Расчетный путь. Аналитическим или численным методом рассчитывается напряженное состояние в области вершины трещины, из полученного решения выделяется часть, описывающая коэффициент интенсивности напряжений, которая обычно приводится к виду

K1 = σн lY ,

140