Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Рис. 22. Эволюция функции распределения электронов при распространении волны в бесстолкновительной плазме

Из рисунка видно, что функция, которая была первоначально максвелловской, начинает уплощаться в точке, соответствующей скорости частиц, равной фазовой скорости волны, образуя постепенно "столик" вблизи этой точки. Конечно, редкие столкновения, которые мы здесь не учитывали, постепенно разрушают столик, а волна затухает до нуля.

121

Глава V. Уравнения магнитной гидродинамики. Метод моментов

Сплошные среды часто описываются уравнениями гидродинамики (см. напр. [10])

Уравнения эти обычно получаются из рассмотрения баланса сил, действующих на единичный объём жидкости. Тем же способом можно описывать и газы в том случае, когда длина свободного пробега частиц много меньше характерного размера задачи. В случае замагниченной плазмы пределом применимости является условие малости ларморовского радиуса по сравнению с характерным размером (подробнее об этом см. [11]). Однако при этом остаётся открытым вопрос: как связана гидродинамика с кинетикой и можно ли получить из кинетики предельным переходом уравнения гидродинамики. Мы попытаемся ответить на этот вопрос в настоящем разделе. Для этого рассмотрим метод моментов.

Моментом функции распределения с номером n являются интегралы вида

122

Для того, чтобы получать уравнения для

моментов, будем умножать кинетическое уравнение на соответствующую степень скорости и интегрировать по импульсному пространству.

V.1. Нулевой момент (уравнение непрерывности)

Для того, чтобы получить нулевой момент, просто проинтегрируем кинетическое уравнение по пространству импульсов.

Stdp.

Впервом члене можно поменять порядок

интегрирования и дифференцирования. По определению fdp n, где n − плотность. Тогда

123

определению dpvf nV, где V − средняя скорость. Таким образом,

Член, пропорциональный электрическому полю,

обращается в ноль. Действительно, в компонентах его можно переписать так:

Ze Ex ∂∂pfx dpx dpydpz

Ze Ey ∂∂pfy dpy dpxdpz

Ze Ez ∂∂pfz dpz dpydpx

Так как функция распределения обращается в ноль при бесконечных импульсах, каждый из этих интегралов обращается в ноль.

Член, пропорциональный магнитному полю, также обращается в ноль (см. задачу к этому разделу).

Интеграл от столкновительного члена также должен обращаться в ноль, т.к. если мы не учитываем процессов рождения-поглощения частиц, он не должен менять число частиц.

124

Покажем это. Мы будем учитывать только парные столкновения. Мгновенный уход частиц из объёма фазового пространства вблизи импульса p происходит вследствие столкновения с другой частицей с произвольным импульсом p′. Скорость ухода пропорциональна фазовой плотности таких частиц (т.е функции распределения f , где индекс означает сорт частицы) и вероятности w p, p′, p′′ того, что частица после столкновения будет иметь импульс p′′. Очевидно, что импульс второй частицы после столкновения однозначно определяется законом сохранения импульса. В результате столкновений частицы не только уходят из данного фазового объёма, но и приходят в него. Если частица пришла в него в результате столкновения частиц с импульсами p′ и p′′, то скорость прихода

пропорциональна обеим фазовым плотностям и вероятности w p′, p′′, p . В результате столкновительный член, определяемый балансом прихода и ухода частиц, принимает вид:

− f p f p′ w p, p′, p′′ .

Так как частица сталкивается с частицами всех

сортов, присутствующих в плазме и имеющих всевозможные импульсы, здесь проведено суммирование по всем сортам частиц и интегрирование по p′ и p′′. Проинтегрируем это

125

соотношение по dp и переобозначим в первом члене

что и требовалось доказать. Следовательно,

уравнение для первого момента является уравнением непрерывности

Если в плазме имеют место процессы ионизации и рекомбинации, в правую часть должны быть добавлены члены, описывающие рождение и поглощение частиц.

Мы видим, что уравнение (V.1.7) содержит скорость, для определения которой требуется написать уравнение для следующего момента.

Задача

Доказать, что

126

потом по dpx и dpy, видим, что первый интеграл − это интеграл от производной по pz, который равен разности f на бесконечных пределах, т.е. нулю. Аналогичным образом обращаются в ноль и интегралы от других членов.

V.2. Первый момент (аналог уравнения Навье-Стокса)

Умножим кинетическое уравнение почленно на i − компоненту скорости и проинтегрируем по импульсу

127

К вычислению этого среднего мы вернёмся

позже.

Член, пропорциональный электрическому полю, содержит множитель

Рассмотрим сначала случай, когда i не равно j.

Снова интегрируем сначала по pj и видим, что этот интеграл обращается в ноль.

Рассмотрим теперь случай i j. Интегралы типа

pi ∂∂pfi dp dp dp берём по частям, например,

pxf dp dp − fdp dp dp .

−

Первый интеграл в (V.2.5) равен нулю, а второй

есть не что иное, как плотность. Таким образом, имеем:

128

Здесь ij символ Кронекера.

Вернёмся теперь ко второму члену, включающему среднее vivj . Чтобы вычислить это среднее, разобьём скорость частицы на две составляющие, одна из котрых, V, совпадает со средней упорядоченной скоростью плазмы, а другая, u − хаотическая скорость, среднее от которой равно нулю.

Члены, содержащие нечётные степени u, выпадают, т.е.

Исследуем теперь тензор uiuj ≡ ij, который

называют тензором напряжений. Если функция распределения изотропна в системе координат, движущейся вместе с потоком, то он становится диагональным. Для максвелловской функции распределения

i

в том случае, если температура частиц, движущихся параллельно, равна температуре

129

частиц, движущихся в перпендикулярном направлении. Однако в плазме эти температуры бывают разными. Тогда приходится вводить для них T и Т . Таким образом, второй член в уравнении (V.2.1) принимает вид:

Произведение nT равно давлению данного сорта

частиц P (соответственно, P и P для разных температур), а второй член в правой части (V.2.12) можно выразить из уравнения непрерывности так:

Недиагональные компоненты тензора ij описывают вязкость плазмы. В незамагниченной плазме соответствующий член

Напомним, что подразумевается суммирование по

130