Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Этот параметр равен отношению плазменного давления к магнитному и часто используется в теории магнитного удержания. Введем также угол между невозмущенным магнитным полем H0 и направлением распространения волны (или волновым вектором k ). Тогда решение (VI.1.25) можно было переписать так:

Волну, соответствующую u2, называют быстрым звуком, а u3 – медленным.

Рассмотрим два частных случая. Пусть волна распространяется перпендикулярно невозмущенному магнитному полю, cos 0. Тогда даже при произвольном

При продольном распространении, cos 1,

151

Качественная картина распространения МГД-волн представлена на фазовой диаграмме рис. 24.

Рис. 24. Качественная фазовая диаграмма распространения МГД-волн

Фазовая скорость каждой из волн определяется следующим образом. Горизонтальная ось соответствует направлению невозмущенного магнитного поля. Радиус, проведенный под углом к горизонтальной оси, определяет направление распространения волны. Расстояние от начала координат до точки пересечения радиуса-вектора с

152

соответствующей кривой определяет фазовую скорость данной волны. Из рисунка видно, что наибольшей фазовой скоростью обладает быстрый магнитный звук, распространяющийся поперек поля.

VI.2. Тангенциальные разрывы

Уравнения идеальной магнитогидродинамики без учета диссипативных процессов допускают разрывные решения. Такие разрывы, конечно, размываются вследствие вязкости, теплопроводности и конечного сопротивления. Однако процессы размытия разрывов могут оказаться достаточно медленными, и имеет смысл изучать разрывные решения.

Пусть в потоке плазмы имеется поверхность разрыва. Если на поверхности нет процессов рождения – поглощения частиц, то нормальная составляющая потока частиц через границу должна быть непрерывна:

Здесь vn1,2 – нормальные составляющие скорости по одну и другую стороны поверхности разрыва. Фигурные скобки означают их разность. В отсутствие энерговыделения на поверхности непрерывен также и полный поток энергии:

153

Последний член в правой части (VI.2.3) преобразуем следующим образом:

H, rotH 12 H2 − H H ,

или в компонентах

154

Последний член в силу divH 0 обращается в ноль, поэтому окончательно имеем:

Таким образом, тензор ik можно представить в виде

Так как уравнение (VI.2.4) имеет дивергентную форму, нормальная составляющая потока iknk должна быть непрерывной. Здесь n − нормаль к границе.

Действительно, проинтегрируем это уравнение по малому объему, включающему границу, причем две стороны этого объема параллельны границе, а остальные – перпендикулярны. Применяя теорему Гаусса и устремляя толщину слоя к нулю, получаем

Нормальная к границе составляющая этого уравнения дает:

155

Здесь vt и Ht – тангенциальные составляющие скорости и магнитного поля на границе.

Из уравнения divH 0 легко видеть, что непрерывна нормальная составляющая магнитного поля

непрерывность тангенциальной составляющей электрического поля. В идеально проводящей среде с нулевым градиентом давления индукционное

Введем поток массы через разрыв:

jvn.

Сучетом условий j 0, Hn 0 остальные условия на границе разрыва можно написать в виде:

156

157

разрыве скорость и магнитное поле параллельны его поверхности и испытывают произвольные по величине и направлению скачка. Произволен также скачок плотности. Из (VI.2.14) получаем непрерывность на границе полного (плазменного плюс магнитного) давления. Окончательно для тангенциального разрыва получаем:

VI.3. Вращательные разрывы

Рассмотрим теперь разрывы, в которых плотность не испытывает скачка,

В таких разрывах вследствие непрерывности j не испытывает скачка и нормальная составляющая скорости:

158

Вынесем в правой части (VI.2.15) за скобки , разделим почленно (VI.2.15) на (VI.2.16) и, извлекая корень, получаем поток через границу:

Тогда из уравнения (VI.2.15) получаем скачок тангенциальной скорости:

vt Ht . 4

Теперь нетрудно показать, что и скачок внутренней энергии обращается в ноль. Действительно, подставим в (VI.2.13) энтальпию в

159

непрерывности j и зануляется.

В результате после сокращения на j имеем:

В силу (VI.3.4) сумма последних трех членов в (VI.3.5) обращается в ноль. В результате во вращательном разрыве непрерывными оказываются внутренняя энергия и прочие термодинамические функции. Следовательно, P 0, и из (VI.2.14) получаем H2t 0. Совместно с условиемHn 0 находим, что скачок модуля магнитного поля равен нулю,

т.е. на границе разрыва магнитное поле, не меняясь по величине, поворачивается вокруг нормали.

Согласно (VI.3.4), vt также не меняется по величине, а поворачивается вокруг нормали к поверхности разрыва в системе отсчета, где

Рассмотрим устойчивость тангенциального разрыва. Все величины представим как невозмущенные плюс малое возмущение; v0, H0, P0 постоянны с каждой стороны разрыва:

160