Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

повторяющимся индексам. В магнитном поле тензор вязкости имеет гораздо более сложный вид

[13].

∑ dpdp′dp′′f p f p′ w p, p′′, p" p − p" .

Из этого выражения видно, что столкновительный член равен некой эффективной потере импульса. Пусть поток частиц движется относительно частиц другого сорта. Если пренебречь зависимостью сечения рассеяния от относительной скорости двух сталкивающихся частиц, то передача импульса от одной фракции частиц к другой будет равна нулю. Очевидно, что в этом случае столкновительный член должен быть пропорционален разности макроскопических скоростей, т.е.

131

Величина здесь представляет эффективную

частоту столкновений данных частиц с частицами сорта . Сечение кулоновских столкновений быстро падает с ростом относительной скорости частиц. В связи с этим в плазме интеграл столкновений даёт ещё один член, так называемую термосилу. Природа её такова. Рассмотрим незамагниченную плазму. Пусть в плазме находится пробный ион. С ним сталкиваются электроны, приходящие из области более высоких температур с той тепловой скоростью, которую они приобрели при последнем столкновении. Эта скорость соответствует температуре в точке, отстоящей на длину свободного пробега от места положения пробного иона. Они стремятся сдвинуть ион в область более низких температур. Из области более низких температур также приходят частицы, стремящиеся сдвинуть ион в противоположную сторону. Пусть потоки тех и других частиц равны. Тогда, в силу того, что сечение рассеяния более холодных частиц больше, на пробный ион действует результирующая сила RT, стремящаяся сдвинуть его в сторону более высокой температуры. Ясно, что эта сила должна быть пропорциональна температурному градиенту. По третьему закону Ньютона точно такая же сила, но с противоположным знаком, должна действовать на электроны. Точный расчёт показывает, что в

132

направлении, параллельном магнитному полю, эта сила для иона с Z 1 равна

В замагниченной плазме выражение (V.2.1) дает параллельную составляющую термосилы, действующей на ионы. Перпендикулярная составляющая имеет более сложгый вид и приведена в работе [13].

Термосила является чисто столкновительным эффектом, но частота столкновений в неё не входит.

Cобирая вместе члены (V.2.2), (V.2.7), (V.2.8), (V.2.12), (V.2.13), и (V.2.16), в результате получаем уравнение баланса импульса:

− mn Vi − V i − ∂ ij Ri

∂xj T

Следует помнить, что термосила для электронов имеет противоположный знак. В уравнение (V.2.18) снова входит следующий момент, температура. Поэтому надо привлекать следующий, второй момент. Частоты столкновений для движения, параллельного магнитному полю, и перпендикулярного к нему, различаются множителем порядка единицы.

133

V.3. Второй момент (уравнение для температуры)

Второй момент получается аналогично нулевому и первому. Для этого надо умножить кинетическое уравнение на mv2/2 и проинтегрировать по импульсу. Снова разбивем скорость частицы на среднюю и хаотическую. В результате получаем:

описывающий источники тепла, потери тепла за счёт излучения, а также обмен энергией между разными компонентами плазмы, dtd ∂∂t V . В

уравнение снова входит следующий момент от функции распределения q nm u2u . Однако цепочку уравнений можно оборвать, если предположить диффузионный характер теплопереноса. В этом случае поток тепла выражается через температуру

В это уравнение обычно не включают вязкое тепловыделение. В термоядерной плазме оно обычно мало по сравнению с другими источниками.

В гидродинамике обычно ограничиваются тремя моментами. Эта система уравнений в полном

134

виде приведена в работе [13]. Но довольно широкое распространение получил 13-моментный метод Грэда. Однако он годится лишь для численных расчётов и совершенно неприменим для качественного анализа процессов в плазме.

∂∂pfy vxHz − vzHx ∂∂pfz vxHy − vyHx .

Вычислим интеграл, соответствующий

x-компоненте уравнения (V.1.1).

∂∂pfy vxHz − vzHx ∂∂pfz vxHy − vyHx .

Второй и третий члены при интегрировании дают ноль аналогично интегралам от похожих выражений в предыдущей задаче. Интеграл от

135

первого члена берём по частям:

dpxdpydpzpx ∂∂pfx vyHz − vzHy −n VyHz − VzHy .

Другие компоненты уравнения (V.1.1) вычисляются аналогично. Окончательный результат, переписанный в векторной форме, даёт:

v v, H ∂∂pf dp n V, H .

V.4. Одножидкостная гидродинамика

написанные по отдельности для электронов и разных сортов ионов, представляют собой уравнения многожидкостной гидродинамики. Рассмотрим пока более простой случай двухжидкостной гидродинамики, когда плазма состоит из электронов и одного сорта ионов. Для простоты будем считать, что ионы однозарядные, Z 1. В этом случае можно перейти к более простой системе одножидкостной гидродинамики.

Для электронов уравнение (V.2.18) перепишется

так:

136

Мы заменили разность скоростей ионов и

электронов через плотность тока j ne Vi − Ve и ввели проводимость плазмы

упорядоченная скорость электронов не слишком превосходит упорядоченную скорость ионов, то массовая скорость практически совпадает с последней. Примем во внимание также, что mi mi, условие квазинейтральности ne ni, пренебрежём вязкостью и сложим уравнения (V.4.1)

и (V.4.3):

137

P Pi Pe.

Уравнение (V.4.4) можно переписать несколько

иначе, используя уравнение rotH 4c j.

min ddtV −P 41 , H , H .

Раскрывая двойное векторное произведение в правой части, получаем:

Это уравнение должно быть дополнено уравнением для тока. Воспользуемся для этого уравнением (V.4.1). Оценим члены в левой и правой частях. Пусть характерное время изучаемого процесса . Тогда первый член в левой части имеет величину порядка nmeVe/ . Первый член в правой части имеет порядок nTe/a nmev2Te/a, где a -

характерный размер задачи. Второй член в левой части имеет порядок men Ve 2/a. Очевидно, что

если Ve vTe и Ve v2Te/a, левой частью в уравнении (V.4.1), т.е. инерцией электронов можно

пренебречь. В результате получаем обобщённый

138

закон Ома:

Электронная вязкость во многих задачах

пренебрежимо мала. В металлических проводниках градиент электронного давления пренебрежимо мал (чего нельзя сказать о горячей плазме), а относительная скорость электронов и ионов практически равна электронной скорости. Поэтому в металлическом проводнике уравнение (V.4.6) переходит в обычный закон Ома с учётом эффекта Холла.

Из уравнения (V.4.1) получаем одно из важнейших уравнений в теории магнитного удержания − условие равновесия. В стационарном случае производная по времени обращается в ноль. Для неподвижной плазмы уравнение равновесия принимает вид:

Во многих случаях плазма в термоядерных установках вращается. Инерционный член min V, V оценивается так же, как и для электронов. Поэтому если скорость вращения плазмы много меньше тепловой скорости ионов, то уравнение (V.4.6) пригодно для расчёта равновесия

139

и в этом случае. Следует, однако, заметить, что ионы примеси часто значительно массивнее ионов основной плазмы, и при расчётах следует учитывать их инерцию.

V.5. Теорема вмороженности

Рассмотрим бесстолкновительную плазму, скорость движения которой много меньше тепловой скорости ионов. Тогда в уравнении (V.4.3) можно пренебречь инерцией ионов. Пренебрежём также вязкостью и термосилой. Тогда плотность тока в плазме выражается в виде:

В металлическом проводнике Pi 0. Возьмём rot от уравнения Максвелла rotH 4c j

Правая часть уравнения (V.5.2) описывает диффузионное расплывание неоднородностей

140