Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

интегрирования u z − x. Первый член в скобках при интегрировании даёт ноль, и окончательно получаем:

Как мы уже видели, из уравнения div E 0

следует, что в однородной незамагниченной плазме для продольных электростатических волн дисперсионным уравнением является уравнение0. Очевидно, что затухание волны определяется мнимой частью . При x 1 она экспоненциально мала. В случае x 1

111

Здесь затухание пропорционально лишь первой

случае, когда фазовая скорость волны совпадает с тепловой скоростью. Именно в этом месте максвелловская функция распределения имеет максимальную производную.

Заметим, что все предыдущие выводы сделаны в предположении ′ , а движение ионов не учитывалось.

IV.6. Учёт движения ионов

Для распространения волн с меньшими частотами, чем те, что исследовались в предыдущем разделе, необходимо учитывать движение ионов. При выводе возмущённой функции распределения вид частиц не конкретизировался, а в формулу (IV.3.4), из которой и получается дисперсионное уравнение, возмущённые плотности электронов и ионов входят аддитивно, можно не проводить вычислений для ионов, а просто добавить соответствующий член в выражение для (IV.5.10):

112

ионам соответственно. Следует помнить также о квазинейтральности плазмы, ne ≈ ni. Заметим, что второй и третий член вошли с одинаковыми знаками, хотя возмущения плотности входят в уравнение (IV.3.4) с разными. Дело в том, что возмущения плотности электронов и ионов пропорциональны каждое своему заряду, т.е. имеют противоположные знаки.

Рассмотрим предельные случаи. Если ионная температура не слишком превосходит

т.е. фазовая скорость волны много больше ионной тепловой скорости, но много меньше электронной. Тогда в выражение (IV.6.1) можно

113

114

Подставим сюда ′ i и отделим мнимую часть от действительной. При этом можно значение′ подставить из нулевого приближения. В результате находим :

115

Затухание на электронах экспоненциально мало

и определяется только ионами. Из (IV.6.7) в этом пределе находим:

IV.7. Квазилинейная теория затухания Ландау

Линейное приближение позволяет установить сам факт неустойчивости и проследить ее развитие лишь на самой начальной стадии. Для того, чтобы понять, к чему развитие неустойчивости приведёт, надо учитывать следующие члены разложения в кинетическом уравнении. В большинстве случаев это удаётся сделать лишь численно. Однако, если возмущения остаются малыми и на нелинейной

116

стадии (т.н. слабая турбулентность), существуют аналитические методы исследования. Это так называемая квазилинейная теория. Аналогичная задача возникает и при затухании слабой волны на нелинейной стадии.

При линейном анализе мы предполагали, что

функция распределения представляет собой сумму

f0 f, где f0 не зависит от времени. В квазилинейном приближении мы будем предполагать, что f0 сама медленно меняется под действием возмущения. Предположим также, что в плазме существуют быстрые мелкомасштабные осцилляции, характерные периоды которых существенно меньше характерного времени и масштаба изменения функции f0. Волной над буквой мы будем обозначать быстропеременные функции, а угловыми скобками − усреднение по отрезку времени , превосходящему периоды быстрых осцилляций, но много меньшему характерного времени изменения f0, и по отрезку L, превосходящему длину волны осцилляций. Кинетическое уравнение запишется тогда так:

При усреднении члены, содержащие нечётные

степени быстро осциллирующих функций, обратятся в ноль. Поэтому усреднённое уравнение приобретает вид:

117

Так как возмущение функции распределения мы считаем малым, то положим, что оно связано с электрическим полем так же, как и в линейном приближении. Для фурье-образа это соотношение (IV.3.3). Используя это, вычислим квадратичный по возмущениям член в уравнении (IV.7.2).

если ′ 0; k k′ 0.

В других случаях этот интеграл равен нулю. Таким образом, усреднённое произведение (IV.7.3) сводится к следующему:

118

Так как электрическое поле является действительной величиной, должно выполняться

Снова воспользуемся соотношением (IV.4.2) и проинтегрируем по , а также будем считать, что f0 не зависит от x. Кроме того, в практически

интересных случаях спектр можно считать симметричным относительно точки kv , т.е. |E|2k, - чётная функция от − kv. В этом случае

интеграл в смысле главного значения выпадает. В результате имеем:

Для того, чтобы вычислить обе неизвестные функции, f0 и |E|2, необходимо иметь второе

уравнение.

Здесь под мы понимаем действительную часть

119

частоты. Комплексно сопряжённое значение этой функции имеет вид:

меняющуюся со временем искомую функцию. Таким образом, уравнения (IV.7.7) и

(IV.7.10) составляют полную систему уравнений для исследования эволюции волны и функции распределения электронов при распространении волны в бесстолкновительной плазме. Пример эволюции функции f0 приведён на рис. 22.

120