Сопротивление материалов конспект лекций

Лекция 17. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

ВСОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

17.1.Основные понятия

Всовременной технике имеется ряд задач, в которых вопрос

опрочности не может быть удовлетворительно решен без учета закона движения рассчитываемой конструкции. Возникающие при этом силы инерции, удары, вибрации играют весьма существенную роль.

Такие нагрузки, а также вызванные ими напряжения и деформации называются динамическими. В случае динамической нагрузки любой элемент конструкции в каждый момент времени можно рассматривать как находящийся в состоянии равновесия под действием внешних сил, характеризующих действие соседних элементов, и сил инерции, как известно из принципа Д’Аламбера.

Внекоторых случаях динамическую обобщенную силу Fд можно представить в следующем виде:

Fд = FстKд,

где Fст – обобщенная сила, возникающая при статическом нагружении; Kд – динамический коэффициент.

Определив динамическую силу, можно вычислить динамическое напряжение и динамическую деформацию для соответствующего вида нагружения. Найденное значение динамического напряжения сравнивается с допускаемым напряжением, полученным для материала на основании статических экспериментальных исследований.

17.2. Силы инерции

Стержень, движущийся по направлению своей продольной оси

Стержень АВ (рис. 17.1) поднимается вверх силой, приложенной к концу А. При равномерном движении на каждый элемент стержня будет действовать только сила тяжести с наибольшим значением ql в сечении А. При равномерно ускоренном движении с ускорением а

172

При опускании стержня сила инерции и сила тяжести имеют разный знак, следовательно,

Если к нижнему концу стержня подвешен груз Q, то для растягиваемого усилия в сечении А выражение для динамической силы имеет вид

173

Вращающийся стержень

Вращающийся стержень представлен на рис. 17.2. При вращательном движении элементов конструкций инерционные силы обычно значительно превосходят статическую составляющую в формуле (17.3). В связи с этим можно принять правомерным соотношение

Рис. 17.2

174

Для рассмотренных случаев (см. рис. 17.1, 17.2) условие прочности имеет вид

σд = NAд ≤[σ].

В сравнении с задачами статики в задачах динамики из условия прочности могут быть решены задачи по определению допускаемых скоростей движения и допускаемых длин элементов конструкций.

Вращающееся кольцо (обод маховика)

Кольцо (рис. 17.3) нагружено при вращении с постоянной скоростью ω равномерно распределенной по окружности инерционной радиальной нагрузкой. Если в поперечном сечении кольцо имеет площадь А, а удельный вес материала равен γ, то вес единицы длины кольца будет равен Аγ, а соответствующая центробежная сила инерции на единицу длины дуги

ин g

Рассматривая равновесие элемента кольца (рис. 17.4), можно увидеть, что для него справедливо единственное уравнение равновесия: сумма проекций всех сил на центральный радиус должна быть равна нулю. Ввиду того, что толщина кольца – величина малая, мож-

175

но принять, что напряжения будут равномерно распределены по сечению. Учитывая это, получаем уравнение

не зависит от площади поперечного сечения.

Для обода маховика важно, чтобы от возникающих сил инерции, приводящих к растяжению дуги окружности кольца, приращение его радиуса не превышало величину технологического натяга, полученного при насадке обода на маховик.

Учитывая, что напряженное состояние в кольце (ободе маховика) линейное, можно записать σ = εЕ.

С учетом выражения (17.14) получим

Определим относительную деформацию ε. При увеличении радиуса кольца R на величину u длина дуги его станет равной 2π(R +u). Тогда относительная деформация

где [δ] – величина натяга при насадке обода на маховик.

176

Пример

Стальная труба удерживается на двух тросах и равноускоренно поднимается вверх. Определить ускорение а при подъеме, если наибольшее напряжение в трубе при этом σд = 40 МПа. Плотность мате-

риала γ = 78,5 кН/м3, l = 20 м, отношение диаметров α = Dd = 0,8,

D = 300 мм.

Решение:

Расчетная схема изображена на рис. 17.5, а, эпюра поперечных сил – на рис. 17.5, б, эпюра изгибающих моментов от статического действия распределенной нагрузки с учетом инерционных сил – на рис. 17.5, в.

а

б

в

Рис. 17.5

177

Лекция 18. РАСЧЕТЫ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ

Ударом обычно называют такое явление, при котором скорости ударяемого тела и ударяющего тела за короткий промежуток времени изменяются до конечной величины. Точная теория удара связана с изучением местных деформаций в окрестности контакта (контактная задача теории упругости), а также с явлением волнового распространения деформации в упругом теле и оказывается довольно сложной.

В данном пособии рассматривается инженерная теория удара. Расчетные формулы получают, применив закон сохранения энергии. Эта теория является приближенной, она строится на следующих допущениях:

1)напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности, свойства материала не изменяются, поэтому закон Гука при ударе остается в силе;

2)соударяющиеся тела после удара не отделяются друг от друга;

3)масса ударяемого тела считается пренебрежимо малой по сравнению с массой ударяющего тела;

4)вся энергия удара переходит в потенциальную энергию деформации ударяемого тела, потеря части энергии пренебрежимо мала.

18.1.Вертикальный удар

Обозначив кинетическую энергию падающего груза (рис. 18.1, 18.2) Q через Т и учитывая, что она равна изменению потенциальной энергии груза, запишем:

где Н – высота падения груза до соприкосновения с ударяемым телом; δд – динамическое перемещение точки соударения при ударном

приложении нагрузки Qд с высоты Н.

179