то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

E

Emax = 43 πργR

Рис. 1

Гравитационная энергия тел.

Гравитационная энергия шарообразного тела.

Пусть имеется шар радиусом R и массой М. С взаимодействием частиц шара друг с другом связана энергия гравитационного поля, называемая гравитационной. Она численно равна работе, которую необхо- димо затратить, чтобы вещество шара, рассматриваемое как непрерывная среда, рассеять по всему бесконечному пространству. Конечно, при этом необходимо принять во внимание лишь работу на преодоление сил гравита- ционного притяжения и не рассматривать, например, электромагнитные си- лы, которые удерживают атомы в молекулах, молекулы в твердых и жидких телах и т. д.

Для упрощения расчетов будем считать, что масса тела распределена равномерно в шаре с плотностью ρ = 43πMR3 . Удобнее всего удалить вещество

на бесконечность последовательно шаровыми слоями начиная с поверхности.

Удаленные слои не могут оказывать никакого действия на удаление последующих слоев, поскольку эти последующие слои находятся внутри

полости предшествующих шаровых слоев.

При этом учтём без доказательства, что сферический

однородный слой вещества не создаёт в ограничиваемой им шаровой полости никакого гравитационного поля.

ограниченной шаровым слоем. Работа удаления равна потенциальной энергии этого шарового слоя в гравитационном поле, созданном всеми внутренними слоями:

71

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Это есть энергия гравитационного поля, связанная с гравитационным притяжением составляющих шар элементов массы.

Гравитационный радиус.

Энергия покоя тела массой М равна Мс2. Возникает вопрос: нельзя ли себе представить дело так, что эта энергия является энергией гравитационного поля, превратившейся в энергию массы покоя при стягивании материи, составляющей тело, из рассеянного состояния на бесконечности, когда никакого взаимодействия между частицами не было?

Чтобы вычислить радиус шара, для которого ответ на поставленный вопрос утвердителен, надо гравитационную энергию приравнять энергии массы покоя (отбросив числовые коэффициенты):

γ Mr 2 ~ Mc2

Отсюда получаем r ~ γ cM2 . Величина

называется гравитационным радиусом.

В качестве примера вычислим гравитационный радиус Земли, масса ко- торой M = 6 ×1024 кг :

rг = 0,4см

Это число означает, что для того, чтобы гравитационная энергия массы Земли была равна энергии массы покоя, необходимо было бы всю ее массу сжать в шарик диаметром примерно 1 см. Фактически же диаметр Земли имеет порядок 109 см. Полученный результат свидетельствует, что в общем энергетическом балансе Земли, включающем и ее энергию массы по- коя, гравитационная энергия играет пренебрежимо малую роль. Аналогичная ситуация существует и для Солнца, у которого гравитационный радиус составляет примерно 1 км, а его действительный радиус почти 700 тыс. км.

72

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Размеры Вселенной.

Однако так обстоит дело не всегда. В астрономии есть объекты, для

которых гравитационная энергия примерно равна энергии их массы покоя и поэтому в них повседневно гравитационная энергия играет очень существенную роль. Примером такого объекта может служить Вселенная в целом.

Среднюю плотность распределения материи во Вселенной можно найти из наблюдений, оценивая массу астрономических объектов и расстояния до них. Точность этих оценок невелика, поскольку, во-первых, имеются большие погрешности в определении расстояний и, во-вторых, очень трудно учесть массу межзвездного газа и несветящихся объектов, которые не наблюдаются. В настоящее время считается, что средняя

плотность по порядку величины лежит где-то около ρср »10−25 мкг3 . Это

означает, что в 1 м3 заключено примерно 100 протонов, т. е. среднее расстояние между ними было бы приблизительно 30 см, если бы масса Вселенной была распределена равномерно по ее объему в виде протонов. Можно представить себе эту ситуацию следующим образом. Известно, что

электрический заряд протона распределен в объеме с линейными размерами порядка. Поэтому если бы протон был горошиной диаметром 1 см, то среднее расстояние между протонами, соответствующее их среднему расстоянию во Вселенной, было бы примерно равно двадцати расстояниям от Земли до Солнца.

Подсчитаем, какое значение надо взять для радиуса Ro шара во Вселенной, чтобы энергия покоя содержащейся внутри него массы была равна гравитационной энергии или, иначе говоря, чтобы радиус этого шара был равен гравитационному радиусу массы, заключенной внутри

Таким образом, искомый гравитационный радиус по порядку равен той величине, которая в настоящее время принимается за радиус Вселенной Rвс » c ×T » 1,35 ×1026 м . Это означает, что гравитация играет в масштабах

Вселенной очень большую и во многом определяющую роль.

Черные дыры.

Наиболее важным физическим содержанием понятия гра- витационного радиуса является представление о том, что область

внутри сферы такого радиуса как бы теряет всякую связь с областью

73

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

вне этой сферы, за исключением гравитационной, связи. Если бы, например, всю массу Земли удалось заключить в шарик диаметром меньше 1 см, то внутренние области этого шарика потеряли бы связь с внешними областями, оказывая на них лишь гравитационное воздействие. Это означает, что свет не смог бы выйти из внутренней области. Во внешнем пространстве эта область проявляется лишь громадными силами тяготения.

Пролетающие вблизи частицы и кванты излучения будут втягиваться внутрь сферы гравитационного радиуса и там исчезать. Поэтому такая об- ласть называется “черной дырой”.

