Сопротивление материалов конспект лекций

15.2. Устойчивость центрально сжатого стержня

Рассмотрим одну из решенных Эйлером задач, а именно задачу о потере устойчивости прямолинейного стержня, один конец которого имеет шарнирную опору, а другой шарнирно-подвижную, нагруженную сжимающей силой Fкр (см. рис. 15.1).

Предполагается, что направление этих сил при выпучивании стержня не изменяется, критическая сила Fкр не вызывает в стержне

напряжений, превышающих предел пропорциональности материала, а также имеют место только малые отклонения от прямолинейной формы.

При F = Fкр возможны две формы упругого равновесия, как

прямолинейная, так и криволинейная. Предположим, что имеет место криволинейная форма упругого равновесия (рис. 15.2).

где Jmin – минимальный момент инерции.

Граничные условия для стержня, шарнирно-закрепленного по краям: 1) y(0) = 0, 2) y(e) = 0.

Общее решение дифференциального уравнения (15.2) имеет вид

151

Из первого граничного условия следует, что В = 0. Из второго

где n – число полуволн.

Полученная формула носит название формулы Эйлера. Практический смысл имеет первая критическая сила при n = 1,

15.3. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

Общая формула для определения критических сил сжатых стержней в зависимости от условий закрепления их концов имеет вид

на стержня.

Значения коэффициента µ можно получить на основе анализа форм потери устойчивости стержня при заданных вариантах закрепления его концов.

Коэффициент приведения µ для Рис. 15.3 некоторых простейших случаев за-

крепления приведения на рис. 15.3.

152

Формула (15.7) применима только к стержням постоянной жесткости, нагруженных сжимающими силами в концевых сечениях.

15.4.Предел применимости формулы Эйлера. График критических напряжений

Условие применимости формулы Эйлера может быть выражено неравенством

Применение формулы (15.8) позволяет вычислить предельное значение гибкости стержня λпр, которое соответствует совпадению

критического напряжения с пределом пропорциональности материала:

Формула Эйлера применима, если λ = µl ≥ λпр.

imin

Для каждого материала предельное значение гибкости индивидуально и зависит только от физико-механических свойств материала (Е, σпц ). Так, например, для cтали 3, модуль упругости которой

Е = 2·105 МПа, а предел пропорциональности σпц ≈ 200 МПа, предельное значение гибкости

153

Уравнение для критического напряжения σкр принято изображать в координатных осях σкр – λ (рис. 15.4). Полученную кривую называют гиперболой Эйлера (стержни 3-й группы).

Рис. 15.4

Опытным путем установлено, что при λ < λпр формула Эйлера

дает завышенные значения критических сил, поэтому ошибка в определении λпр может привести к разрушению.

Для стержней λ0 ≤ λ < λпр критические напряжения можно оп-

ределять по эмпирическим формулам, полученным на основании испытаний серии шарнирно-опертых стержней, имеющих различные значения гибкости, λ < λпр, которые доводят до потери устойчи-

вости.

В диапазоне λ0 ≤ λ < λпр зависимость σк = σк(λ) с достаточной

точностью для пластичных материалов аппроксимируется прямой линией (рис. 15.4) с уравнением

Для сталей λ0 = 0,4λпр, для цветных металлов λ0 = 0,25λпр.

Это уравнение называют эмпирической формулой Эйлера. Коэффициенты a и b приводятся для разных материалов в справочных таблицах. Так, для стали 3 а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

154

Для стержней малой гибкости (стержни I группы) расчет ведется на простое сжатие.

За критическое напряжение для пластинных материалов принимается предел текучести (σт ), а для хрупких – предел прочности при

сжатии (σспр ).

15.5. Расчет на устойчивость вертикального стержня под действием собственного веса

Стержень АВ длиной l защемлен жестко в основании А и свободным верхним концом В (рис. 15.5). Жесткость поперечного сечения по всей длине постоянная. Стержень нагружен

собственным весом интенсивности q.

Критическое значение нагрузки Fкр = ql может быть вычислено по формуле

Пример

Определить отношение критических напряжений для стержней (рис. 15.6, а, б) круглого сечения диаметром d = 2 см и отличающихся длиной. Материал сталь 3, l = 1 м.

а

б

Рис. 15.6

155

Решение:

1. Определим гибкость стержней. Радиус инерции круглого сечения

2. Вычислим критическое напряжение по формуле Эйлера:

3. Определим отношение критических напряжений:

σбкр = 200 = 4.

σкрa 50

Следовательно, при возрастании силы от нулевого значения устойчивость для стержня а будет потеряна значительно раньше, чем для стержня б.

15.6. Практический метод расчета на устойчивость сжатых стержней

Расчет на прочность по трем различным формулам (стержни большой, средней и малой гибкости) является нежелательным, так как является потенциальным источником ошибок. В связи с этим был разработан другой вариант расчета, в основу которого положено по-

156

нятие о коэффициенте понижения допускаемого напряжения, принимаемого в расчетах на сжатие коротких стержней.

При центральном сжатии стержней малой гибкости расчет на прочность, как известно, проводят по формулам:

где φ – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения при расчете на устойчивость,

Коэффициент φ всегда меньше единицы и зависит в первую очередь от гибкости стержня (геометрический фактор) и от механических свойств материала:

Значения коэффициента φ в зависимости от материала и гибкости стержня приводятся в справочных таблицах.

157

Условие устойчивости имеет вид

σ = F ≤ ϕ[σсж ], (15.18)

Aбр

где Абр – полная площадь поперечного сечения, местные ослабления сечения практически не изменяют величину критической силы.

Расчет на устойчивость с использованием зависимости (15.18) может быть выполнен в трех вариантах: проверочный, определение допускаемой нагрузки, подбор сечения.

Наиболее сложной является задача проектирования (подбора) сечения сжатого стержня. Такую задачу решают методом последовательных приближений. Он состоит в том, что задаются значением коэффициента ϕ. Обычно в первом приближении рекомендуют принимать ϕ1 = 0,5…0,6. При принятии какого-либо значения коэффициента ϕ = φ1 из условия устойчивости (15.18) определяют требуемую площадь Fбр. По площади компонуют размеры сечения.

Произведя те же операции, что и при первой попытке, определяют ϕ′2 и сравнивают с ϕ2. В случае необходимости производят следующую попытку. При незначительно отличающихся значениях ϕi и ϕ′i проводят проверку на устойчивость по зависимости (15.18),

расчет прекращается.

15.7. Выбор материала и рациональных форм поперечных сечений сжатых стержней

Сжатые стержни большой и средней гибкости следует проектировать так, чтобы они были равноустойчивыми в главных плоскостях инерции, т.е. соблюдено условие равенства гибкостей:

158

Другим путем, позволяющим повысить устойчивость стержня, является увеличение радиусов инерции сечения при сохранении ус-

ловия (15.20).

Наиболее рациональными в этом случае являются полые сечения, трубчатые, коробчатые или другие, скомпонованные и прокатных профилей.

Пример

Подобрать размеры колонны круглого сплошного и трубчатого сечений (α = 0,6), несущих нагрузку F = 1000 кН при длине l = 10 м и допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа. Оба конца стержня закреплены жестко (рис. 15.17).

Решение:

1. Приближение. Примем φ1 = 0,5. Тогда

159

Радиусы инерции и гибкость:

ϕ1′ = 0,531. Для сплошного сечения отличие заданного коэффициента

Погрешность ε = 0,385 −0,381100 % =1,04 %. 0,385

3. Определение допускаемого напряжения на устойчивость для сплошного и трубчатого сечений.

160