Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Подставляя (II.1.2) во второе уравнение (II.1.1),

Здесь R r − r′ − вектор, соединяющий точку внутри объёма интегрирования с точкой наблюдения, dV′ dx′dy′dz′ − элемент объёма.

Силовая линии - это линия, касательная к которой в каждой её точке совпадает по направлению с вектором H. Уравнения силовых линий в декартовой системе координат имеют вид:

Уравнения силовых линий могут быть представлены в гамильтоновой форме. (Подробно об этом можно прочитать в книге А.А. Сковорода. Магнитные ловушки для удержания плазмы. Москва, Физматлит, 2009 г.) Проще всего это представление можно получить в случае

двумерного поля H Hx x, y ; Hy x, y , H0 , где H0 const. Векторный потенциал такого поля

51

Если выразить поле через векторный потенциал (II.1.8) и ввести гамильтониан H Az, то эти уравнения преобразуются к гамильтоновой форме:

Полезно ввести понятие магнитной трубки. Это трубка, поперечный размер которой много меньше размера, на котором существенно меняется магнитное поле, а поверхность устроена так, что её не пересекают силовые линии. Можно также ввести удельный объём такой трубки:

Здесь V − объём трубки, а - поток через её

52

сечение. Если l - координата вдоль силовой линии, то (II.1.12) можно переписать так:

Нахождение магнитного поля и его силовых линий значительно упрощается в областях, где отсутствуют токи, в частности, в вакууме. В таких областях rotH 0, и можно ввести скалярный магнитный потенциал M, такой, что

При этом область, в которой это представление

справедливо, должна иметь определенные свойства. Через поверхность, натянутую на произвольный замкнутый контур в этой области, не должен протекать ток. В противном случае она должна быть разрезана. Рассмотрим, например, поле тороидального соленоида. Любая силовая линия в таком соленоиде замкнута, и через поверхность, натянутую на круговую силовую линию, протекает ток, локализованный на обмотке. В этом случае объем тора должен быть рассечен плоскостью,

53

перпендикулярной силовым линиям, а скалярный потенциал будет иметь на разрезе скачок.

Задача

Вычислить скалярный потенциал магнитного диполя.

Решение

Векторный потенциал магнитного диполя (см. формулу (I.1.8)) имеет одну компоненту A sin . Компоненты магнитного поля

выражаются через A :

Легко видеть, что для того, чтобы эти уравнения приняли вид H − M или в компонентах

Hr − ∂∂rM , H − 1r ∂∂ M ,

функция M должна иметь вид: M 4 r2 cos .

Зная скалярный потенциал диполя, можно рассчитать вакуумное поле от любого контура с током. Натянем на такой контур поверхность,

54

плотно заполненную магнитными диполями, токи в каждом из которых равны току в контуре. Все токи таких диполей внутри поверхности взаимно уничтожатся. Нескомпенсированными останутся лишь токи на границе. Скалярный потенциал поля, создаваемого контуром, будет равен сумме потенциалов отдельных диполей:

Здесь J − ток в контуре. Взяв градиент от

(II.1.16), получаем H. Такое вычисление часто оказывается значительно проще, чем вычисление по формуле Био-Савара-Лапласа.

II.2. Магнитные поверхности, коэффициент запаса устойчивости, шир

Во многих случаях магнитные силовые линии не располагаются в некоторм трёхмерном объёме, а лежат на двумерных магнитных поверхностях. В качестве примера рассмотрим круговой цилиндр с током, распределённым по радиусу и текущим вдоль его оси, совпадающей с координатной осью z. В цилиндрической системе координат r , , z вектор плотности тока имеет компоненты: j 0, 0, jz r Пусть также во всем пространстве существует однородное магнитное поле H0, также направленное вдоль оси z (см. рис. 11)

55

Рис. 11. Цилиндр с током

Cистема обладает цилиндрической симметрией. Поэтому, интегрируя уравнение rotH 4c j по поверхности, заключенной внутри окружности радиуса r с центром на оси системы, и используя теорему Стокса, имеем:

Пусть весь ток сосредоточен на оси системы,

Здесь J − полный ток в системе. Подставляя

56

(II.2.2) в (II.2.1), получаем:

Пусть теперь ток равномерно распределен внутри цилиндра радиуса а и равен нулю вне его. В этом случае вместо (II.2.2) имеем:

Здесь J jzdS − снова полный ток в системе.

Рассмотренная здесь модель является в ряде случаев хорошим приближением для токамака с малым отношением малого радиуса тора к большому, ≡ Ra . Величину называют

тороидальностью, а обратную величину − аспектным отношением. В таком торе можно положить R ≈ R0 const. Очевидно, что при обходе тора все физические величины должны быть периодичны. В частности, они должны совпадать на концах цилиндра при z 0 и z 2 R. Такое представление токамака называется цилиндром с отождествленными концами.

Введем очень важный и часто используемый параметр, который называется коэффициентом запаса устойчивости или коэффициентом Шафранова ( в зарубежной литературе он называется safety factor)

57

тороидальные эффекты, приводящие к нарушению цилиндрической симметрии, нам понадобится более общее определение.

Рис. 12. Профиль q для равномерного распределения тока внитри цилиндра радиуса a.

Для случая тока, равномерно распределенного внутри цилиндра радиуса а, из (II.2.4) и (II.25) находим:

58

Этот профиль показан на рис. 12. Обычно в токамаке вблизи оси разряда величина q близка к единице и нарастает к периферии, но бывают случаи и немонотонного профиля q.

Задача

Найти профиль q при r a для следующего распределения тока:

jz j0 1 − ar 2.

Решение

С помощью (II.1.17) находим:

Этот профиль показан на рис. 13 для q0 1.

59

Очевидно, что силовые линии представляют

собой спирали, намотанных на цилиндрические поверхности. Такие поверхности называются магнитными поверхностями. Для описания тороидальной системы с малой тороидальностью

60