Сопротивление материалов конспект лекций

на также на рис. 2.3.

Пример 2

Подобрать из условия прочности поперечные сечения стальных стержней кронштейна, нагруженного силой F = 200 кН, и определить горизонтальное, вертикальное и полное перемещение узла С (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Стержень АС двутаврового поперечного сечения, стержень ВС круглого поперечного сечения. Допускаемое напряжение для материала стержней [σ] = 160 МПа, модуль упругости Е = 2 105 МПа.

Решение:

1. Составим уравнения равновесия и определим усилия в стержнях. Для этого мысленно вырежем узел С. В местах разрезов приложим неизвестные пока усилия в направ-

21

Принимаем в соответствии с таблицей нормальных размеров d = 52 мм. Уточненная площадь стержня ВС: ABC = π 5,24 2 = 21,2 см2;

б) для стержня АС: АAС = 266,7 103 =1,67 10−3 м2 =16,7 см2. 160 106

В соответствии с сортаментом на двутавровые балки по ГОСТ 8239–72 принимаем двутавр № 14, А = 17,4 см2.

3. Находим изменение длины каждого стержня: а) удлинение стержня ВС

4. Определяем перемещение узловой точки С (рис. 2.6).

Для определения перемещения узла С положим, что стержни в узле С не соединены между собой. Тогда стержень ВС удлинится

22

сумма ∆n = ∆2B +∆г2 = 4, 222 +1, 232 = 4,39 мм.

23

Лекция 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

3.1. Испытание на растяжение образцов малоуглеродистой стали

Для испытания на растяжение используют специально изготовленные образцы. Цилиндрические образцы применяются двух типов: нормальный образец d = 10 мм, l0 = 10d, короткий образец d = 5 мм,

l0 = 5d.

Стандартный образец прямоугольного сечения имеет соотношение l0 = 11,3 A , где l0 – расчетная длина образца (помечается риска-

ми), А – площадь поперечного сечения образца (в пределах расчетной длины).

В учебных целях испытания проводятся на коротких образцах на разрывных машинах типа ИМ-4Р, снабженных прибором для автоматической записи диаграммы растяжения – графика зависимости между растягивающей образец силой и его удлинением (рис. 3.1).

Рис. 3.1

На рис. 3.1 представлена типичная для малоуглеродистой стали диаграмма растяжения. Характерные участки и точки этой диаграммы:

24

–ОА – линейный участок, на котором выполняется закон Гука;

–АВ – закон Гука нарушается, но упругие свойства сохраня-

ются;

–CD – площадка текучести;

–DM – зона упрочнения, требуется увеличение нагрузки для дальнейшего растяжения образца;

–М – точка, соответствующая наибольшей силе, достигнутой при испытании. До точки М деформации распределены по длине образца равномерно, поэтому участок ВМ называют зоной равномерных упругопластичных деформаций;

–МK – зона местных деформаций, в начале которой на образце появляется сужение («шейка»), где затем происходит основной рост деформаций, приводящий к разрыву образца;

–K – точка диаграммы, соответствующая моменту разрыва об-

разца.

При нагружении образца выше предела текучести и последую-

щей разгрузке (прямая EE′) металл меняет свои свойства. Если начать вновь растягивать образец, то диаграмма пойдет примерно по прямой E′E, а затем вдоль линии ЕМK так, как будто разгрузки и повторной нагрузки не было: исчезает площадка текучести, повышается предел пропорциональности, уменьшается относительное удлинение при разрыве – материал становится более хрупким. Это явление называется наклепом.

Диаграмма растяжения перестраивается в диаграмму условных напряжений (рис. 3.2), где по вертикали откладывается нормальное напряжение

σ= F .

A0

По горизонтальной оси откладывается линейная деформация

ε = ∆l . l0

25

– Sк – истинное сопротивление разрыву, рассчитывается как

Sк = Fк ,

Ак

где Fк – разрушающая нагрузка; Ак – действительная площадь сечения в шейке.

3.3. Характеристики пластичности

Основные характеристики пластичности:

– δр – относительное остаточное, равномерное удлинение –

необратимая часть деформации, соответствующая пределу прочно-

сти, δр = ∆llр 100 %;

0

–δ – относительное удлинение после разрыва – выраженное

впроцентах отношение приращения расчетной длины образца после

разрыва к его начальной длине, δ = lк −l0 100 %; l0

– ψ – относительное сужение образца после разрыва – выра-

женное в процентах отношение уменьшения площади поперечного

сечения в шейке к первоначальной площади, ψ = А0 − Ак 100 %.

А0

3.4. Испытание на сжатие хрупких и пластичных материалов

Для испытания на сжатие используются короткие цилиндрические образцы, располагаемые между параллельными плитами

(h / d ≤3).

Диаграмма сжатия пластичных материалов имеет свои особенности по сравнению с диаграммой растяжения, поскольку образец не разрушается, а превращается в диск (рис. 3.3). На результаты таких испытаний существенно влияет трение, которое препятствует перемещению материала в поперечном направлении,

27

Разрушение образцов из хрупкого материала при сжатии происходит вследствие сдвига одной части образца относительно другой с образованием трещин. Для металлических материалов трещины ориентированы по плоскостям наибольших касательных напряже-

ний, т.е. примерно под углом 45° к оси. При этом σпчр << σпчс .

28

Лекция 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМАЦИОННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ.

ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ

4.1. Напряженное состояние в точке и его виды

Напряженным состоянием в точке называется совокупность напряжений (нормальных и касательных), действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

Если в окрестности исследуемой точки шестью сечениями выделить элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда, то напряжения на гранях этого параллелепипеда будут определять напряженное состояние в точке.

При изменении ориентации граней выделенного элементарного параллелепипеда напряжения на них также будут изменяться. В теории упругости доказывается, что можно найти такую ориентацию элемента, при которой касательные напряжения на гранях будут равны нулю. Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения на них – главными напряжениями. Обозначаются главные напряжения буквами σ1, σ2 , σ3 , при этом индексы следует расставлять так,

чтобы выполнялось неравенство σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

Можно выделить три вида напряженного состояния в точке в зависимости от количества действующих по граням параллелепипеда главных напряжений. Напряженное состояние, в котором два главных напряжения равны нулю, называется одноосным или линейным (рис. 4.1, а). В случае равенства нулю только одного главного напряжения (два других отличны от нуля) оно носит название двухосного или плоского (рис. 4.1, б). Если все три главных напряжения не равны нулю, то напряженное состояние называется трехосным или объемным (рис. 4.1, в).

29

σ1

σ3

в

Рис. 4.1

4.2. Исследование плоского напряженного состояния

При исследовании напряженного состояния элементов конструкции часто приходится иметь дело с плоским напряженным состоянием. Например, оно имеет место при кручении, поперечном изгибе и сложном сопротивлении.

Линейное напряженное состояние представляет собой частный случай плоского, поэтому отдельно не рассматривается.

При плоском напряженном состоянии две параллельные грани параллелепипеда свободны от напряжений. Совместим их с плоскостью чертежа и рассмотрим площадки, перпендикулярные ненагруженным граням (рис. 4.2).

30