Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

≡ Im pe/2, т.е. сравним по порядку величины с электронной плазменной частотой.

Глава X. Столкновения в плазме

Как уже указывалось, в горячей плазме целый ряд процессов происходит достаточно быстро, и столкновениями частиц при их изучении можно пренебречь. С другой стороны, многие процессы, такие, например, как установление равновесия, перенос тепла и частиц, распространение медленных возмущений существенным образом зависят от столкновений. В главе V мы уже рассматривали некоторые свойства интеграла столкновений, стоящего в правой части кинетического уравнения. В этой главе мы изучим интеграл столкновений подробнее.

X.1. Интеграл столкновений в форме Ландау

Как уже указывалось, в левую часть кинетического уравнения (IV.2.6) входят электрические и магнитные поля, создаваемые как внешними источниками, так и собственными усреднёнными зарядами и токами в плазме. Но

211

помимо усреднённых полей в плазме существуют поля, которые существенно превышают усреднённые. Эти поля действуют на частицу, если она достаточно близко подходит к другой частице. Действие таких полей обычно сводят к мгновенным столкновениям. Интеграл столкновений в правой части кинетического уравнения учитывает действие таких полей. Оно сводится к мгновенному перебросу частицы из одного элемента импульсного пространства в другой. Так как столкновение происходит практически мгновенно, частица остаётся в том же элементе обычного пространства. Столкновения могут быть парными, тройными, и т.д. Однако в плазме обычно плотность частиц достаточно мала, и тройными, а также столкновениями более высокого порядка можно пренебречь. Итак, интеграл столкновений определяет баланс частиц, приходящих в результате столкновений в элемент фазового объёма drdp и уходящих из него.

Пусть в объём dr попадают две частицы с импульсами (это могут быть и обобщённые импульсы) p и p1. Столкновение "выбивает" частицу из своего импульсного объёма dp. При этом она может оказаться в произвольной точке импульсного пространства p′. Вторая частица после столкновения будет иметь импульс p′′, который связан с импульсами p, p1, и p′ законом сохранения импульса (считается, что время столкновения настолько мало, что усреднённые силы не могут изменить суммарный импульс сколько-нибудь заметно):

212

p p1 p′ p′1. (X.1.1)

w p, p1 → p′, p′1 содержит −функцию от p′1. Здесь f p − число частиц в единице фазового объёма с

импульсом p, fi p1 − число частиц с импульсом p1, с которыми сталкивается первая частица. Эти частицы могут быть частицами разных сортов, например, электроны и ионы. Суммирование

Тогда столкновительный член, описывающий баланс между двумя этими процессами, принимает вид

213

−∑ f p fi p1 w p, p1 → p′, p′1 dp1dp′dp′1

i

Соотношение унитарности

w′ p′, p′1 → p, p1 dp1dp′ w p, p1 → p′, p′1 dp1dp′

позволяет преобразовать выражение (X.1.4) к виду

Кинетическое уравнение со столкновительным членом в виде (X.1.5) называется уравнением Больцмана.

Здесь vотн − относительная скорость частиц

случае столкновений нейтральных частиц сечение быстро спадает с ростом прицельного параметра. В случае же кулоновских столкновений сечение падает с ростом прицельного параметра, а значит, и с падением переданного импульса, медленно. Таким образом, в плазме основной вклад в интеграл столкновений дают столкновения с малой передачей импульса.

Выразим интеграл столкновений через переданный импульс q :

214

Так как основную роль играют столкновения с малой передачей импульса, p q, p1 q, функции распределения в интеграле столкновений (X.1.5) можно разложить в ряд:

Процессы с малой передачей импульса можно приближённо описать диффузией в импульсном пространстве,

Вычислим плотность потока частиц в импульсном пространстве S . Рассмотрим единичную площадку, расположенную в некоторой точке p импульсного пространства, перпендикулярную вектору p. Пусть q _ проекция вектора q на направление вектора p. Число частиц, проходящих через эту площадку в единицу времени в направлении p, т.е. частиц, для которых q 0, можно выразить так:

215

Выбранную нами площадку пересекают только частицы, импульсы которых лежат в малом интервале от p − q до p, и интегрирование по dp можно заменить просто умножением на длину интервала q .

В противоположном направлении поток частиц равен:

S − ∑d3q d3p1w p, p1, −q f p q fi p1 − q q . (X.1.11)

и разлагая в ряд Тейлора функции распределения, вычитаем из выражения (X.1.10) выражение (X.1.11):

Вследствие соотношения (X.1.12) интеграл по q (X.1.13) можно представить как половину интеграла от − до . Вероятность w можно выразить через сечение рассеяния и относительную скорость

216

Вычислим тензор B для кулоновских столкновений. При малых углах рассеяния переданный импульс q перпендикулярен относительной скорости, т.е.

Следовательно, тензор B является поперечным по отношению к вектору относительной скорости

v − v1.

Из соотношений (X.1.15) и (X.1.17) видно, что для максвелловских функций распределения S обращается в ноль, так как производная по скорости от максвелловской функции пропорциональна скорости.

Сечение может зависеть только от относительной скорости. Единственный возможный поперечный тензор должен иметь вид:

217

где скаляр B имеет вид

Рассмотрим две частицы в системе их центра инерции. В этой системе при малых углах рассеяния

q |v − v1 | .

Подставляя это выражение в (X.1.20), получаем:

Здесь dO 2 sin d − элемент телесного угла, e и ei − заряды частиц. Транспортное сечение, таким образом, выражается так:

218

Величина L d / называется кулоновским

o

логарифмом. Легко видеть, что кулоновский логарифм расходится как на нижнем, так и на верхнем пределе. Расходимость на верхнем пределе связана с тем, что мы проводили вычисления при малых углах рассеяния. Однако слабая логарифмическая расходимость позволяет ограничить углы рассеяния величиной max ≈ 1 c хорошей степенью точности. Расходимость на нижнем пределе связана с тем, что кулоновское сечение медленно падает с ростом прицельного расстояния, т.е. с уменьшением угла рассеяния. Однако в плазме поле рассеивающей частицы экранируется другими частицами на расстоянии порядка дебаевского радиуса rD. Поэтому интеграл можно обрезать на нижнем пределе величиной min.

Угол рассеяния при малых можно оценить так:

Здесь F − кулоновская сила, a − минимальное

расстояние между частицами. Для минимального угла рассеяния можно положить a rD. Таким образом,

219

где S имеет вид (X.1.26), называется интегралом столкновений в форме Ландау.

220