Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Введем также обозначение u H/ 4 Линеаризованные МГД - уравнения принимают

вид:

Левая часть уравнения обращается в ноль. Это легко показать в компонентах. Пусть v0 направлена вдоль оси x.

∂∂x v0 ∂∂x v′x ∂∂y v0 ∂∂x v′y ∂∂z v0 ∂∂x v′z

v0 ∂∂x divv′ 0.

Последний член в (VI.3.10) можно представить в виде: div u, , u′ div u0, u′ − u0, u′ 0 в

силу divv′ 0

В результате получаем:

161

Пусть плоскость разрыва совпадает с плоскостью x 0, а v и u параллельны этой плоскости. Будем искать решение для возмущения в виде e−i tikyyxiktz æx, причем

æ0 при x 0;

æ0 при x 0.

Вэтом случае возмущение будет затухать при

x→ .

Тогда из уравнения (VI.3.11) получаем

k2 − æ2 p′k, uu′k, 0 ,

162

Компонента возмущенной скорости u′n состоит из двух частей: вариации на возмущенной границе и появившейся нормальной составляющей за счет искривления границы:

квадратного уравнения:

163

2 ku1 2 2 ku2 2 − k, v2−v1 2 0,

или

v2i − v1i ≥ 0.

Это неравенство должно выполняться для всех k. Это можно переписать так:

Одновременное выполнение этих двух условий

164

и является условием устойчивости тангенциального разрыва.

В заключение оценим времена расплывания разрывов. Пусть все величины зависят только от x. Оценим сначала скорость расплывания за счет конечной проводимости. Уравнение для магнитного поля напишется в виде

т.е. ширина слоя растет как корень из времени. С другой стороны, скорость расплывания разрыва

И в этом случае зависимость корневая.

165

Глава VII. Ударные волны

VII.1. Общие соотношения

Весьма специфическим и практически интересным типом разрывов являются ударные волны. Природу таких волн проще всего объяснить на примере образования ударной волны в изначально однородной и изотропной среде. Пусть в начальный момент времени из точки x0 излучается сгущающий импульс. В линейном приближении мы пренебрегаем изменениями среды, по которой такой импульс пробежал. Реально энергия звуковой волны диссипируется в среде и нагревает ее. Следующий импульс, испущенный из точки x0 в момент времени t2, будет распространяться уже по более плотной среде и, соответственно, иметь большую скорость. То же можно сказать и о последующих импульсах. Таким образом, импульсы догоняют и усиливают друг друга, образуя ударный фронт. Если же распространяется импульс разрешения, то последующие импульсы разрешения отстают от него и ударного фронта не образуют. Ситуация может быть иной в излучающей плазме.

Итак, рассмотрим разрывы, сквозь границу которых имеется поток вещества j ≠ 0 и наблюдается скачок плотности ≠ 0.

Нормальная составляющая магнитного поля

166

может быть как равна нулю, так и иметь конечную величину. Рассмотрим сначала случай Hn ≠ 0.

Тогда из (VI.2.14-15) имеем:

на границе направление магнитного поля не меняется. В обоих случаях лежит в той же плоскости, что H1 и H2.

Перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью

Hn ≠ 0

Значения этой величины одинаковы по обе стороны разрыва вследствие (VI.2.14). Таким переходом можно добиться того, чтобы v и H были параллельны друг другу по обе стороны границы.

Исключая vt из (VI.2.13) и (VI.2.14),

получаем:

167

Третий член в левой части обращается в ноль в силу (VI.2.13). Подставим j2 из (VI.1.5) в последний член, а во 2-й член – ту же величину из (VI.2.12), т.е.

Это соотношение называется ударной адиабатой и связывает скачки H, P и Оно отличается от адиабаты в обычной газовой динамике наличием члена с магнитным полем. Таким образом, нами получен аналог адиабаты Гюгонио в обычной гидродинамике [12].

Добавив к адиабате уравнение (VI.2.13), его удобнее переписать в виде vt2 − vt1 4Hnj Ht2− Ht1 .

В результате получаем полную систему

168

уравнений для ударной волны.

VII.2. Слабые ударные волны

Рассмотрим слабые ударные волны. При

стремлении скачков к нулю скорость распределения должна стремиться к скорости распространения линейных волн. Таких скоростей две: u2 и u3 (u1– скорость распространения вращательного разрыва). Разложим уравнение адиабаты по скачку давления

169

Здесь производные берутся при постоянной энтропии s. В замкнутой системе энтропия не может убывать (это, естественно, не относится к излучающей плазме), т.е. s2 ≥ s1

Но

Кроме того, для большинства сред

Из условия s2 ≥ s1 получаем

Рассмотрим теперь характер изменения магнитного поля. Для слабых возмущений, как и для магнитных волн, можно положить для скачков плотности и магнитного поля:

Тогда с помощью уравнения

170