Сопротивление материалов конспект лекций

Эти уравнения перемещений являются дополнительными уравнениями, которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы.

Полученные уравнения называются каноническими уравнениями метода сил. Число уравнений равно числу отброшенных связей, т.е. степени статической неопределимости заданной системы.

Коэффициент δin системы канонических уравнений представляет перемещение по направлению i, вызванное силой, равной единице, действующей по направлению n. Единичные перемещения δii, имеющие два одинаковых индекса, называются главными, в отличие от побочных перемещений δin, имеющих разные индексы. В соответствии с теоремой о взаимности перемещений δin = δni.

Коэффициенты канонических уравнений могут быть определены методом Мора или способом Верещагина. Главные перемещения всегда больше нуля, побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Решая систему канонических уравнений, определяют неизвестные усилия, затем строят эпюры изгибающих моментов для основной системы от каждого из найденных усилий: Х1, Х2, ..., Хi, …, Хn. На этом этапе решения можно использовать построенные ранее единичные эпюры, ординаты которых необходимо умножить на найденные значения соответствующих неизвестных, т.е.

M1 = M1 Х1,

, (9.4)

Mn = Mn Хn.

где M1 и Mn – эпюры изгибающих моментов от единичных сил

X1, ..., Xn.

91

На основании принципа независимости действия сил строится суммарная окончательная эпюра изгибающего момента:

где МΣi – изгибающий момент в i-м сечении рассматриваемой конструкции.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно построить

итрадиционным путем, прикладывая найденные неизвестные усилия

изаданную нагрузку к системе и записывая аналитически выражения моментов.

Для проверки правильности решения используется деформационная проверка. В этом случае по методу Мора или способу Верещагина определяются перемещения в новой основной системе в направлении отброшенных связей.

Если условия перемещений в направлении отброшенных связей выполняются, то, следовательно, неизвестные усилия определены верно.

После прикладывания найденных усилий к заданной системе проводится анализ по участкам других свойственных для данной системы внутренних силовых факторов, строятся их эпюры.

Для определения углового или линейного перемещения в статически неопределимых системах необходимо приложить единичную силу F = 1 (для линейного перемещения) или M = 1 (для углового перемещения) к основной системе в сечении, где необходимо найти эти соответствующие параметры и, используя метод Мора или способ Верещагина, определить их.

Таким образом, порядок раскрытия статической неопределимости систем может быть сформулирован следующим образом:

1.Определяют степень статической неопределимости.

2.Выбирают основную систему с позиции наиболее рационального решения.

3.Основную систему превращают в эквивалентную систему.

4.Записывают канонические уравнения метода сил.

92

5.Строят эпюры от заданных сил и от единичных сил в выбранной основной системе.

6.Определяют методом Мора или способом Верещагина коэффициенты и свободные члены, входящие в канонические уравнения.

7.Решают систему канонических уравнений с целью определе-

ния неизвестных усилий Х1, Х2, ..., Хn по направлению соответствующих лишних связей.

8.Прикладывая найденные усилия к эквивалентной системе, строят эпюры внутренних силовых факторов.

9.Проводят деформационную проверку с целью проверки правильности найденных неизвестных значений Х1, Х2, ..., Хn.

10.Осуществляют расчеты прочностного и деформационного характера, если это необходимо.

Пример

Для балки (рис. 9.7) раскрыть статическую неопределенность, построить эпюры Qy и M x , подобрать сечение двутавра, определить

прогиб сечения С.

F = 20 кН, q =10 кН/м,

l = 4 м, a =1 м, [σ] =160 МПа.

Решение:

1.Определим статическую неопределимость: S = 4 −3 =1.

2.Выберем основную систему путем врезания шарнира в защеплении А (рис. 9.6, а).

3.Превратим основную систему в эквивалентную (рис. 9.7, б).

4.Запишем каноническое уравнение:

δ11 X1 +∆1F = 0.

5. Построим эпюру изгибающих моментов в выбранной основной системе от заданных сил (рис. 9.7, в) и от единичного усилия в направлении неизвестного момента X1 (рис. 9.7, г).

93

6. Определим δ11 и ∆1F канонического уравнения способом Верещагина, EJx = const:

МΣ =30 кН м.

9.Деформационная проверка. В защемлении угол поворота в

балке должен быть равен нулю.

Определим угол поворота в сечении А способом Верещагина:

95

12. Определим прогиб в сечении С и подберем двутавр из условия жесткости:

= 9840 см4.

96

Лекция 10. КОСОЙ ИЗГИБ

Косым называется изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей стержня.

Оплоском косом изгибе говорят, когда внешние силы лежат

водной плоскости, но эта плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей, о пространственном изгибе – когда силы, приложенные к стержню, не лежат в одной плоскости.

Косой изгиб удобно представить как комбинацию из двух прямых изгибов. Для этого внешние силы, приложенные к стержню, раскладываются по главным плоскостям стержня, и рассматривается действие каждой системы сил в отдельности.

10.1.Напряжение при плоском косом изгибе

где Mи – вектор изгибающего момента в сечении.

Правило знаков для составляющих моментов: изгибающий момент считается положительным, если он вызывает деформацию растяжения в первой четверти координатных осей (рис. 10.1).

Рис. 10.1

97

где y0 , x0 – координаты произвольной точки нейтральной линии.

Уравнение (10.3) представляет собой прямую, проходящую через начало координат и не совпадающую ни с одной из главных осей.

Отсюда

Положение нейтральной линии характеризуется угловым коэффициентом K1, представляющим собой тангенс угла наклона нейтральной линии к оси Х:

где M y / M x = ctgϕ.

Условие перпендикулярности двух прямых:

K1K2 = −1,

98

Из (10.5) следует что при Ix ≠ Iy нейтральная линия при косом

изгибе не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента, а отклоняется от него в сторону оси с меньшим моментом инерции.

Такие сечения не испытывают косого изгиба. Изгиб прямой. Из уравнения (10.2) видно, что пространственная эпюра нормаль-

ных напряжений представляет собой плоскость, а нейтральная линия есть след пересечения нейтральной плоскости с плоскостью сечения.

10.3. Условие прочности

Оси x и y – главные центральные оси.

tgα = M y Ix , точки А и В – опасные точки (рис. 10.3).

M x I y

Рис. 10.3

99

Для пластичного материала

Для хрупкого материала

где [σ]p и [σ]c – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии;

Xопp , Yопp , Xопc и Yопc – координаты опасных точек соответственно

в растянутой и сжатой зоне.

Для сечений, имеющих две оси симметрии (прямоугольник, двутавр и подобные им), опасными сечениями являются точки, наиболее удаленные от осей X и Y (угловые точки):

где Wx и Wy – осевые моменты сопротивления.

Для подбора размеров сечения балки формулу (10.8) преобразуем к виду

100