Сопротивление материалов конспект лекций

делом прочности (σв, τв), вторая имеет место только у пластичных материалов и называется пределом текучести (σт, τт). При действии циклически изменяющихся напряжений разрушение происходит при достижении так называемого предела выносливости (σR, τR), значительно меньшего, чем соответствующие пределы прочности.

1.4. Деформации и перемещения

При воздействии внешних сил тело деформируется, изменяя свои размеры и форму. С физической точки зрения деформации могут быть упругими, пластическими и вязкими.

Упругими называются деформации, возникающие при приложении нагрузки и сразу же и исчезающие после ее снятия.

Пластическими (остаточными) называются деформации, не исчезающие ни сразу после снятия нагрузки, ни по истечении доста-

гая деформация.

В геометрическом смысле любая деформация может быть представлена как совокупность линейных (ε) и угловых (γ) деформаций

(рис. 1.3):

где ε – относительная линейная деформация в продольном направлении; γ – угловая деформация (угол сдвига).

11

Лекция 2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

2.1. Продольные силы в поперечных сечениях

Растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N.

Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение (направлена от сечения), и отрицательной, если она вызывает сжатие (направлена к сечению).

Определяется продольная сила методом сечений. В произвольном сечении продольная сила численно равняется алгебраической сумме проекций на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от проведенного сечения. При этом внешние силы, направленные от сечения, входят в уравнение со знаком плюс, а направленные к сечению – со знаком минус, что соответствует указанному выше правилу знаков для продольной силы (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Составим уравнения:

I. N −F1 + F2 = 0, N = F1 − F2.

II. N + F3 − F4 = 0, N = F4 − F3 , −F1 + F2 − F3 + F4 = 0, F4 − F3 = F1 − F2.

13

2.2. Напряжения, деформации и перемещения

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, вычисляются по формуле

Для однородного по длине стержня постоянного сечения при действии продольной силы N нормальные напряжения будут постоянными как по сечению, так и по всей длине. Такое напряженное состояние называется однородным.

При осевом растяжении или сжатии стержня, выполненного из пластичного материала, условие прочности имеет вид

где σpmax и σcmax – максимальные растягивающее и сжимающее напряжения; [σ]p и [σ]c – допускаемое напряжение на растяжение

и допускаемое напряжение на сжатие.

Определяется допускаемое напряжение по формуле

14

где σпр – предельное для данного материала напряжение, при котором в материале либо возникают большие пластические деформации, либо происходит разрушение; [n] – нормированный коэффициент запаса прочности.

Для материалов, находящихся в пластичном состоянии, за предельное напряжение принимается предел текучести (σт), а для хрупких материалов – предел прочности, соответственно при растяжении

это σпчр и при сжатии σспч.

Таким образом, для пластичных материалов

[σ] = [σnт],

где [n] = 1,5…2.

где [n] = 2,5…3.

Условие прочности позволяет решать три типа задач. 1. Проверка прочности:

σ= NA ≤[σ].

2.Подбор сечения – проектировочный расчет. По известным продольной силе и допускаемому напряжению определяется необходимая площадь поперечного сечения стержня:

N

А≥ [σ].

15

3. Определение грузоподъемности. По известным площади поперечного сечения и материалу (допускаемое напряжение) стержня определяется допускаемое значение продольной силы:

N ≤ А[σ].

Затем по известной продольной силе вычисляется допускаемое значение внешней нагрузки.

Размеры нагруженного стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил. Так, если до нагружения стержня (рис. 2.2) его длина была равна l, то после нагружения она станет равной l + ∆l. Величину ∆l называют абсолютным удлинением стержня.

zdz

аb b′

dz

∆dz

Рис. 2.2

Мысленно вырежем из стержня бесконечно малый элемент длиной dz. После приложения нагрузки он получит удлинение ∆dz. Отношение удлинения к длине элемента

ε = ∆dz d z

называется продольной линейной деформацией или линейной деформацией.

16

В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую зависимость между напряжением и деформацией:

где Е – модуль упругости, физическая константа материала.

Если в выражении (2.5) заменить σ на NA , а ε на ∆ddzz , то

∆dz = NEdАz .

Абсолютное удлинение стержня на длине l

При постоянных продольной силе и площади поперечного сечения в пределах каждого участка

Изменение поперечных размеров стержня оценивается относительной поперечной деформацией.

Абсолютное уменьшение поперечных размеров

∆d = d −d1.

Относительная поперечная деформация

ε′= ∆dd ,

где d1 и d – конечный и начальный поперечные размеры стержня. При растяжении ε > 0, ε′ < 0, а при сжатии ε < 0, ε′ > 0. Отношение поперечной деформации к продольной, взятой по

абсолютной величине при простом растяжении или сжатии, называется коэффициентом Пуассона и обозначается буквой µ:

17

Для различных материалов значение коэффициента Пуассона колеблется в пределах от 0 до 0,5.

Из формулы (2.5) следует, что продольная деформация ε = σ/E, тогда ε′ = –µε, или

ε′= –µ Eσ .

При деформации бруса в его материале накапливается потенциальная энергия, величина которой находится по формуле

Для призматического бруса с постоянной по длине продольной силой выражение имеет вид

U = N 2l . 2EA

Удельная потенциальная энергия упругой деформации, т.е. энергия, приходящаяся на единицу объема,

2.3. Примеры расчета статически определимых систем растяжения и сжатия

Пример 1

По оси двухступенчатого стального стержня приложены силы F1 = 30 кН, F2 = 70 кН и F3 = 100 кН (рис. 2.3). Ступени имеют длины l1 = 25 см, l2 = 35 см, l3 = 40 см. Соответствующие площади попереч-

18

ных сечений: A1 = 3 см2, A2 = 4 см2. Модуль упругости для материала стержня Е = 2 105 МПа.

Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Решение:

1. Построение эпюры N. Разбиваем стержень на три участка, границы которых совпадают с сечениями, где приложены внешние силы. Значения продольной силы на каждом участке определяем, пользуясь методом сечений.

Всечении 1–1 N1 = F1 = 30 кН. В сечении 2–2 N2 = F1 – F2 =

=30 – 70 = –40 кН. В сечении 3–3 N3 = F1 – F2 + F3 = 30 – 70 + 100 =

=60 кН.

По полученным значениям строится эпюра продольных сил

(см. рис. 2.3).

2. Построение эпюры σ. Для вычисления напряжений стержень разбивается на четыре участка. Их границы определяются не только сечениями, где приложены внешние силы, но и сечениями, где меняются поперечные размеры стержня. Пользуясь эпюрой N, находим:

19

σBC = N2 = −40 103 = −133 106 Па, А1 3 10−4

Проверка прочности стержня на наиболее напряженном участке

σmax = 150 МПа < [σ] = 160 МПа.

По полученным результатам строим эпюру нормальных напряжений.

3. Построение эпюры перемещений ∆. Определение перемещения начинаем от заделки, где оно равно 0. Перемещение произвольного сечения на расстояние z равно абсолютному удлинению части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой.

Так, перемещение произвольного сечения на третьем участке

может быть вычислено по формуле w(z) = N3z . Это есть уравнение

EA2

наклонной прямой, так как w(z) линейно зависит от переменной z при прочих постоянных для данного участка параметрах.

20