Имеются ли “черные дыры” во Вселенной? Теоретические расчеты показали, что если масса звезды превосходит примерно две массы Солнца,

то под действием тяготения она неудержимо сжимается и в определенный момент радиус звезды станет равным гравитационному, а она превратится в “черную дыру”.

Можно также представить себе, что сравнительно небольшая масса, например в несколько тонн, по каким-то причинам оказалась заключенной в таком маленьком объеме, соответствующем формуле (14), что превратилась в маленькую “черную дыру”. По одной из гипотез предполагается, что некоторое количество таких “черных дыр” осталось от первоначального сверхплотного состояния Вселенной. Они называются реликтовыми “черными дырами” и также пока не обнаружены в природе.

По-видимому, они не существуют в настоящее время, потому что квантовая теория приводит к заключению об “испарении” вещества из “черных дыр” с массой в несколько тонн, в результате которого они уже исчезли.

Движение планет и комет.

Рассматривая движение планет вокруг Солнца, конечно, можно считать его неподвижным, ввиду большой массы, а также можно не учитывать взаимное влияние планет. Таким образом, задача о движении планет сводится к задаче о движении частицы во внешнем центральном поле. Однако можно и не делать допущение о неподвижности Солнца, а рассматривать движение планеты и Солнца относительно их центра инерции.

Приведённая масса.

Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы, состоящей всего из двух взаимодействующих частиц

(задача двух тел).

В качестве предварительного шага к решению этой задачи покажем,

каким образом она может быть существенно упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движения точек относительно последнего.

74

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Поскольку векторы M и r взаимно перпендикулярны, постоянство M означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости – плоскости, перпендикулярной к M .

Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты r и ϕ , напишем энергию в виде

E = m2 (x& 2 + y& 2 )+ U (r)

Учитывая, что:

Выражение (22) не содержит в явном виде координату ϕ . Вся- кую обобщенную координату qi , не входящую явным образом в

энергию, называют циклической. Для такой координаты

соответствующий ей обобщенный импульс является интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному

упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат. В данном случае обобщенный

импульс

совпадает с моментом M z = M , так что мы возвращаемся к

известному уже нам закону сохранения момента

представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории (рис. 3). Обозначив ее как df , напишем момент частицы в виде

этому сохранение момента означает постоянство секториальной

76

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

определяют границы области движения по расстоянию от центра. При выполнении равенства (31) радиальная скорость r& обращается в нуль. Это не означает остановки частицы (как при истинном одномерном движении), так как угловая скорость ϕ& не обращается в нуль. Равенство

r& = 0 означает “точку поворота” траектории, в которой функция r(t) переходит от увеличения к уменьшению или наоборот.

Если область допустимого изменения r ограничена лишь одним условием r ³ rmin , то движение частицы инфинитно – ее траектория

приходит из бесконечности и уходит на бесконечность.

Если область изменения r имеет две границы rmin и rmax, то

движение является финитным и траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного окружностями r = rmax и r = rmin . Это, однако, не

означает, что траектория непременно является замкнутой кривой. За время,

Условие замкнутости траектории заключается в том, чтобы этот угол был равен рациональной части от 2π , т.е. имел вид Dϕ = 2π mn , где

т, п – целые числа. Тогда через п повторений этого периода времени радиус- вектор точки, сделав т полных оборотов,

совпадает со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется. Однако такие случаи исключительны, и при произвольном виде U(r) угол ϕ не

(как, например, на рис. 4) и за бесконечное время заполняет все кольцо между двумя граничными окружностями.

Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты. Это поля, в которых

этих случаев рассмотрен в следующем параграфе, а второй соответствует так называемому пространственному осциллятору. В точке поворота

78

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

квадратный корень (27) (а вместе с ним и подынтегральные выражения в (28) и (29)) меняет знак. Если отсчитывать угол ϕ от направления радиус- вектора, проведенного в точку поворота, то примыкающие с двух сторон к этой точке отрезки траектории будут отличаться лишь знаком ϕ при

каждых одинаковых значениях r. Это значит, что траектория симметрична относительно указанного направления. Начав, скажем, от какой-либо из точек r = rmax , мы пройдем отрезок траектории до точки с r = rmin , затем

будем иметь симметрично расположенный такой же отрезок до следующей точки с r = rmax и т.д., т.е. вся траектория получается

повторением в прямом и обратном направлениях одинаковых отрезков. Это относится и к инфинитным траекториям, состоящим из двух

невозможности проникновения движущихся частиц к центру поля, даже если последнее само по себе имеет характер притяжения. “Падение” частицы в центр возможно лишь, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к − ∞ при r → 0 . Из неравенства

следует, что r может принимать стремящиеся к нулю значения

лишь при условии

Кеплерова задача.

Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна r и соответственно силы обратно пропорциональны r2. Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля. Первые имеют характер притяжения, а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания.

Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором

79

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

r

с положительной постоянной α . График “эффективной” потен-

циальной энергии

U эф

ro

Рис. 5

Из этого графика очевидно, что при E > 0 движение частицы будет инфинитным, а при E < 0 – финитным.

Форма траектории получается с помощью общей формулы (29). Подставляя в нее U = - αr и производя элементарное интегрирование,

получим:

Тогда интегрирование приведёт к:

80

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com