Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

магнитного поля в проводящей среде за счёт конечной проводимости или диффузию переменного поля внутрь проводящего слоя с

коэффициентом диффузии магнитного поля в проводнике. При достаточно высокой проводимости можно положить

nePi E ≡ Ei 1c V, H i .

В металлических проводниках с большой проводимостью это даёт:

В плазме градиент давления не обязан быть

равным нулю, и некритическое использование выражения (V.5.3) может привести к ошибкам.

В металлическом проводнике при высокой проводимости диффузионный член в (V.5.2) перестаёт играть роль, и можно пользоваться уравнением идеальной гидродинамики

Вплазме в этом уравнении появится

141

В этом разделе ограничимся тем случаем, когда

достаточно ограничиться уравнением (V.5.4). Это условие приводит к "вмороженности" плазмы в магнитное поле. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L , движущийся вместе с плазмой, и введём магнитный поток H dS

S

через этот контур. Пусть за малый отрезок времени контур L превратился в контур L′. Тогда изменение потока в первом приближении можно представить как изменение потока через старый контур за счёт изменения магнитного поля плюс изменение потока за счёт изменения площади контура S при неизменном магнитном поле:

Так как элемент контура движется со скоростью плазмы v, то вектор дополнительного элемента поверхности можно представить в виде dS′v, dL t, а интеграл (V.5.6) в виде (см. рис. 23)

(V.1.40), получаем:

142

Глава VI. Линейные МГД-волны и течения в идеально проводящей плазме.

VI.1. МГД-волны малой амплитуды в холодной плазме

В предыдущих главах были рассмотрены волны малой амплитуды в незамагниченной плазме. В замагниченной плазме появляется выделенное направление, связанное с внешним магнитным полем, поэтому спектр возмущений становится значительно более сложным. Рассмотрим малые возмущения в однородной неподвижной холодной плазме. С одной стороны, пусть частота этих возмущений достаточно велика по сравнению с частотой столкновений, т. е. плазму можно считать идеально проводящей. С другой стороны, она должна быть достаточно мала, чтобы можно было пренебречь током смещения в уравнениях Максвелла. Пусть невозмущенная плазма помещена в однородное магнитное поле H0. Невозмущенные величины плотности, давления и магнитного поля будем обозначать индексом "0", а возмущенные волнистой чертой наверху, например H H0 H̃. При этом будем считать возмущенные величины малыми первого порядка величины. Пренебрегая величинами второго порядка малости,

144

линеаризованную систему уравнений, описывающих плазму в МГД − приближении, можно представить в виде:

Будем искать решение системы уравнений (VI.1.1-4) в фурье-представлении

min0 ṽ kmiu2s ñ − 41 H̃ k, H0 − k H0, H̃ . (VI.1.8)

Здесь мы выразили возмущенное давление p̃ через возмущение плотности ñ; считая движение изэнтропическим, s const:

145

где us – скорость звука в незамагниченной среде. Исключаем ñ с помощью уравнения (VI.1.7)

146

Здесь мы ввели фазовую скорость u k .

Эта система уравнений имеет нетривиальное решение, если ее определитель обращается в ноль.

или

Здесь мы ввели альфвеновскую скорость

Знак означает, что волна может распространяться как вдоль направления оси x, так и против него. Угол между осью x и полем H0 может быть произвольным. При увеличении угла фазовая скорость уменьшается от альфвеновской до нуля при распространении перпендикулярно магнитному полю. Возмущение магнитного поля H̃ перпендикулярно как невозмущенному магнитному полю, так и направлению распространения волны, т.е. направлено вдоль оси z. Возмущение плотности пропорционально x-составляющей скорости:

147

.

Очевидно, что групповая скорость направлена строго вдоль невозмущенного магнитного поля.

Рассмотрим теперь остальные компоненты системы (VI.1.10-12). Y–компонента уравнения

(VI.1.10) дает:

Y– компонента уравнения (VI.1.11) дает:

148

X – компонента уравнения (VI.1.10) дает:

X – компонента уравнения (VI.1.11) дает тождественный ноль.

Для получения дисперсионного уравнения определитель системы (VI.1.21-23) следует приравнять к нулю. В результате получаем биквадратное уравнение

корни которого имеют вид:

Колеблются x и y-компоненты скорости и y– компонента магнитного поля. При этом векторы H̃ и ṽ лежат в плоскости H0k.

Проанализируем полученные ветви колебаний в пределе большого и малого отношений магнитного

149

давления и давления плазмы. Рассмотрим сначала случай

Вэтом случае волна u2 ≈ us, т.е. превращается

вобычный звук. Волна u3 превращается в волну с фазовой скоростью.

В несжимаемом случае us → , и остается только один тип волны, который и исследовался Альфвеном. В этой волне

Очевидно, что в этом случае v H0, т.е. в гидродинамическом смысле это строго поперечная волна. Рассмотрим теперь противоположный случай, т.е.

Это равнозначно малости параметра

150