Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Глава IX. Электромагнитные волны в плазме

IX.1. Электромагнитные волны в незамагниченной плазме

Ранее мы анализировали сравнительно низкочастотные волны в плазме: МГД-волны, ленгмюровские и др. При этом мы в уравнениях

Максвелла пренебрегали током смещения ∂∂Еt . В

этом разделе мы рассмотрим высокочастотные волны, для чего будем изучать полные уравнения Максвелла:

div E 4 , div H 0.

Уравнения Максвелла должны быть также дополнены материальными уравнениями. Одним из них является уравнение непрерывности для тока:

Введем вектор P, такой, что

191

Тогда из уравнения непрерывности электрического заряда получаем:

Подставляя (IX.1.4) в (IX.1.1), получаем:

Из (IX.1.1) и (IX.1.4) видно, что div E −div P.

Введем вектор электрической индукции

Тогда два из уравнений (IX.1.1) можно переписать так:

Здесь − символ Кронекера. В изотропной плазме − диагональный тензор, .

Введем также тензор диэлектрической проницаемости

192

В изотропной плазме .

Воздействуя оператором rot на уравнение (IX.1.7), получаем в операторном виде:

Для того, чтобы получить дисперсионное уравнение, связывающее частоту и волновой вектор, перейдем к фурье-представлению:

решение только в том случае, если

193

Если p, то 0, Re 0. Следовательно, волна с такой частотой распространяться не может. Пусть извне на неоднородную плазму падает электромагнитная волна, длина которой много меньше характерного размера неоднородности. Очевидно, что плазменная частота р по мере

углубления в плазму растёт с ростом плотности. Следовательно, такая волна должна отразиться от поверхности, на которой плазменная частота начинает превышать частоту волны. Это не значит, что возмущения вовсе не проникают глубже этой поверхности. На самом деле электромагнитная волна вблизи поверхности частично трансформируется в собственные колебания плазмы.

194

Заметим, что для рассматриваемых волнвсегда меньше единицы, и фазовая скорость всегда больше скорости света. Естественно, что это не противоречит теории относительности, так как информация переносится не с фазовой, а с групповой скоростью, которая не превосходит скорость света.

IX.2. Электромагнитные волны в замагниченной плазме

Если в незамагниченной плазме не было выделенного направления, то в замагниченной плазме такое направление существует. Поэтому диэлектрическая проницаемость такой плазмы – это тензор, а набор волн, распространяющихся в ней, значительно богаче.

Вернемся к уравнениям Максвелла и перепишем их в фурьепредставлении:

195

Аналогичная ситуация возникает в кристаллооптике. Там уравнение (IX.2.6) называют уравнением Френеля.

Вычислим в холодной магнитоактивной плазме, т.е. будем считать, что kvTe. В этом случае можно пренебречь такими кинетическими эффектами, как затухание Ландау, и производить вычисления в гидродинамическом приближении.

Разобьем поляризацию на электронную и ионную части, P Pe Pi. Из уравнения (IX.1.3) для каждой из них имеем:

откуда находим вектор поляризации

196

j

Здесь индекс j означает сорт частиц, j e, i. Zj означает знак заряда частицы. Мы будем

и единичный вектор h H/H, направленный вдоль магнитного поля.

Пусть система координат выбрана так, что ось z направлена вдоль магнитного поля. Тогда систему (IX.2.10) можно переписать в компонентах так:

197

Уравнение (IX.2.13) содержит только z-компоненту скорости, а (IX.2.11) и (IX.2.12),

напротив, ее не содержат. Таким образом, она отщепляется. Выразим скорости через электрическое поле с помощью (IX.2.11) _ (IX.2.13) и подставим (IX.2.8). Используя условие квазинейтральности ni ne ≡ n, получаем:

Пользуясь этими соотношениями и связью между P и E (IX.1.9), (IX.1.10), находим компоненты тензоров и :

198

диэлектрической проницаемости в виде

199

00

Влитературе иногда также встречаются обозначения: ≡ ; ≡ .

Заметим, что все компоненты этого тензора не

зависят от волнового вектора.

Итак, теперь мы можем выразить все коэффициенты в дисперсионном уравнении (IX.2.6) через и k. После простых, но громоздких вычислений можно получить:

поля.

Так как функции A, B и C, так же, как и тензор, не зависят от волнового вектора, решение биквадратного уравнения (IX.2.22) позволяет найти зависимость фазовой скорости /k от частоты. Уравнение (IX.2.22) биквадратное, поэтому имеются два решения для квадрата фазовой скорости, т.е. два типа волн.

В общем случае выражение для фазовой скорости очень громоздко, поэтому рассмотрим некоторые частные случаи.

200