Сопротивление материалов конспект лекций

Обозначим выражение, стоящее в скобках, через Mрасч:

Mрасч = M x + K M y ,

где K =Wx /Wy .

Положение опасного сечения по длине балки определяется по этому условию.

(обычно соотношение задается).

При подборе номера стандартного прокатного профиля (двутавр, швеллер) на предварительном этапе расчета выбирается отно-

10.4. Определение перемещений при косом изгибе

Определение перемещений при косом изгибе ведется на основании принципа суперпозиции, для чего внешние силы, приложенные

балки полный прогиб перпендикулярен нейтральной линии: V nn.

101

Пример

Подобрать двутавровое сечение балки, показанной на рис. 10.5. Определить величину и направление прогиба середины пролета. Допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Модуль упругости Е = = 2·105 МПа. Длина балки l = 4 м, сила F = 12 кН.

Решение:

Разложим силу F на составляющие Fx и Fy по главным осям (рис. 10.5, а, н.л. – нейтральная линия):

Fx = F cos ϕ = F cos50° =12 0,643 = 7,7 кН, Fy = F sin ϕ = F sin 50° =12 0,766 =9,2 кН.

Рис. 10.5

Строим эпюры изгибающих моментов Мx и Мy (рис. 10.5, б). Опасным является сечение D, где действуют наибольшие по величине изгибающие моменты.

Опасными точками в сечении являются точки А и В. Материал пластичный, поэтому эти точки являются равноопасными.

Для подбора размеров сечения балки воспользуемся форму-

лой (10.9):

102

Из таблицы сортамента ГОСТ 8239–89 выбираем двутавр № 33 с параметрами:

Wx = 597 см3, Wy = 59,9 см3.

По формуле (10.8) проверяем условие прочности:

Максимальное напряжение значительно меньше допускаемого, поэтому возьмем двутавр меньшего размера № 30а (Wx = 518 см3,

Wy = 60,1 см3). Тогда

Принимаем для балки двутавр № 30а.

Положение нейтральной линии определим по формуле

Для определения полного прогиба сечения D балки находим проекции прогиба на координатные оси:

Направление полного прогиба найдем по формуле (10.10):

tg β = J y tg ϕ= 0,07, β =3,82°.

Jx

103

Лекция 11. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)

11.1. Вычисление напряжений

Внецентренное растяжение (сжатие) представляет собой случай нагружения, при котором линия действия равнодействующей внешних сил параллельна оси стержня z, но не совпадает с ней (рис. 11.1).

Пусть в торцевом сечении стержня в точке А с координатами хF, уF приложена равнодействующая внешних сил F.

В произвольном поперечном сечении стержня возникают три внутренних силовых фактора, постоянных по его длине:

N = F,

M x = FyF ,

M y = FxF ,

где хF и уF – координаты точки приложения рав-

нодействующей внешней нагрузки F (координаты полюса силы). Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) представляет собой сочетание косого изгиба с центральным растяжением

Рис. 11.1 или сжатием. Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения В(х, у) определяется выражением

104

При определении напряжений по формуле (11.2) величины хF, х, уF, у берутся с учетом их знака относительно координатных осей. В условиях внецентренного сжатия перед правой частью формулы (11.2) ставится знак «минус».

11.2. Определение положения нейтральной линии. Условие прочности

При сложном профиле сечения стержня для определения опасной точки предварительно находится положение нейтральной линии. Учитывая, что на нейтральной линии напряжения равны нулю, получаем

где х0 и у0 – координаты любой точки нейтральной линии. Уравнение нейтральной линии будет иметь вид

Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат

(рис. 11.2).

По уравнению можно определить отрезки, отсекаемые нейтральной линией (н.л.) на координатных осях. Обозначим эти отрезки через ах и ау.

105

Если принять, что у0 = 0, х0 = ах, то из уравнения (11.3) получим

Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях:

Исследование этих формул показывает, что точка приложения силы и нейтральная ось лежат по разные стороны относительно центра тяжести сечения.

Отметим, что нейтральная линия делит поперечное сечение стержня на две зоны – сжатую и растянутую. Проводя параллельно нейтральной линии касательные к контуру сечения, найдем опасные точки С и D, лежащие в растянутой и сжатой зонах (см. рис. 11.2).

Условие прочности для стержня из пластичного материала запишется в виде

где хоп и yоп – координаты точки, наиболее удаленной от нейтральной линии (точка D на рис. 11.2).

Для стержней, выполненных из неравнопрочного материала, расчет на прочность ведется для двух опасных точек (в растянутой и сжатой зонах).

106

Условия прочности имеют вид:

врастянутой и сжатой зоне.

11.3.Ядро сечения

Из анализа формул (11.4) можно отметить характерные особенности, связанные с поведением нейтральной линии при различных положениях силы F. Если сила F приложена в центре тяжести сечения (хF = 0, уF = 0), то нейтральная линия отсекает на координатных осях отрезки, равные бесконечности (ах = ∞, ау = ∞). Напряжение

при этом определяется выражением σ = F / A, т.е. имеется центральное растяжение или сжатие с равномерным распределением напряжений по всему сечению. С увеличением координат точки приложения силы хF и уF нейтральная линия будет приближаться к сечению, и при некотором положении точки приложения силы она коснется контура сечения.

При дальнейшем увеличении эксцентриситета нейтральная линия пересечет контур сечения (см. рис. 11.2), разделив сечение на две области – растянутую и сжатую. Понятно, что в случае, когда нейтральная линия касается контура сечения, все сечение испытывает напряжение одного знака. Отсюда следует определение ядра сечения как области, очерченной вокруг центра тяжести и специфичной тем, что продольная сила, приложенная в любой точке этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Из определения ядра сечения вытекает порядок его построения: задаваясь всевозможными положениями нейтральной линии как ка-

107

сательной к контуру сечения, вычисляют соответствующие координаты полюса силы:

Совокупность полученных точек дает контур ядра сечения.

Пример

Для круглого сечения (рис. 11.3):

Для прямоугольного сечения (рис. 11.4):

108

109

Лекция 12. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ

12.1. Изгиб с кручением бруса круглого сечения

Опасными точками опасного сечения (район заделки) являются точки А и В, как наиболее удаленные от нейтральной оси и лежащие в плоскости действия изгибающего момента (рис. 12.1). В этих точках одновременно и нормальные напряжения от изгиба, и касательные напряжения от кручения имеют наибольшие значения:

Рис. 12.1

Выделенные элементы в окрестностях опасных точек находятся в условиях плоского напряженного состояния (точка А и вид сверху, рис. 12.2). Расчет на прочность ведется с использованием теорий прочности.

110